2022-2023学年南京市第二十七高级中学高二数学期末考试

2022-2023学年南京市第二十七高级中学高二上期末考试卷

一.选择题(共8小题)

I.在等比数列伍“｝中，4=3,公比q=2,则4=()

A.24B.48C.54D.66

2.曲线y=6在点(1,1)处的切线与直线y=fcv平行，则实数%=()

A.-2B.--C.-D.1

22

3.已知平面a的一个法向量4=(3,0,2),平面尸的一个法向量=(2,1,6),若"J_£,

2z

=(

x

9

A41

-1

♦2B.

4.若直线3x+4y+m=0与圆Y+y--2y=0相切，则实数"?取值的集合为()

A.{-1,1}B.{-9,1}C.{1}D.{-8.2}

5.已知6+C；=30,贝IJ”=()

A.3B.4C.5D.6

6.函数y=/(x)的导函数y=r(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)的图象可能是()

7.安排3名志愿者完

成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()

A.12利।B.18种C.24种D.36种

8.己知数列｛”“｝首项为2,且见L“=2"T,则为=()

A.2"B.2'-'+｝C.2"-2D.2,,+|-2

多选题(共4小题)

9.下列四个选项中，不正确的是（）

A.数列行,获，…的一个通项公式是4=扁

B.数列的图象是一群孤立的点

C.数列1,-1,L—1,…与数列—1,1,—1,1,…是同一数列

D.数列1」，…，上是递增数列

24In

10.下列结论中正确的有（）

A.若^=5皿（，则y'=0

B.若/（x）=3d_1（1）x,则/（1）=3

C.#y=-y/x+x,则y'=----5y=+l

2yjx

D.若y=sinx+cosx,则y'=cosx+sinx

11.已知7名同学排成一排，下列说法正确的是（）

A.甲不站两端，共有用父种排法

B.甲、乙必须相邻，共有父反种排法

C.甲、乙不相邻，共有反反种排法

D.甲不排左端，乙不排右端，共有4-24+8种排法

12.如图，在四面体。48c中，点M在棱。4上，且满足OM=2M4,点N,G分别是线

段3C,MN的中点，则用向量OA,OB,OC表示向量中正确的为（）

B.OG^-OA--OB+-OC

344

113

C.GM=-OA+-OB+-OCD.GM=-OA--OC

23262

三.填空题（共4小题）

13.已知A（2,I,3）、B（Y,2,x）、C（1,-x,2）,若向量04+08与OC垂直（。为

坐标原点），则x等于—.

14.已知函数，（x）=k>g4-x2+4x-3）,则函数的单调增区间是；值域为.

2

15.求和：5“=1+（1+；）+（1+：+；）+（1+；+；+（）+…+（1+；+；+…+/•）=--.

乙乙4■4*■o4r*乙

16.如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植一种花卉，且相

邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有

种.（用数字作答）

四.解答题（共6小题）

17.已知等比数列伍“｝的首项为2,前〃项和为S“，K252-3S3+S4=0.

（1）求心;

（2）已知数列也｝满足：b,=〃a“,求数列收｝的前〃项和7；.

22

18.已知双曲线C$-]=l（a>0力>0）的实轴长为4,一个焦点的坐标为（-230）.

ab

（I）求双曲线的方程；

（II）已知斜率为1的直线/与双曲线C交于A,3两点，且1=4行，求直线/的方程.

19.从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能

组成多少种信号？

20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢

建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每

年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：

C(x)=—竺一(掇k10),设/(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

3x+5

(I)求f(x)的表达式；

(H)隔热层修建多厚时，总费用/(%)达到最小，并求最小值.

21.三棱柱A8C-A8c中，AB=ABt=AA,=AC=2,NS4c=120。，线段A4的中点为

M,RBC±AM.

(1)求证：AM_L平面43C；

(2)点尸在线段8c上，且4P=§4G，求二面角P-qA-A的余弦值.

22.已知函数f(x)=(x2-ar-a)e",awR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当a=0时，证明：f(x)>x2(lnx+2).

2022-2023学年南京市第二十七高级中学高二上期末考试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.在等比数列{〃〃}中，q=3,公比夕=2,则〃4=()

A.24B.48C.54D.66

【解答】解：在等比数列{4}中，4=3,公比9=2,

?

贝！jaA==3x2=24.

故选：A.

2.曲线y=&在点(1,1)处的切线与直线y=平行，则实数k=()

A.-2B.--C.-D.1

22

【解答]解：由＞=4=工2,得？=―-=,

2A/X

・曲线y=正在点(1,1)处的切线与直线y=H平行，

•»=y岛=；­

故选：C.

3.已知平面。的一个法向量〃]=(3,0,2),平面/?的一个法向量4=(2,1,6),若。_1_4，

则4=()

9

A.-B.4C.-1D.1

2

【解答】解：若a工0，则勺J_%,

所以勺=6+0+64=0,解得4=—1.

故选：C.

4.若直线3x+4y+m=0与圆V+丁-2》=0相切，则实数m取值的集合为()

A.{-1,1}B.{-9,1}C.{1}D.{-8.2}

【解答】解:由圆+)广-2y=0,得+(y—1)~=1,

方程表示圆心为(0,1),半径等于1的圆.

由圆心(0,1)到直线3x+4y+"?=0的距离=，

V32+42

•直线3x+4y+，〃=0与圆x2+y?-2y=0相切，

-I/4+'=1,解得加=1或加=-9,

732+42

实数，〃取值的集合为{-9,1}.

故选：B.

5.己知A；+C；=30,则〃=()

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：4+C：=%—1)+若^:3〃(7)=30,整理得“2一〃_20=0,

解得"=Y(舍)，“=5.

故选：C.

6.函数y=/(x)的导函数y=/"(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)的图象可能是()

【解答】解：由当

/(力＜0时，函数/(X)单调递减，当广⑴〉。时，函数f(x)单调递增，

则由导函数y=r(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单

调递增，排除A,C,

且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧，排除3,

故选：D.

7.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安

排方式共有()

A.12种B.18种C.24种D.36种

【解答】解：4项工作分成3组，可得：C：=6,

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：6xA；=36种.

故选：D.

8.已知数列｛4｝首项为2,且%-%=2同,则a.=（）

A.2"B.2,,­|+1C.2"-2D.2）,+|-2

+,,,_|2

【解答】解:an+l-an=2",an-an_t=2",an_t-an_2=2....a2-at=2,

23n+1

由累加法得an-ay=2+2+...+2"-'+2"=曳=2-4,

又4=2,则a'=22,

故选：D.

­.多选题（共4小题）

9.下列四个选项中，不正确的是（）

A.数列|§,获，…的一个通项公式是羔

B.数列的图象是一群孤立的点

C.数列1,-1,1,-1,…与数列一1,1,一1,1,…是同一数列

D.数列1」，…，-L是递增数列

242n

【解答】解：对于A,当通项公式为q=/一时，不符合题意，故选项A错误;

n+\23

对于3,由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确;

对于C,由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；

对于。，数列［一，…，是递减数列，故选项。错误.

242n

故选：ACD.

10.下列结论中正确的有（）

A.若丁=§抽?，则y'=0

B.若/(幻=3/一r(1)x,则((1)=3

D.若y=sinx+cosx,则y'=cosx+sinx

【解答】解：A：y=O,A正确.

B:f'（x）=6x-f（1）,将x=l代入方程中，解得/（1）=3,B正确.

Cy'=------f=+1=----T=+1,C正确.

2«2-Jx

£>:/=cosx-sinx,£>错误.

故选：ABC.

11.已知7名同学排成一排，下列说法正确的是（）

A.甲不站两端，共有用4种排法

B.甲、乙必须相邻，共有父&种排法

C.甲、乙不相邻，共有反父种排法

D.甲不排左端，乙不排右端，共有&种排法

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,甲不站两端，则甲4；种排法，剩下6人全排列即可，共有共有用或种排法，A正

确；

对于8,甲、乙必须相邻，将甲乙看成一个整体，与其他5人全排列，有&《种排法，8错

误；

对于C,甲、乙不相邻，将其他5人排好，将甲乙插入到其空位中，有&&种排法，C错

误；

对于。，用排除法分析：7人全排列，有A；种排法，其中甲在左端有人种排法，乙在右端

有4种排法，甲在左端且乙在右端的排法有父种，

则有8种排法，。正确；

故选：AD.

12.如图，在四面体。4BC中，点M在棱。4上，且满足QW=2M4,点N,G分别是线

段BC,MV的中点，则用向量OA,OB,0C表示向量中正确的为（）

()

213

A.GN=-OA+-OB+-OCB.OG=-OA--OB+-OC

334344

113

C.GM=-OA+-O5+二。CD.GM=-OA--OC

23262

【解答】解：连接ON,因为点N,G分别是线段8C,MN的中点,

所以OG=1OM+1ON=1X2OA+1X1(O8+OC),

222322

化简可得OG=lQ4+1o8+1oC.

344

GM=GA+AM^-OA--OA+-OC=-OA--OCAD

23262

三.填空题(共4小题)

13.已知A(2,1,3)、3(-4,2,x)、C(1,-x,2),若向量Q4+OB与OC垂直(。为

坐标原点)，则x等于4.

【解答】解：0A=(2,l,3),OB=(-4,2,x),OC=(1,-x,2)；

OA+OB=(―2,3,x+3)；

向量。4+08与OC垂直;

(0/4+O8)・OC=-2—3x+2x+6=0；

/.x=4.

故答案为：4.

14.已知函数，(幻=1。81(-/+以-3),则函数的单调增区间是_[2_3)_；值域为.

2

【解答】解：对于函数/(%)=1。8](-/+4工一3),由一X2+4X-3>0,求得1VXV3,可得

函数的定义域为(1,3).

/(x)的增区间，即函数y=-产+4x-3在y>0的条件下的减区间，

由二次函数的性质可得，函数丫=-9+4》-3的最大值为1,在y>0的条件下的减区间[2,

3).

ye(O,1].；.f(x)=log1y的值域为[0,+8),

2

故答案为：[2,3)；[0,+00).

15.求和：5=1+(1+-)+(1+-+-)+(1+-+-+-)+...+(1+-+i+...+-^-7)=

“224248242"-1

2«-2+

【解答】解:"J+%…+击=匕牛=2-(#,

1-2

s“=1+(1+；)+(1+；+()+(1+；+(+()+…+(1+；+(+…+击)

=(2-(3°)+(2-4)')+(2-(2)2)+…+(2-(3"T)

2222

=2"-口+g+(g)2+...+(；尸]

=2n-[2-(1)"-']

=2n-2+(1)"-'.

故答案为:2〃-2+(今，

16.如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植一种花卉，且相

邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有^60

【解答】解：根据题意，对于区域1,有5种不同的花卉供选择，有5种选法,

对于区域2,与区域1相邻，有4种选法，

对于区域3和4,若3与1的选择相同，4有4种选法，

若3与1的选择不同，3有3种选法，4有3种选法，此时有3x3=9种选法，

则区域3和4有4+9=13种选法，

故有5x4x13=260种选法；

故答案为：260.

四.解答题(共6小题)

17.已知等比数列｛/｝的首项为2,前”项和为且2s2-353+64=0.

<1)求死;

(2)已知数列｛4｝满足:b„=na„,求数列｛a｝的前〃项和工.

【解答】解:(1)等比数列｛”,｝的首项为2,前〃项和为S”,且2s2-353+64=0,

可得邑-邑=2(&-邑)，

即有a4=2%，可得公比4=幺=2,

%

则为=22一=2"；

(2)bn=nan=n-2",

则7；=L2+2-22+3"+...+(〃-l).2"T+〃2,

27；,=l-22+2-23+3-24+...+(«-l)-2"+n-2',+l,

上面两式相减可得-7；=2+2?+23+...+2'-'+2"-n-2"+,

2(1-2")।

=------------n-2,

1-2

化简可得/=2+(〃-1)・2角.

22

18.已知双曲线C:=-]=l(a>0力>0)的实轴长为4,一个焦点的坐标为(-2^,0).

a~b~

(I)求双曲线的方程；

(II)己知斜率为I的直线/与双曲线C交于A,B两点,且|48|=4逐，求直线/的方程.

【解答】解：(I)由2a=4得a=2,又。=2旧，则从=,2_/=8,

故双曲线的方程为=

48

(II)设直线/的方程为y=x+m,代入双曲线方程可得f-2/nv-M-8=0,

2

设A(X],%),B(x2,%)，则%+工2=2根，石工2=一"7-8.

因为IAB|=亚•Ja+w)2-4痞=4石，

所以亚•)4加2—4x(—加2-8)=4。府+4=4#，解得加=±1,

所以直线/的方程为y=x±l.

19.从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能

组成多少种信号？

【解答】解：从4面不同颜色旗子中，选出3面排成一排能组成C：A；=24种信号.

20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢

建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每

年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：

C(x)=*-(瓒/10),设/(处为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

3x4-5

(I)求/(%)的表达式；

(II)隔热层修建多厚时，总费用/(%)达到最小，并求最小值.

【解答】解：(/)每年能源消耗费用为C(x)=4—,建造费用为6x,

3元+5

/(x)=20C(x)+6x=--------+6x・(1效*10).

3x+5

740075

(〃),［(幻=6--；,令/。)=0得》=5或》=(舍).

(3x+5)3

.•.当L,x<5时,f\x)<0,当5<x,10时，/,(x)>0.

.•・/(X)在口,5)上单调递减，在［5,10］上单调递增.

.•.当x=5时，f(x)取得最小值/(5)=70.

.•・当隔热层修建5c加厚时，总费用最小，最小值为70万元.

21.三棱柱A3C-ABC中，AB=ABt=AA,=AC=2,N84C=120。，线段A片的中点为

M,且3c.

(1)求证：AMJ"平面ABC；

(2)点P在线段gG上，且4P=求二面角尸-gA-A的余弦值.

【解答】解：（1）证明：因为AB]=AA,=AB=2,

所以=2,

所以△A8M为等边三角形,

因为何为AM中点，

所以AM,

所以

因为8C_LAM,ABQBC=B,ABu面ABC,8Cu面ABC,

所以AM_L面ABC.

（2）由（1）可知AM_L面ABC,以A为原点，AC为x轴，过A作ACJ.y轴，A"为z轴

建立空间直角坐标系，

所以A（0,0,0）,8（6，-1,0）,M（0,0,5,

由于Mg=gA8=（等，--,0）,则与（半，--,也）,A（-等，-»拒）'C（0,2,

0）,

B、P=-B、C\=-BC=-（-6，3,0）,P（--,一，扬，

33362

设面A男尸法向量〃=（x,y,z）,

——-x+—y+5/3z=0

LLI1H,A户—0

所以4即62

*x一；y+6z=0

n-AB1=0

令x=3得，y=6,z=—1,

所以〃=（3,6，1），

设面81AA的法向量加=3，b,c),

——-x+—y+y/3z=0

所以底例二°即32

[m-AB=0

]+Gz=