专题01第一章 勾股定理（优质类型10大类型）（原卷版）

专题01第一章勾股定理【专题过关】类型一、利用勾股定理证明线段平方关系【解惑】如图，已知和中，，，，连接．交于点．(1)求证：；(2)求的度数；(3)连接，，求证【融会贯通】1．（2022秋·八年级单元测试）已知：在中，，，点D在直线AB上，连接CD，在CD的右侧作，．(1)如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______；②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______．(2)如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，若，．直接写出DE的长______．(3)拓展延伸如图3，，，，，求出线段EC的长．2．（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，，，过点A作于E，E恰好为BC的中点，．（1）直接写出AE与AD之间的数量关系：______；位置关系：______；（2）点P在BE上，作于点F，连接AF．求证：．3．（2022春·福建龙岩·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证：（1）；（2）．4.（2021秋·黑龙江鸡西·九年级校考期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．5．（2022春·湖北·八年级校考期中）已知如图，在中，，D在CB的延长线上．求证：（1）；（2）若D在CB上，结论如何，试证明你的结论．类型二、超速问题【解惑】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．

(1)求的长．(2)这辆大巴车超速了吗？【融会贯通】1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的距离为，这辆小汽车超速了吗？2.（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）某市规定：小汽车在城市道路上行驶的速度不得超过（约为）．如图，一辆小汽车在该市一条城市道路上由东向西行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为，问这辆小汽车是否超速？请说明理由．

3．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？类型三、台风问题【解惑】如图，公路和公路在点P处交汇，且，点Q处有一座火箭发射塔，，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响．

(1)若龙卷风恰好沿公路由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由；(2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？【融会贯通】1．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？2．（2023秋·全国·八年级专题练习）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？3．（2019秋·山西太原·八年级校联考阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．（1）求监测点A与监测点B之间的距离；（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？4.（2019秋·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动．已知AD⊥BC且AD=AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？类型四、“k”型问题【解惑】一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）

【融会贯通】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，笔直的公路上A、B两点相距17km，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知．，现在要在公路的段上建一个公交车站E，使得C，D两村到公交车站E的距离相等．则公交车站E应建在离A点多远处？3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，笔直的公路上A、B两点相距17km，C，D为两村庄于点A，于点B，已知km，km，现在要在公路的AB段上建一个公交车站E，使得C，D两村到公交车站E的距离相等，则公交车站E应建在离A点多远处?(请用勾股定理的知识解决问题)

4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？

5．（2023春·山西朔州·八年级统考期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．

类型五、爬行最短问题【解惑】如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（

）

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程长为（

）A．10 B．11 C．12 D．132．（2023春·陕西安康·八年级统考期中）如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为，高为，现在要以点为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点的正上方的点处，则彩色胶带最短要（

）A． B． C． D．3．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为．

4．（2022·内蒙古包头·九年级统考自主招生）圆柱的高为，底面半径为，点B离地面，一只蜘蛛以的速度从底面上的点A处绕曲面到达点B捕食被网到的昆虫，蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是多少？（π取3）

5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

类型六、勾股定理动点问题【解惑】如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发以每秒的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当，△APE的面积等于12．

【融会贯通】1．（2023春·山西晋城·八年级统考阶段练习）综合与探究：如图，在长方形中，，．点P，Q分别在，上，连接，，，．(1)求的面积．(2)若点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度沿方向运动（不超过点O），点Q从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿方向运动（不超过点A），设P，Q两点同时出发，运动时间为t秒，求的面积S与t之间的函数关系式．(3)若，点Q在上运动时，存在最小值，请直接写出其最小值．（结果不用化简）2．（2023秋·河北承德·八年级统考期末）如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接．

(1)当时，求的长度；(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；(3)连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值．3．（2023春·广东梅州·七年级校考期末）如图，已知是等腰直角三角形，点P以的速度从点B出发沿着射线运动，连接．以为直角边向右作等腰直角，其中，连接，设运动时间为t秒．

(1)当时，则cm，°；(2)在点P的运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；(3)请用含t的代数式直接写出的面积．4．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．

(1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当时，求点A、P之间的距离．5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图：在长为形中，，，点、分别是线段、上的点，其中，，连接，动点从点出发，以的速度沿着路径匀速运动，运动到点即停止运动，连接，设点运动的时间为（s）．

(1)如图1，线段_______；当时，线段_______；(2)如图1，点在线段上运动的过程中，连按，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(3)如图2，连按，，点在整个运功过程中，的面积总是随着时间（s）的变化而变化，请直接写出面积与运动时间关系式．类型七、无刻度尺作图【解惑】如图，顶点在格点上，为上的一个动点．

（Ⅰ）的长为；（Ⅱ）平分，在上求一点，使的值最小，用无刻度的直尺，在网格中画出、点和点，简要说明、点、点如何找到的．【融会贯通】1．（2023春·江西赣州·九年级统考期中）如图，在的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．

(1)在图1中过点A作，垂足为D；(2)在图2中过点A画线段，使，且．2．（2023·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．

(1)在图①中，的面积为；(2)在图②中，的面积为5(3)在图③中，是面积为的钝角三角形．3．（2023春·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：(1)在图①中，连结、，使；(2)在图②中，连结，使；(3)在图③中，连结，使．4．（2023春·吉林松原·九年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）．(1)在图①中作．(2)在图②中作正方形．(3)在图③中作菱形，使点在对角线上．5．（2022秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的三幅图中画出点P，使点P在线段上，且满足以下要求，保留适当的作图痕迹．(1)在图①中，连结，使最小．(2)在图②中，连结、，使．(3)在图③中，连结、，使最小．类型八、勾股定理的最值【解惑】如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（

）

A．5 B．7 C．8 D．10【融会贯通】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则的最小值为（

）A．4 B． C．5 D．62．（2023春·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．3.（2023春·广东深圳·八年级统考开学考试）如图，在长方形纸片中，，，点是的定点，点是上一动点．将沿直线折叠，点落在点处．在上任取一点，连接，，，则的最小值为．

4．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，，P为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，则线段的最小值为．5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，点D是线段BC上的一个动点，过点D作，连接AB，AC，E是线段AD上的一点，且，连接EB，EC，已知，，则的最小值为．类型九、勾股定理的新定义【解惑】定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．

(1)已知把线段分割成，若，，，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由．(2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．【融会贯通】1．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形并做了如下证明：设等边三角形的边长为，，等边三角形一定是奇异三角形．小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？(1)在中，两直角边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．(2)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求的值．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论；(2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长．3．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”．(1)如图1，在中，中，若，，则______；(2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：；(3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．①求证：；②当，时，则的值是______．4．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．(1)等腰直角三角形________勾股高三角形（填写“是”或“不是”）；(2)如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点（），是边上的高．①若，，试求线段的长度；②试探究线段与的数量关系，并说明理由；(3)如图2，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点作的平行线交于点，若，直接写出线段的长度．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形．如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形．【概念理解】(1)用（填序号）一定可以拼成余缺四边形．①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形；(2)如图1，余缺四边形，平分，若，，则；【初步应用】如图2，已知△ABC，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接PB、PC．(3)求证：四边形ABPC为余缺四边形