专题04 旋转单元过关（培优版）解析版

专题04旋转单元过关（培优版）考试范围：第二十三章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2022秋·江西新余·九年级统考期末）在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】根据中心对称图形的概念，A、C、D都不是中心对称图形，是中心对称图形的只有B．故选B．2．（2023春·陕西铜川·八年级统考期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠ABC=110°，则∠ADC的度数为（

）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】D【分析】由旋转的性质可知△ABC≌△EDC，所以可得∠EDC＝∠ABC＝110°，进而可求出∠ADC的度数．【详解】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，∴△ABC≌△EDC，∴∠EDC＝∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠EDC＝70°，故选：D．【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2022春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点BA．55° B．60° C．65° D．70°【答案】B【分析】直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，可证得△ABB1【详解】解：∵在Rt△ABC中，B∴B又∵AB=∴△ABB1∴∠BAB1故选：B．【点睛】此题考查了图形旋转，解题的关键知道会用直角三角形斜边的中线是斜边的一半．4．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）下列图形中是中心对称图形的是（

）A．等边三角形 B．圆 C．等腰梯形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、圆是中心对称图形，故本选项符合题意；C、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、等腰直角三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．5．（2022秋·四川泸州·九年级校考期中）如图，∠AOB=90°，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A'OB'A．30° B．45° C．60° D．65°【答案】C【分析】根据旋转前后的两个图形全等可得结论．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A∴△AOB≌∴∠OA故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质以及全等三角形的性质，题目比较简单，属于基础题．6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（）A．3-2 B．2-1 C．0．5 D【答案】B【分析】分析题易可知点E的运动轨迹是以DC为半径以C为圆心的圆，当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小．【详解】解：如图所示，连接AC∵正方形边长为1∴AC=2当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小∴AE=AC-CE=2-1故选：B7．（2022秋·浙江台州·九年级校联考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，将△ABC绕AB上的点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，连结BC'．若BC'∥A'B'，则OB的值为（

）A．6013 B．5 C．6512 D【答案】A【分析】过C′作C′D⊥A′B′于D，可得∠A′DC′=90°，由旋转性质可得∠BOD=90°，进而可证明AB//C′D，由BC′//A′B′，可证明四边形ODC′B是矩形，可得OB=C′D，由勾股定理可求出AB的长，利用面积公式求出C′D的长即可得答案.【详解】过C′作C′D⊥A′B′于D，∴∠A′DC′=90°，∵将△ABC绕AB上的点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，∴∠BOD=90°，∴AB//C′D，∵BC′//A′B′，∴四边形ODC′B是矩形，∴OB=C′D，∵∠C=90°，AC=12，BC=5，∴AB=122+∵S△A′B′C′=12A′B′⋅C′D=12B′C′⋅∴C′D=B'C'·A'C'A'B'=5×1213∴OB=C′D=6013故选A.【点睛】本题考查旋转的性质及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法并正确找出旋转后的对应边及旋转角是解题关键.8．（2022秋·山东日照·九年级统考期中）如图，在ΔABC中，∠CAB=30°，将ΔABC在平面内绕点A逆时针旋转到ΔAB'C'位置，且CC'//AB，则旋转角的度数为（

）A．100° B．120°C．110° D．130°【答案】B【分析】先根据旋转的性质得AC=AC'，∠CAC'为旋转角，再利用平行线的性质得∠ACC'=∠CAB=30°，再根据等腰三角形的性质得∠AC'C=∠ACC'=30°，然后根据三角形的内角和计算出∠CAC'的度数，从而得到旋转角的度数．【详解】∵△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，∴AC=AC'，∠CAC'为旋转角．∵CC'∥AB，∴∠ACC'=∠CAB=30°．∵AC=AC'，∴∠AC'C=∠ACC'=30°，∴∠CAC'=180°﹣30°﹣30°=120°，∴旋转角的度数为120°．故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质．掌握旋转的性质是解答本题的关键．9．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形A．(-1,0) B．-22,22 C【答案】D【分析】分析正方形OABC的运动规律，找到循环周期，画出绕点O旋转2021次后，正方形的位置，即可求解．【详解】解：∵360°÷45°=8，∴依此方式绕点O旋转，每旋转8次，正方形就会回到开始的位置，∵2021÷8=252⋯⋯5，∴绕点O旋转2021次后，正方形的位置如图所示：根据旋转的方式可知，∠DOC2021=45∘∴△ODC设OD=DC2021=x解得x=22，∴OD=DC∵点C2021∴点C2021的坐标为22,-故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平面直角坐标系内找点的规律、勾股定理等，找到循环周期，画出正方形OABC绕点O旋转2021次后，正方形的位置，是解题的关键．10．（2022秋·河南·九年级河南省淮滨县第一中学校考期末）如图，在⊙О中，点C在弦AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙О于点D．若AB=2,则CD的最大值是（

）A．4 B．2 C．2 D．1【答案】D【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【详解】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90∘，∴CD=OD当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D.B两点重合，∴CD=CB=12AB=12即CD的最大值为1．故答案为：D．【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C的位置是解题的关键．．第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期中）若点A（a﹣1，3）和B（2，b﹣3）关于原点对称，则a+b＝．【答案】-1【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出a，b的值，进而得出答案．【详解】解：∵点A（a﹣1，3）和B（2，b﹣3）关于原点对称，∴a﹣1+2＝0，b﹣3+3＝0，解得：a＝﹣1，b＝0，则a+b＝﹣1+0＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．12．（2022秋·上海·七年级专题练习）在ΔABC中，∠A=70°，将ΔABC绕点A旋转30°，得到ΔAB'C'，点B、C的对应点分别为点B'、C'，如果点【答案】35°/35度【分析】由旋转的性质可得∠CAC【详解】解：如图，∵将ΔABC绕点A旋转30°，得到Δ∴∠CAC∴∠C∴∠B∴∠B=35°，故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．13．（2022春·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=4．将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α≤180），得到△DEC，A，B的对应点分别为D，E．边DC，DE分别交直线AB于F，G，当△DFG是直角三角形时，则BD=．【答案】23或【分析】分两种情况：当∠DFG=90°时，当∠DGF=90°时，分别求出BD便可．【详解】解：根据题意得：CD=AC，∠CDE=∠A=30°，当∠DFG=90°时，如图：∵∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=4．∴AB=2BC=8，∴CD=AC=A∵SΔ∴CF=AC⋅BC∴DF=CD-CF=23当∠DGF=90°时，如图：∵∠CDE=∠A=30°，∠DGB=90°，∴∠DFG=60°=∠ABC，∴点B与点F重合，∴BD=CD-BC=43综上所述，BD的长为23或4故答案为：23或【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分情况讨论，解题的关键在于分情况讨论．14．（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，长方形EDFG的顶点E，F分别在正方形ABCD的边CD，DA上，点G在正方形内．若AF=1，CE=2，长方形EDFG的面积为s(s是正数），设ED+DF=m，用含s的代数式表示m2为【答案】4s+1【分析】设DE=x，根据AF=1，CE=2，可得m-x+1=x+2，即可得DE=m-12，DF=m+12，从而s=DE•DF=m2【详解】解：如图：设DE=x，则DF=m-x，∵AF=1，CE=2，∴AD=DF+AF=m-x+1，DC=DE+CE=x+2，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，即m-x+1=x+2，∴x=m-1∴DE=x=m-12，∵长方形EDFG的面积为s，∴s=DE⋅DF=m-1∴m故答案为：4s+1．【点睛】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是用含m的代数式表示DE和DF．15．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，BC'落在正方形内部，连接CC'，DC'，若∠CC【答案】3【分析】过点B作BE⊥CC'，过点C'作GH⊥BC于点H，先证明△BCE≅ΔCDC'，可得CE=C'D=3，C'C=BE，再根据等腰三角形的性质可得BE=CC'=23，再由勾股定理可得BC=AD=【详解】解：如图，过点B作BE⊥CC'，过点C'作GH∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°，∴∠BCE+∠C'CD=90°∵∠BCE+∠CBE=90°，∴∠C'CD=∠CBE又∵∠BEC=∠CC'C'D=90°∴△BCE∴CE=C'D=3，C'C=∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'∴BC=BC'又∵BE⊥CC'∴CE=C'E=C'D=∴BE=CC'=23∴CD=∴BC=∵GH⊥BC，∴∠CHG=∠BCD=∠ADC=90°，∴四边形CDGH是矩形，∴GH=CD=15，∵S△即12解得：C'∴C'∴△AC'故答案为：3【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．16．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点A、C分别是y轴、x轴正半轴上的动点、AC=2．将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AB，则OB的最小值是．【答案】3-1/【分析】连接BC，过点B作BD⊥AC于点D，连接OD．由旋转的性质易证△BAC是等边三角形，从而可求出OD=CD=1，进而可求BD=3．最后由三角形三边关系可得出OB≥BD-OD=3-1，且当点B，O，D在同一直线上时取等号，即得出OB【详解】如图，连接BC，过点B作BD⊥AC于点D，连接OD．由旋转的性质可知AC=AB，∠BAC=60°，∴△BAC是等边三角形，∴AC=AB=BC=2．∵BD⊥AC，∴点D为AC中点，∴OD=CD=1∴BD=B∵OB≥BD-OD=3-1，且当点B，O，∴OB的最小值是3-1故答案为：3-1【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，以及三角形三边关系的应用．正确作出辅助线并理解当点B，O，D在同一直线上时OB最小是解题关键．评卷人得分三、解答题17．（2023春·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A(-2,3),B(-6,0),C(-1,0)．（1）△ABC关于点O的中心对称图形为△A'B'C'，画出图形，并写出点A的对应点A（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°直接写出点A的对应点A″的坐标________（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的所有可能的坐标．【答案】（1）画图见解析，（2，-3）；（2）画图见解析，（3，2）；（3）（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O旋转180°的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接，根据坐标系写出坐标即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转980°的对应点A′′、B′′、C′′的位置，然后顺次连接，根据坐标系写出坐标即可；（3）分AB、BC、AC为边，分别确定第四个顶点D，再写出坐标即可．【详解】解：（1）△ABC关于点O的中心对称图形为△A'B'C'如图所示，点A′的对应点的坐标为（2故答案为：（2，-3）；（2）△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°的三角形如图所示，点A′′的对应点的坐标为（3，2）；故答案为：（3，2）；（3）如图所示，D点坐标分别为：（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图及点的坐标，以及平行四边形的判定，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．18．（2022秋·广东惠州·九年级统考期中）如图将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，求BD的长．【答案】2【分析】由旋转的性质得AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，再根据定理即可求解．【详解】由旋转的性质得：AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，∴BD=A【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．19．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE．①图中哪一个点是旋转中心？②按什么方向旋转了多少度？③如果CF=3cm．求EF的长?【答案】①C；②逆时针旋转90°；③EF=32【分析】①根据旋转的定义求解；②根据旋转的定义求解；③根据旋转的性质得CE=CF，∠ECF=90°，然后利用勾股定理求解即可.【详解】解：①△DCF绕点C逆时针旋转得到△BCE，所以旋转中心为点C；②∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，∴△DCF绕点C逆时针旋转90°得到△BCE；③∵△DCF绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，∴CE=CF=3cm，∠ECF=90°，连接EF∵EF=∴EF=32【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，△ABC≌△ADE，∠BAD＝52°．（1）求∠EAC的度数．（2）△ADE可以看作是由△ABC绕着点，按（填顺时针或逆时针）方向，旋转度角形成的．【答案】（1）52°；（2）A，顺时针，52【分析】（1）依据全等三角形的性质可知∠BAC＝∠DAE，然后依据等式的性质进行证明即可；（2）依据旋转的定义进行判断即可．【详解】解：（1）∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE．∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠EAC＝∠BAD＝52°．（2）∵∠BAD＝52°，∴△ADE可以看作是由△ABC绕着点A，按顺时针方向，旋转52°度角形成的．故答案为：A；顺时针；52．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，旋转的定义，旋转的三要素，掌握旋转中心，旋转的方向，旋转的角度是解题的关键.21．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，D是底边AB上一点（不与A，B重合），连接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得线段CE，连接BE，DE.（1）根据题意补全图形；（2）求证：AD＝BE.【答案】（1）图形见解析；（2）证明见解析【分析】（1）依题意补充图形即可；（2）通过△ADC≌△BEC（SAS）得出BD＝AE．【详解】（1）解：如下图．(图形正确)（2）证明：由旋转可知CD＝CE，∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．又∵AC＝BC，∴△ADC≌△BEC．∴AD＝BE．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．22．（2023春·全国·八年级专题练习）【问题背景】如图1，P为△ABC内一点，连PB、PC．则PC+PB＜AB+AC．小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论．请按小明的思路完成证明过程；【迁移应用】如图2，在△ABC中，∠BAC＞120°，P为△ABC内一点，求证：PA+PB+PC＞AB+AC．【拓展创新】已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，a+b＝4c，6a+3b＝19c，P为△ABC所在平面内一点，则PA+PB+PC的最小值为（用含c的式子表示）．（直接写出结果）【答案】问题背景：见解析；迁移应用：见解析；拓展创新：8c【分析】问题背景：在△ABE中和△CPE中，分别利用两边之和大于第三边即可证明；迁移应用：将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，可得△APQ是等边三角形，则∠BAC+∠CAD＞180°，则可证明；拓展创新：首先可得a=7c3，b=5c3，作BT⊥CA，交CA的延长线于T，设AT＝d，利用勾股定理得出∠ABT＝30°，将△APC绕点A逆时针旋转60°，则B、A【详解】解：【问题背景】证明：如图1，延长BP交AC于点E，在△ABE中，AE+AB＞BE＝BP+PE，在△CPE中，PE+CE＞PC，∴AB+AE+CE+PE＞PB+PE+PC，∴AB+AC＞PB+PC，故：PC+PB＜AB+AC；【迁移应用】证明：如图2，将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，由旋转可得：△DAQ≌△CAP，∠CAD＝∠PAQ＝60°，∴AD＝AC，AQ＝AP，DQ＝PC，∴△APQ是等边三角形，∴PQ＝AP＝AQ，∵∠BAC＞120°，∴∠BAC+∠CAD＞180°，∴由问题背景可知：在△BPD中，PB+PD＞AB+AD，在△QPD中，PQ+QD＞PD，∴PB+PQ+QD＞AB+AD，故：PA+PB+PC＞AB+AC；【拓展创新】解：由问题背景知，∵a+b＝4c，6a+3b＝19c，∴a＝7c3，b＝5c作BT⊥CA，交CA的延长线于T，设AT＝d，∴（7c3）2＝（5c3+d）2+c2﹣化简得，d＝12∴∠ABT＝30°，∴∠BAC＝120°，将△APC绕点A逆时针旋转60°，则B、A、C'共线，∴PA+PB+PC＝PB+PP'+P'C，∴PA+PB+PC的最小值为AB+AC＝c+5c3＝8c故答案为：8c3【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系进行转化是解题的关键，有一定的难度．23．（2023春·天津和平·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点O0，0，点A3，0，B3，mm>0，∠AOB=30°，以点O为中心，逆时针旋转△OAB，得到△OCD，点(1)如图①，当点C落在OB上时，求点D的坐标；(2)如图②，当α=45°时，求点C的坐标；【答案】(1)D(2)C【分析】（1）如图所示，过点D作DE⊥x轴于E，先推出∠OAB=90°，OA=3，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出AB=1，OB=2；由旋转的性质得到OD=OB=2，∠COD=∠AOB=30°，进而推出∠ODE=30°，则OE=1（2）如图所示，过点C作CE⊥x轴于E，由旋转的性质可OC=OA=3，∠COE=45°，即可证明∠EOC=∠COE=45°【详解】（1）解：如图所示，过点D作DE⊥x轴于E，∵点A3，0∴∠OAB=90°，OA=3又∵∠AOB=30°，∴AB=33OA=1由旋转的性质可得OD=OB=2，∴∠DOE=60°，∴∠ODE=30°，∴OE=1∴DE=3∴D1（2）解：如图所示，过点C作CE⊥x轴于E，由旋转的性质可得OC=OA=3∴∠EOC=∠COE=45°，∴OE=CE=2∴C6【点睛】本题主要考查了坐标与图形，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．24．（2022春·湖南常德·八年级校考期中）如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．(1)连接AE，则△AEF是______三角形，MD、MN的数量关系是______．(2)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理．【答案】(1)等腰；DM=MN(2)成立，理由见解析(3)成立，理由见解析【分析】（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得出CE＝CF，根据“SAS”证明△ABE≌△ADF，进而得到AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；依据直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的性质，可得到MN与MD的数量关系；（2）先连接AE，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，得出BE＝DF，根据“SAS”证明△ABE≌△ADF，可得AE＝AF，再依据直角三角形斜边上中线的性质，可得DM＝12AF，根据三角形的中位线的性质，可得MN＝12AE，最后得出MN与（3）先连接AE，A′F，根据等腰直角三角形的性质得出CE＝CF，根据“SAS”证明△ADE≌△A′D′F，得到AE＝A'F，再依据三角形的中位线的性质，可得DM＝12A′F，MN＝12AE，最后得出MN与【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，∴AB=AD，FC＝EC，DC＝BC，∴DF＝BE．又∵AB＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；又∵M、N分别是AF与EF的中点，∴在Rt△ADF中，DM＝12AF在△AEF中，MN＝12AE∴DM＝MN．故答案为：等腰，DM＝MN；（2）解：MD＝MN仍成立，证明：连接AE，∵四边形ABCD为正方形，△ECF是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．∵在Rt△ADF中，点M为AF的中点，∴DM＝12AF∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN＝12AE∴DM＝MN；（3）解：MD＝MN仍成立，理由如下：连接AE，A′F，∵四边形ABCD为正方形，△ECF是等腰直角三角形，∴CD＝CD′，CE＝CF，∴CD﹣CE＝CD′﹣CF，即DE＝D′F，又∵AD＝A′