2025北京五十五中高三（上）期中数学试题及答案

第1页/共1页2025北京五十五中高三（上）期中数学本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟第一部分（选择题共40分）一.选择题：共10小题，每小题4分，共40分.每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1.全集，集合，图中阴影部分表示集合为（）A. B.C.或 D.或2.已知复数满足（是虚数单位）的实部与虚部相等，那么（）A. B.1 C.2 D.43.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（）A. B. C. D.4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（）A. B.C. D.5.已知P为椭圆上的动点，，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.46.如图，边长为1的正方体中，为边任意一点，将正方体挖掉三棱锥后，余下部分的体积为（）A. B. C. D.7.设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知某种垃圾的分解率为v，与时间月满足函数关系式其中a，b为非零常数，若经过12个月，分解率为，经过24个月，分解率为，那么分解率达到，至少需要经过（）参考数据：A.36个月 B.40个月C.47个月 D.64个月9.已知函数在处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（）A.2 B.8 C.10 D.1410.已知抛物线和所围成封闭曲线，点在曲线上，给定点，则下列说法中正确的是（）A.存在，对所有点，均不存在使得B.任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称C.存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于D.任意，当点运动时，都满足第二部分（非选择题共110分）二．填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_____________.12.在展开式中，的系数为，那么实数_____．13.直线与双曲线没有公共点，双曲线离心率的一个值是_____．14.在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且．（1）若，则=_____，（2）若的最大值为，此时的最小值为_____．15.已知函数，其中且．给出下列四个结论：①若，则函数的零点是；②若函数无最小值，则的取值范围为；③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1；④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为，且的取值范围为．其中，所有正确结论的序号是_______．三．解答题:共6小题，共85分.16.已知的内角的对边分别为，且，，.（1）求；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积.条件①：，为锐角；条件②：注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，.（1）证明：是的中点；（2）求平面与平面夹角的大小；（3）求点到平面的距离.18.有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立．（1）从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率；（2）从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望；（3）若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）．19.已知椭圆的一个顶点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当是直角三角形时，求直线的方程.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数在区间上的极值点的个数；（3）若函数在区间上有唯一零点，证明：.21.已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数.（1）若，求的值；（2）若集合中的元素构成等差数列，且公差.（i）当时，求的最小值；（ii）当时，求的最小值.

参考答案第一部分（选择题共40分）一.选择题：共10小题，每小题4分，共40分.每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的.题号12345678910答案DABCCDBBBC第二部分（非选择题共110分）二．填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】要使函数有意义，只需解得：且，从而的定义域为.故答案为：12.【答案】由，所以通项公式.令，解得，所以的系数为.故答案为：213.【答案】由双曲线方程，可得其渐近线方程为，若双曲线与直线没有公共点，则需满足所以离心率，所以离心率可以取内的一个值.故答案为：(答案不唯一)14.【答案】由圆，可得圆心又由，可得点的坐标为，即，所以，则；因为点为圆上的动点，可设，又因为点的坐标为，可得，则，因为，所以当时，取得最大值，则，解得，因为，所以，此时的最小值为.故答案为：；.15.【答案】对于①：当时，显然，当时，无零点；当时，由可得，所以的零点是0.故①正确；对于②：当时，简图如下：当时，简图如下：当时，简图如下：当时，简图如下：由图可知，若无最小值，则或.故②错误；对于③：若存在实数，使得对任意的，都有，由图可知或，此时存在使得恒成立，则的最小值为，故③正确；对于④：由图可知，只有当且即时，方程才有三个不相等的实数根.不妨设三个根由小到大依次为，，，显然.由得，故，且，所以，故，从而.故④正确.故答案为：①③④.三．解答题:共6小题，共85分.16.【答案】（1）因为，所以为锐角，由，可得，故；（2）选①，，为锐角，，，由正弦定理，可得，即，所以，所以，所以；选②，，，，，由正弦定理，可得，即，由余弦定理，可得，即，解得(负根舍去)，所以.17.【答案】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，故，则，而平面，平面，故平面，又平面平面，平面，故，是中点，故是的中点；（2）取的中点为O，连接，因为，故，且,而，则，即得,则两两垂直，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，，令，则，则，平面的一个法向量可取为，平面与平面的夹角为，故，平面与平面夹角的大小为；（3）由（2）可知，则,故点到平面的距离为.18.【答案】（1）甲班随机抽取人，甲班有人答对，甲班随机抽取1人答对该题目的概率为．（2）从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，设甲班答对概率为，乙班答对概率为，，的可能取值为：，，，分布列为：X012P期望为：．（3）设甲班答对概率为，乙班答对概率为，则，，，解得；，解得，，．19.【答案】（1）由题意可得椭圆焦点在轴上，因为椭圆的一个顶点为，所以，因为离心率为，则，解得，所以，故椭圆的方程为；（2）由题意可知，若是直角三角形，则只能，即，当直线斜率不存在时，直线方程为，将代入计算可得，取，此时线段的垂直平分线与轴交于点，则，因为，所以不是直角三角形，不符合题意舍去；当直线斜率为时，此时线段在轴上，由对称性可知，线段的垂直平分线为轴，故点位置不确定，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，，直线与椭圆联立方程可得，得，因为在椭圆内，所以直线与椭圆一定有两个交点，则，则，，，，线段的中点坐标为，所以线段垂直平分线方程为，令，则，即，，则，即，即，化简可得，解得，所以，即或.20.【答案】（1）当时，函数，所以，.所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由函数，.令，，.①若时，，所以在上单调递增，且，即在上单调递增，且，所以函数在上单调递增，函数无极值点；②当时，，，当，所以.所以函数在上单调递增且有唯一零点，即函数在上单调递增且有唯一零点，当；当，所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点；③当时，因为，所以，所以函数在上单调递减，无极值点.综上所述：当或时，函数在上无极值点；当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点.（3）由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且，所以函数在上无零点；当时，函数在上单调递增，且，所以函数在上无零点；当时，函数在有唯一的极小值点，且，要使函数在区间上有唯一零点，所以.所以，令，得，即.再令，，所以在上单调递增，且.所以函数在上有唯一零点，所以，即.21.【答案】（1）若，则，此时，，，所以.（2）（i）解法一：设，则有，，所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多，而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小，，此时.解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有又中最小元素为，则，则有，所以，另一方面，当时，，此时，综上，时，的最小值为5.（ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则引