山东省2022年中考数学(六三制)一轮习题-题型四圆的综合题

题型四圆的综合题类型1与切线有关的证明与计算命题角度1切线的性质(2019·菏泽)如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.(1)求证：∠ABG＝2∠C；(2)若GF＝3eq\r(3)，GB＝6，求⊙O的半径．【思路分析】(1)连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，推出OE∥AB，得到∠A＝∠OEC，根据等腰三角形的性质得到∠OEC＝∠C，求得∠A＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论；(2)根据勾股定理得到BF＝eq\r(BG2－FG2)＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【规范解答】1．(2020·北京)如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.(1)求证：∠ADC＝∠AOF；(2)若sinC＝eq\f(1,3)，BD＝8，求EF的长．2．(2021·枣庄)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P.(1)求证：DP∥BC；(2)求证：△ABD∽△DCP；(3)当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

命题角度2切线的判定(2018·潍坊)如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.(1)求证：AE与⊙O相切于点A；(2)若AE∥BC，BC＝2eq\r(7)，AC＝2eq\r(2)，求AD的长．【思路分析】(1)连接OA，根据同圆的半径相等可得∠D＝∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得∠BAE＝∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得∠BAD＝90°，可得结论；(2)先证明OA⊥BC，由垂径定理得eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，FB＝eq\f(1,2)BC，根据勾股定理计算AF，OB，AD的长即可．【规范解答】3．(2021·东营)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)求线段OF的长度．4．(2021·烟台)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)请按如下要求完成尺规作图．(不写作法，保留作图痕迹)①作∠BAC的平分线AD，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M.(2)在(1)的条件下，求证：BC是⊙O的切线；(3)若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．类型2阴影部分面积的计算(2019·滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F.(1)求证：直线DF是⊙O的切线；(2)求证：BC2＝4CF·AC；(3)若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．【思路分析】(1)连接OD，证明OD∥AC，即可求解；(2)证明△CFD∽△CDA，则CD2＝CF·AC，即BC2＝4CF·AC；(3)由S阴影＝S扇形AOE－S△AOE即可求解．【规范解答】5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE＋∠AFO＝180°.(1)求证：EM是⊙O的切线；(2)若∠A＝∠E，BC＝eq\r(3)，求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)参考答案【类型清单·过方法关】【例1】(1)证明：如图，连接OE.∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG.∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A＝∠OEC.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠C.∵∠ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C.(2)解：⊙O的半径为6.【跟踪训练】1．(1)证明：如图，连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠ABD.∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，∴∠CDA＝∠BDO.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ADC＝∠AOF.(2)解：EF＝2.2．(1)证明：如图，连接OD.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD.∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC＝90°.∵PD是⊙O的切线，∴∠ODP＝90°，∴∠ODP＝∠BOD，∴DP∥BC.(2)证明：∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝45°.∵DP∥BC，∴∠CDP＝∠OCD＝45°，∠ACB＝∠P.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BAD＝∠CDP.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠P，∴△ABD∽△DCP.(3)解：PC＝16.9cm.【例2】(1)证明：如图，连接OA交BC于点F，则OA＝OD，∴∠D＝∠DAO.∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO.∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO.∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，即∠DAO＋∠OAB＝90°，∴∠BAE＋∠OAB＝90°，即∠OAE＝90°，∴AE⊥OA，∴AE与⊙O相切于点A.(2)解：AD＝2eq\r(14).【跟踪训练】3．(1)证明：如图，连接OD.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°.∵OC＝OD，∴∠CDO＝∠A＝60°，∴OD∥AB.∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠AFD＝90°，∴OD⊥DF.∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．(2)解：在Rt△ODF中，OF＝eq\r(OD2＋DF2)＝eq\r(22＋3)＝eq\r(7).4．(1)解：如图所示．(2)证明：如图，连接OD，∵EF是AD的垂直平分线，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．(3)解：⊙O的半径为6.【例3】(1)证明：如图，连接OD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴直线DF是⊙O的切线．(2)证明：如图，连接AD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵AB＝AC，∴DB＝DC＝eq\f(1,2)BC.∵∠CDF＋∠C＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DAC.∵∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF·AC，即BC2＝4CF·AC.(3)解：S阴影＝eq\f(16π,3)－4eq\r(3).【跟踪训练】5．(1)证明：如图，连接OC.∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠A＋∠AFO＋90°＝180°.∵∠ACE＋∠AFO＝180°，∴∠ACE＝90°＋∠A.∵OA＝OC，