2011年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析（解析版）

PAGE1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合．【答案】.2．函数的值域为．【答案】.【解析】提示：设，且，则．设，则，且，所以．3．设为正实数，，，则．【答案】-1.【解析】提示：由，得．又，即．=1\*GB3①于是．=2\*GB3②再由不等式=1\*GB3①中等号成立的条件，得．与=2\*GB3②联立解得或故．4．如果，，那么的取值范围是．【答案】.【解析】提示：不等式等价于.又是上的增函数，所以，故Z)．因为，所以的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）【答案】15000.【解析】提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有种方案；所以满足题设要求的方案数为．6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为．【答案】.【解析】AABCDOPMN7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为．【答案】或．【解析】提示：设，由得，则，．又，所以，．因为，所以，即有，即，即，即．显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合．所以，解得．故所求点的坐标为或．8．已知C，则数列中整数项的个数为．【答案】15.【解析】提示：C．要使为整数，必有均为整数，从而．当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．当时，C，在C中，中因数2的个数为，同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以C中因数2的个数为，故是整数．当时，C，在C中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数．因此，整数项的个数为．9．（本题满分16分）设函数，实数满足，，求的值．故．解得或（舍去）．把代入解得．所以，．10．（本题满分20分）已知数列满足：R且，N．（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小．，显然在时恒有，故．11．（本题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．【解析】（1）设直线：，．将代入中，化简整理得．于是有，．则，上式中，分子，从而，．又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以△的内切圆的圆心在直线上．所以一、（本题满分40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点．若，证明：．【解析】延长线段与圆交于另一点，则，又是线段的中点，故，从而．又，所以△∽△，于是，即.从而有，即．又，所以△ABQ∽△ACD，所以．延长线段与圆交于另一点，则，故．又因为为的中点，所以．又，所以．二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有．因此，对任意个正整数，有．但对任意正整数，有，故，从而．所以符合题设要求．三、（本题满分50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．证明：．【解析】对给定的，满足，且①的三元数组的个数记为．注意到，若固定，则显然至多有一个使得①成立．因，即有种选法，故．同样地，若固定，则至多有一个使得①成立．因，即有种选法，故．从而．四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值.【解析】首先证明A中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表第列从上到下填的数依次为．记，这里．我们证明：三组数；及都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在，使，则，即第1行的第至第列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．又假如存在，使，则，即第2行至第3行、第列至第列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在，使．因此上述断言得证．故，所以，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个