专题9解三角形（学生版）

专题9解三角形解三角形是解三角形是每年高考命题的常考内容，主要考查利用正余弦定理进行边、角、面积的计算，三角形形状的判定及有关范围最值问题，常与三角恒等变换综合考查，多解答题形式出现。通过本专题的复习要注意三角形自身条件的使用和限制，注意统一边或角的解题方向选择，注意多个三角形结构中利用已知条件和关系寻找思路突破，注意运用函数和方程思想及不等式工具解决范围最值问题。专题中三个探究（基本量、最值范围、平面高考几何中应用）凸显核心考点，重点分析解三角形在高考中的热点和难点，在思维上起到了很好的引导作用。——大冶一中高级教师陈俊杰探究1：利用正弦、余弦定理解基本量问题【典例剖析】例1.(2022·全国甲卷理科)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120∘,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=选题意图:选题意图:高考真题，三角函数与函数最值问题结合起来，引导学生利用数形结合思想求解计算.本题通过构建的ACAB的函数模型，考查数学建模的核心素养，再通过寻找ACAB取最小值的等价条件，加强对学生运算能力的考查,在求思维引导：设CD=2BD=2m,利用余弦定理表示出【变式训练】练11(2021·全国乙卷理科)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=练12(2022·湖北省武汉市联考)已知△ABC三边BC，AC，AB上的高分别为12、22、1，则cosA=A.​32 B.-​22 练13(2022·湖南省衡阳市联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b-c=14a，2sinB=3sinC，则cosA的值为

【规律方法】1．正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．2．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．3．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．4.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A+B+C=π.探究2：求解三角形中的最值与范围问题【典例剖析】例2.(2022·新高考1卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B选题意图选题意图：高考真题，本题是解三角形的综合题，虽然条件简洁、问题明确，但涉及的知识点较多，题目灵活新颖，主要体现在第二问的考法，将边转化为角度，借助三角恒等变换和对勾函数的单调性求解，主要考查学生对条件的分析转化能力.思维引导：由二倍角公式,同角三角函数的基本关系,两角差的正切公式化简得tan(π4-A2)=tanB,即可求B；

(2)【变式训练】练21(2022·广东省名校联考)△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=2π3，(1)若b=23c(2)求△ABC的面积S的取值范围．练22(2020·全国新课标Ⅱ理科)△ABC中，sin2(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值．练23(2022·江苏省模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b-ca=cos(1)求角A的大小；(2)若点D在边AC上，且BD=13练24(2022·湖北省荆州市联考)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知sin2B-cosA=cos(A+2B)．

(1)若A=π6，求C;【规律方法】三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：1.利用基本不等式求得最大值或最小值；2.将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．探究3：正、余弦定理在平面几何中的应用【典例剖析】例3.(2022·江苏省扬州市联考)在三角形ABC中，A=60∘，D点在AC边上，AD=1，DC=(1)

BD=7，求△ABD(2)

若E点在AB边上，AD=AE，∠DBC=30∘，求选题意图选题意图：江苏省联考题，本题以平面几何问题为背景，考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，借助诱导公式和三角恒等变换求解.考查数形结合的数学思想，要求学生能够整体把握问题的本质，深刻理解数学的基本概念和基本思想方法.思维引导：由在△ABD中,由余弦定理求出AB,再由三角形的面积公式求解;设∠EDB=θ,在△BDE和△BDC【变式训练】练31(2022·山东省潍坊市联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为3a2+b2-c24．

(1)求∠C;

(2)若∠A=π2，∠C的角平分线CE与边练32(2022·湖北省联考)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，线段AE交BC于点D，BD=1．

(1)求sin∠ADB;(2)若AD=3DE，求BE长．练33(2022·湖南省联考)如图，在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2，CD=5，∠ABC=2π3．

(1)若AC=27，求梯形ABCD的面积;

(2)若AC⊥BD，求练34(2022·河北省秦皇岛市三模)从①BD⋅sin∠ABD=3sinA,②S△ABD=33，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：如图，在平面四边形ABCD中，已知AB=4,A=π3，且_______