专题04求数列通项公式

专题04求数列通项公式目录TOC\o"13"\h\z\u题型一：累加/累乘 1题型二：求和公式 2题型三： 3题型四： 4题型五： 4题型六： 5题型七：同除、平衡指数、因式分解 5例题精讲例题精讲累加/累乘【要点讲解】已知数列，其中，满足，试求数列的通项【解答】已知数列，其中，满足，试求数列的通项。【解答】已知数列，其中，满足，试求数列的通项。解法：已知数列，其中，满足，试求数列的通项。【解答】求和公式【要点讲解】已知数列，满足，试求数列的通项【解答】①当时，②当时，，作差可得很明显，时也成立，故而数列的通项公式为：。已知正项数列，满足，试求数列的通项公式。【解答】①当时，，解得②当时，，作差可得，化简可得：故而数列是以3为首项，以2位公差的等差数列，即。已知正项数列，满足，试求数列的通项公式。【解答】eq\o\ac(○,1)当时，；eq\o\ac(○,2)当时，，作差可得，化简可得：很明显，时也成立，故而数列的通项公式为：。已知数列，其中，满足，试求数列的通项。【解答】设，化简可得，对比原式可得，代入假设的式子可得：，故而可得数列是以4为首项，以2为公比的等比数列，故而已知数列，其中，满足，试求数列的通项。【解答】设，化简可得，对比原式可得，代入假设的式子可得：，故而可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，故而已知数列，其中，满足，试求数列的通项。【解答】将递推公式两边同时取倒数可得，故而可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，故而。已知数列，其中，满足，试求数列的通项。【解答】将两边同时加1可得，同时取倒数，将式子右侧化简可得，假设，故而可得，为线性数列。根据线性数列的性质可得，数列是以为首项，以2为公比的等比数列，故而可得，亦即化简可得，。已知数列，其中，满足，试求数列的通项。【解答】将根据递推公式可得，故而数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，故而可得，根据线性数列的性质可得：，故而数列是以5为首项，以2为公比的等比数列，故而可得。同除、平衡指数、因式分解【解答】已知数列，其中，满足，试求数列的通项。递推公式可化简为，两边同除，化简可得。故而数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，故而可得，，化简可得。已知正项数列，其中，满足，试求数列的通项。【解答】观察到递推公式存在根式，故而两边同时加1可得化简可得，故而数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，故而可得，，化简可得。已知正项数列，其中，满足，试求数列的通项。【解答】将递推公式因式分解可得，因为正项数列，故而可得化简为，由线性数列的性质可得，故而数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，此时。课后课后练习一．选择题（共6小题）1．已知数列满足，则A．当时，则 B．当时，则 C．当时，则 D．当时，则【解答】解：，，即，对于：当时，，故，故错误；对于：当时，，故，故错误；对于：当时，，，故错误；对于，由于，所以，所以，同理可推，当时，，成立，假设当时成立，，即，当时：，由于，所以，所以成立，故恒成立，得证．故选：．2．已知数列的前项和为，且满足，若，则A．2027 B．1012 C．1013 D．1014【解答】解：，当时，，当时，，故数列从第2项开始都是偶数，而是奇数，故正整数和其中必有一个等于，另一个就是，故．故选：．3．在数列中，若，，则A． B．1 C． D．2【解答】解：因为，，所以，，，所以数列为周期数列，周期为3，则，故选：．4．数列满足，则等于A． B． C． D．【解答】解：数列满足，①当时，，②①②得：，，由①得适合上式，故，，故选：．5．定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则A．1763 B．1935 C．2125 D．2303【解答】解：数列是“等比差”数列，，，，，，由累加法得，，由累乘法得，．故选：．6．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为A． B．4 C．3 D．2【解答】解：各项为正的数列的前项和为，满足，①，，当时，，②①②整理得：，可得，舍）即数列是首项为1，公差为2的等差数列，，，，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为2，故选：．二．多选题（共2小题）7．对于数列，若，，则下列说法正确的是A． B．数列是等差数列 C．数列是等差数列 D．【解答】解：对于数列，已知，，①则，②由②①可得：，又，即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则，，对于选项，，即选项正确；对于选项，，，，数列不是等差数列，即选项错误；对于选项，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即选项正确；对于选项，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则，即选项正确．故选：．8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是A． B． C． D．【解答】解：对于，，，，，，，，，即，故正确；对于，，故正确；对于，，，，，即，故正确；对于，，，，，将以上各式相加得，，即，，故错误，故选：．三．填空题（共4小题）9．已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为．【解答】解：因为，两边取倒数可得，变形可得，所以数列是等比数列，且首项为，公比为2，所以，则，又，数列为递增数列，所以，即．当时，，即，解得．所以实数的取值范围为．故答案为：．10．已知为数列的前项和，且，若，则8．【解答】解：已知为数列的前项和，且，则，则，即，又，则．故答案为：8．11．已知数列的前项和为，且，则．【解答】解：因为，所以当时，，两式相减得，整理得，即时，，又当时，，解得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以．故答案为：．12．已知数列的前项和为正整数），则此数列的通项公式．【解答】解：已知数列的前项和为正整数），则当时，，又，即．故答案为：．四．解答题（共4小题）13．已知等差数列的前项和为，，．数列的前项和为，，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的最大项．【解答】（1）设等差数列的首项为，公差为，则，所以，所以，因为，当时，，则，所以；当时，，所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以；（2）因为，所以，，，当时，，因为在时单调递减，所以，所以当时，，即，所以，所以数列的最大项为．14．已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）为满足的的个数，求使成立的最小正整数的值．【解答】解：（1）由题意，，，，，，，，，所以，又，，都符合上式，所以，所以当，，又符合上式，所以；（2）结合（1）可知，，设数列的前项和，则，因为每一项都为正，所以是单调递增的，又，，所以所求最小正整数为11．15．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若存在正整数，使得成立，求的值．【解答】解：（1），，两式相减可得，等比数列的各项均为正数，；设公比为，则，解得，即，当时，，解得，；（2）若存在正整数，使得，即，，解得，存在，使得．16．30．设数列的前项和是，且满足．（1）求的值；（2）求证：数列是等