2022年高考数学专题1 1 已知不等恒成立分离参数定最值

专题11已知不等恒成立，分离参数定最值

【题型综述】

不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①别离参数+函数最值；②直.接化为最值+分类讨论；

③，缩小范围+证明不等式；④别离函数+数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函

数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，那么需要屡次求导，也有

可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法那么求极限〔超出教学大纲要求〕；直接化为

最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点

是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结

构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。别

离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的上下，这要涉及到

图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像,

实际是一种猜想。俗话说，形缺数时难入微。

【典例指引】

例1己知函数〃x)=e，(ox+6)-e'lnx.

(1)假设函数/(x)在x=l处取得极值，且6=1,求a；

(2)假设6=-a,且函数〃x)在［1,”)上单调递增，求a的取值范围.

解:(1)=jax^rb-lnx^a-由题意可得：r(i)=o,又力=i,所以。=0.经检蛉适合题意.

XJ

(n1

⑵te£,ax-lnx——

xJx

/(x)在［1,+8)上单调递增or(x)N0在［LTD)上恒成立=G-lnx-：20在口,+8)上恒成立

法一(分离参数十醺爆值八则a2也-上在卜功上恒成立，令g(x)=lH+L,

XJCI7XX*

下面求g(x)在［L+00)上的最大值.gixi=In'-4~=L\--,令〃(x)=x-x/«x-2,则

JTXX"

(1\

川㈤=1-;11nx+X—；=-lnx显然，当xNl时,ftr(x)<0,即机x)单调递减,从而力卜)4川1)=一1.

x)'r'r

所以，当X“时，g'(x)40,即g(x)单调递减，从而g(x)3=g(l)=l.因此，a>l.

法二(直接化为最值+分类讨论)：令g(x)=G-lnx-Jg，(x)=>；J+1.令〃(x)=加-x+l(x训,

①当〃=0时，〃(x)=-x+l<0,所以，(x)wo,即g(x)在［1,+8)上单调递减.而廉1)=〃-1=一1<0,与

g(x)NO在xw［L+oo)上恒成立相矛盾.

②当。>0时，那么开口向上

(方案一)：I.假设A=l-4<7K0,即时，/?(x)>0,BP^X(X)>0,XG［1,+OO),所以g(x)在［1,+8)上

递增，所以gmin(x)=g(l)=〃T>。，即心L

n.假设△>(),即0<々<；时，此时g(i)=〃一1<0,不合题意.

(方案二)：I.若对称轴x=(«l,即a?!时，则”(X)在［L+功上为增函数，

ft(x)>ft(l)=a>0,即g")>O,xe［l,-g),所以g(x)在［L+8)上递熠，所以gm(x)=g(l)=a-120,

a>1.

II.若对称轴x>1,即0<4<：时，则g(l)=a-1<0,不合题意.

法三(缩小范围+证明不等式)：令g(x)=ar-lnx-L那么g⑴NOna-1之0=〃21.

另一方面，当。之1时，那么有/(尤)=。一!+［=竺工山，^/z(x)=ax2-x+1,开口向上，对称轴

XXX

x=［w(0,；,故〃(x)在［1,口)上为增函数，所以〃(力之〃⑴=a>0n，(x)>0=>g(x)在［1,+8)上为增

函数，那么g(x)>g(l)=〃—120,故aNl适合题意.

例2.(2021全国新课标W文20)己知函数"了)=(%+1)。%-0(工一1).

(I)当a=4时，求曲线y=/(x)在(1,〃功处的切线方程;

(H).假设当x€(l,+oo)时，/(x)>0,求a的取值范围.

简析：<I)〃*)的定义域为(0,+»).当&=4时，/(x)=(x+l)lnx-4(x-l),/f(x)=lnx+1-3,

X

/'(1)=-2./(1)=0,所以曲线丁=/(x)在11./(1))处的切线方程为2x+丁-2=0.

(II)却案，系化)：/(x)=(x-l)lnx-a(x-l)>0在［Le)恒成立olnx-^l!>0

在［l,xo)恒成立，令g㈤=10*—3彳\g，(x)=：_二^T」-2|1-：产-1,g⑴=。

XFIxIX-rl)x(x+l)

①当a«2时，则X€(l,”))时，x：+2(l-a)x+12x：-2x+l>0，故g'(x)>0,g(x)在(l,y)上是增函数，

故有g(x)>g(l)=0

②当a>2时，则g'(x)=0=X］=a_］__］,xz=a-l+^(a-l)*-1>1,由xpr：=l=0<x1<1,

故x£(Lx：)ng，(x)<0,g(x)在Q,x：)上是减函数，故有xe£x：)ng(x)<g(l)=0,故a>2不适合题意.

综上，实数。的取值范围为a42

法二(直接化为最值)：/(x)=(x+l)lnx-a(x-l)>0在口,”)恒成立，那么/口)=lnx+--a(导函

数为超越函数)；_r(x)=L-4=W>0nr(x)=lnx+4+l-a在［I,”)为增函数，那么

/'(x)2r(l)=2-a(1)当2—a20即aV2时，那么/'(x)2/'(x)=2-a20(当且仅当x=l,a=2时，取

"="),故/(x)在，,+oo)为增函数，那么有/⑴=0,故/(x)=(x+l)lnx-a(x-l)>0在［1,+00)恒

成立，故a42适合题意.

(2)当2-a<0即a>2时，那么/'(x)W/(1)=2—“<0,且/'(e")=l+e-">0,故/(x)=0在［1,田)有

唯一实根x0,那么/1(只在［1,%)为减函数,在卬+oo)增函数,又有"1)=0,那么存在x0«l,+oo),使得

/(A-())<0,故a>2不适合题意.综上，实数a的取值范围为a42。

法三(别离参数)：〃耳=("1)1门-“X-1)>0在［1,+00)恒成立04<丝譬在(1,”)恒成立(端点

(x+l)lnx%----21nx

%=1自动成立)，那么设g(x)Jg=g，a)=_x__,令

工一1(x-lY

/z(x)=x---21nx=>/z/(x)=1+=-——4^^">0=〃(1)=%一,一2111%在［1,+00)为增函数，那么

h(x)>〃⑴=0=/⑺>0ngM=在(［收)为增函数，又因

x—1

/、(x+l)lnx=lim+l+lnx|=2,

lirn^(x)=lirn^-I-故实数〃的取值范围为QW2

5(XJ

法四(缩小范围)：/(力=(工+1)111工-4(X-1)〉0在［1,+8)恒成立，且"1)=0,那么存在m>1,使得“X)

在匕为增函数n/'(x)=lnx+-----a20在［1,"?］上恒成立，4,x=l=>/r(l)>0=>a<2.

又当4*2时，/""(可=，一!=二>0=/("=111》+2+1-4在［1,+00)为增函数，那么

尸(x)2/⑴=2-a0(当且仅当(当且仅当x=l,a=2时，取"="),故"X)在［l,+oo)为增函数，那么有

/(%)>/(1)=0.故〃x)=(x+l)lnx-a(x-l)>0在［1,+8)恒成立，故a<2适合题意.

综上，实数。的取值范围为“42.

点评：当端点刚好适合题意时，那么别离参数法一般会用到传说中的洛必达法那么，缩小范围那么可利用

端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。

2.(重庆市2021届一诊理20)曲线〃x)=a(x-l)2+blnx在点(1J。))处的切线的斜率为1；

(1)假设函数J(x)在［2,+oo)上为减函数，求a的取值范围；

(2)当XC［1,~HX)时，不等式恒成立，求〃的取值范围.

解：(I)f\x)=2ax-2a^^-由题知力=1/./(x)=a(x-l):+lnx,

f'［x}=2ax-2a+1=2ax'-2ax-l,/3在［2,70)上单城，:.”、)40在［2,田)上恒成立

XX

f1'11

即2ax：-2ax-l40在［2,+oo)上恒成立，2a<j—；---；.a<--ij

(H)法一(直接化为最值)令g(x)=/(x)-x-l=a(x-l)：+和-x+1,则g(x)40在［l,xo)上恒成立，

.1.(2ax-l)(x-l|

g\x］=2ax-2a+—1=------,—-----

当2a40即aWO时，g'(x)40,g(x)在世华)上单减，二g(xKg(l)=O,符合题意；

当0<《41时，g'(x)>Q,g(x)在［Lvo)上单增，，当x>l时，g(x)>g(l)=O,矛盾；

当时，g(x)在1,()上单减，(1,+8)上单增，而89+1)=/〃弓+1］>0,矛盾；

综上，a<0.

法二(别离参数)/(切…/。。.”—..在(］,+8)卜恒成立(端点x=l自动成立)

(x—1)-

、八,、x-1-lnx,,、--x+2\nx人,,、1,>12八

=A

设g(x)=-^^ng(^)-—，令人(x)=一—x+21nxnh(x)=--7-1+-=---72-<0

(x-1)(x-1)XXXX

=>〃(x)=，-x+21nx在［l,+oo)上为减函数，.那么〃(x)<〃(l)=Ong，(x)〈Ong(x)在(1,+co)上为减函

故实数。的取值范围为。WO

法三(缩小范围)：令g㈤=/{x)T+l=4(x—lf-lnx—x+l,贝i」g(x)4O在囚一)上恒成立，注蕉U

g(l)=o,g7x)=2^-^+|-1=——————>则存在机>1，使得g(x)在1次］上为减函数

=g，(xj=23-2a-：-l40在［1,可上恒成立，又有gI］)=0.则存在»>1,使得g'(x)在口山上为减函数

=g"(x)=2a-±40在［1潭］上恒成立，又有葭(l)=2a-140=a«〈.

XL

⑴若aMO时,g，(x)MO,g(x)在［l,xo)上单减,，g(x)4g(l)=0,符合题意；

(2)假设时，那么故g(x)在［1,，］上单减(-5-,+8］上单增，而g仕+1］=/〃口+1］>0,

22a［_2a)\2a)\a)\a)

矛盾;

al/2a^^>^****^

°J麻)4*

I»

综上，实数。的取值范围为。40

点评：(1)在端点处恰好适合题意，别离参数所得函数却在Xf+8时得到下确界，值得留意.

(2)缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，那么需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩

短解题步骤。

(3)构造反例，寻找适宜的特殊值，.具有很强的技巧性。因函数g(x)=a(x-l)2-x+l+lnx分解为二次

函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点

为x=l,而二次函数的零点为x=l及x='+l,又知当时，零点x=」+l>l,故易得

a2a

g［，+l)=方,从而导出矛盾。

【扩展链接】

洛必达法那么简介：

法那么1假设函数“X)和g(x)满足以下条件：⑴戢/(x)=0及也g(x)=O；⑵在点a的去心邻

域内，"%)与g(x)可导，且g'(x)wO;⑶lim'J?=1,那么lim'"=lim'，=/.

zag")』g")

法那么2假设函数和g(x)满足以下条件:(1)lim/(x)=0及limg(x)=0；(2)3A>0,/(x)和

在(-oo,A)与(A+oo)上可导，且g，(x)H0；⑶lim=1,那么lim=lim=I.

XT9g(x)XT8g(x)Ig(x)

法那么3假设函数和g(x)满足以下条件：(1)］叫〃力=。及吧g(x)=o；(2)在点〃的去心邻

域内，"次)与g(x)可导且g'(x)=0;⑶lim'=1，那么lim'f=lim=I.

fg(x)sag(x)ig(x)

利用洛必达法那么求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

①将上面公式中的X—>8换成X—>+oo,xf-oo,x—Fa-洛必达法那么也成立。

②洛必达法那么可处理2方,0・8,18,8。,0°,8-8型。

000

③在着手求极限以前，首先要检查是否满足2艺,0・8,18,8°,0°,8-8型定式，否那么滥用洛必达法那么会

000

出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法那么，这时称洛必达法那么不适用，应从另外途径求

极限。

④假设条件符合，洛必达法那么可连续屡次使用，直到求出极限为止。

【同步训练】

1.函数=+lnx.

(1)假设a=l,求证：当x>l时，/(x)>2x-l；

(2)假设存在Ne,使/(x)<21nx0,求实数。的取值范围.

【思路引导】

(1)由题意对函数求导，然后构造函数8(力=d7+1!1¥-2%+1,结合函数的性质即可证得题中的结论；

(2)结合题意构造函数〃(x)=,结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是a>e.

【详细解析】

(1)0=1时，/(X)=*14加，f'(x)=产】---

X

设g(x)=#】T?ix_2xT,g'(x)=#】-L・2

x

r1

g"(X)=*・U,x>l,e->l:0>^T<1.g"(x)=*--lr>0

X*X，xA

g'(x)在(1,70)递境又£⑴=O'・,.X>1时，g,(x)>0

g(X)在(1,70)递熠,工〉1时，g(x)>g(1)=0,即/-而・2xT〉0

x>l时，d-/nr>2x・l,即/(x)>2x-l

(2)若存在劝之e,使/(xo)<2/nxo,即声上出

即存在双>与使次>：-

lnx0

xx1

设〃(x)=e(x>e),那么/?'(x)=—e—(Inx)

InxInxx

u=lnx-—,〃'k!+」■>(),u=lnx—■在［e,+QO)递增。

xxxx

x=e时，«=1-->0>所以">0在[e,+00)恒成立，

e

W(x)>0,在[e,+00)恒成立,所以〃(x)[e,+oo)递增

x>e,时力(x)min-h(e)-ee

需ell>e<=i>a>e

2.f^=ex-ax2,g(x»是/(x)的导函数.

(I)求g(x)的极值;

(II)假设+l在x20时恒成立，求实数。的取值范围.

【思路引导】

(I)求函数f(x)的导数glx)，再对g(x)进行求导屋(x),即可求出g(x)的极值；(II)讨论以

及时，对应函数fix)的单调性，求出满足/(x)»x+l在x20时恒成立时a的取值范围.

【详细解析】

(I)/(X)=ex-ax1>g(x)=/'(x)=^x-2ar^g*(x)=-2a,

当aKO时,g〈x)>0恒成立，g(x)无极值；

当a>0时,g*(x)=0即x=ln(2a|,

由g'(x)>0,得x>ln(2a);由g[x)vO,得xvln(2a),

所以当x=In(2a)时,有极小值2a-2ali1(2i).

(II)令A(x)二/—ax，—x—1,则｝'(x)=2'-l-2ax,注意到〃(0)=7f(0)=0,

令左(力=/一1一x,则上=且K(x)>0>得x>0:左'(X)<0>得xvO,

/r(x)>Zc(O)=0>即/21+x恒成立，故｝'(x)2x-2ax=(l—2a)x,

当asL时，l-2aN0,h'(x)>0,

2

于是当xNO时，之力⑼=0,即/'(x)之x+1成立.

当时，由，>l+x(XHO)可得一x(%。0).

2

〃(x)<e*—1+2a(e-x-l)=e-x(ex-l)(ex-2a),

故当工£(0,ln(2a))时，万(x)<0,

于是当x£(0,In(2〃))时，/z(x)<〃⑼=0,f(x)Nx+l不成立.

综上，。的取值范围为卜叫；.

3.函数/(x)=x+0+(a-l)lnx(a<0).

(I)假设a=—2,求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(II)求函数“X)的单调区间；

(III)设函数g(x)=Z.假设对于任意都有〃x)>g(x)成立，求实数a的取值范围.

【思路引导】

(I)求出/'(x),可得切线斜率/'⑴=0,根据点斜式可得切线方程;(H)讨论三种情况，分别令/'(力>0

得增区间，/'(x)<0得减区间；(HI)对于任意X€(l,e］,都有/(x)>g(x)成立等价于a—1>］工恒

成立，利用导数研究函数/(x)=］三的单调性，求出其最大值，进而可得结果.

【详细解析】

(I)函数的定义域为(0,+8).

当a=-2时，/(x)=x---31nx,/(1)=-1,

X

r(x)=i+24--?>/,(1)=o-

XX

所以曲线y=/(x)在点(1/(1))处的切线方程为y=-1.

(U)因为/，(力=1-2+三=*+(〃T)x-a=(x-"x+a).

XXXX

令/'(x)=0,即£+(a-l)x-a=0,解得工=1或X=-。.

(1)当即一l<a<0时，

由f(X)>0,得0<x<-a或x>l；

由得一

所以函数〃x)的增区间为(0,—a),(L+8),瀛区间为(-al).

(2)当一a>l,即a<T时，

由/''(x)>0,得0cx<1或x>-a；

由(x)<0,得1<x<-a.

所以函额f(x)的增区间为(0J),(-小+8),减区间为(L-a).

(3)当—a=l,即a=-l时，/'(x)="、?+1=(-[).0在(0,一)上恒成立,

所以函数/(x)的增区间为(0,+8),无减区间.

综上所述：

当一l<a<0时，函数/(x)的增区间为(0,—a),(l,+oo),减区间为(-a,1)：

当a<-l时，函数/(x)的增区间为(0,1),(—。,+8),减区间为(1,-a)；

当a=—1时，函数/(x)的增区间为(0,+00),无减区间.

(III)因为对于任意都有〃x)>g(x)成立,

那么x+(a-l)lnx>0,等价于°一1>』.

I7lar

令尸(x)=j^,那么当xe(l,e]时，a-l>F(x)nm.

1-lnx

F'(x)=

因为当xe(l,e］时，F(x)>0,所以尸(x)在［l,e］上单调递增.

所以厂(%)皿=产(6)=—夕

所以。>1一e.

所以l-e<a<0.

2x2

4,函数f(x)=e(ax+2x-1),aeR

(］)当a=4时，求证：过点P(l,0)有三条直线与曲线y=f(x)相切;

(II)当XV。时，f(x)+120,求实数a的取值范围.

【思路引导】

2x2

(1)f'(x)=2e(4x+6x),设直线与曲线y=f(x)相切，其切点为距思。))，求出切线方程，且切线过点P(1,O),可

得8x；-"Xo+l=O,判断方程有三个不的根，那么结论易得；

212111

ax+2x-l+——>0h(x)=ax+2x-1+—h(x)=2(ax+1------)m(x)=ax+1------

(2)易得当xw。时，e2x，设e”,那么『，设

,2

m(x)=a+——

那么e2X,分a:2、a2-2两种情况讨论函数h(x)的单调性并求出最小值，即可得出结论；

法二：

(1)同法一得8*。n14*0+1=0,设g(x)=8x3-14x+l,求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得

出结论；

(2)同法一.

【详细解析】

解法一：(I)当a=4时，f(x)=e"(4x?+2x.l),

f(x)=e7",2(4x?+2x-1)♦e?*(8x+2)=2e?"(4x?+6x)

设直线与曲线y=f(幻相切，其切点为

则曲线y=在点处的切线方程为：丫-f(x°)=f(x°)(x7。)，

因为切线过点WQ),所以='⑷。P

22

即-e°(4x02x0-1)=2e°(4x0+6x0)(l-xol^

?，OJ

ve>0•,•8XO-14X0+1=0

，>

设g(x)=8xL14x+l,

vg(-2)=-35<0,g(0)=1>0,g(l)=•5<0,g(2)=37>0

A8()=。在三个区间(-2，。),(。，1)JU)上至少各有一个根

又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程8x、Mx+1=。恰有三个根，

故过点p(i，°)有三条直线与曲线丫=相切.

2x2

([])•.•当x40时，f(x)+1>0(即当X40时，e(ax+2x-l)+l>0

ax2+2x-l+—>0

.•.当xSO时，e2x

,121

h(x)=ax+2x-1+—h(x)=2ax+2-----=2(ax+1------)

2x,2x2x

设。，那么ee,

1.2

m(x)=ax+1-——m(x)=a+—

2x,2x

设e,那么e.

2

,­•x<0,­,•——>2,

(1)当a2-2时，e2x,从而m(x)20(当且仅当x=°时，等号成立)

1

：・m(x)=ax+1-----

e?*在(-8,0]|二单调递增,

又rm(0)=0,•••当X40时，m(x)<0,从而当XV。时，h(x)<0,

•••h(x)=ax2+2x-1+—

e?%(-8,0]上单调递减，又Vh(0)=0,

ax2+2x-l+—>0

从而当xs。时，h(x)20,即e2x

于是当XSO时，f(x)+120,

212

.a♦—=0,x=-ln(--)<0,

⑵当a«2时，令m(x)=0,得「

12a2K4

Xe(ln(--),0|m(x)=Ne+T<°

故当2a时，e-',

...,112

••m(x)=ax+l-—(_|n(.,)(0|

e在2a上单调递减，

12

xe(ln(--),0|

又rm(0)=0,.•.当2a时，m(x)20.

12

xe(-ln(--),0]

从而当2a时，h(x)20,

2112

•••h(x)=ax+2x-l+—

e在2a上单调递增，又小⑼:。,

1221

xe(-ln(--),O)ax+2x-l+±<0

从而当2a时，h(x)<0,即e

12

xe(-ln(--),O)

于是当2a时，f(x)+l<0,

综合得a的取值范围为「2,+8)

解法二：(I)当a=4时，f(x)=e2'(4x?+2x.：l),

f(x)=e?M12(4x'+2x•1)♦e"(8x+2)=2e;，(4x?+6x),

设直线与曲线y=f同相切，其切点为"/(xJ,

则曲线丫=则在点/w处的切线方程为y■仪)=f(x°)<x叫

因为切线过点P(1Q),所以=n)(1-X。)，

2

即-e°(4x0+2x0-1)=2e°(4x(/+6x0)(l7*

2x_3

ve°>0,<*8xo-14x(,+1=0

9

7

x;士

设g(x)=8x、14x+1,贝强(x)=24x<14,令8区=崎J12

当X变化时，g(x)，g(x)变化情况如下表：

4)

X盅J

g'(x)+0—0+

极大值极小值

g(x)-用/

•••8x3-14x+l=0恰有三个根，

故过点P(I，°)有三条直线与曲线y=f(x)相切.

(H)同解法一.

2

5.函数f(x)=mlnx-x+2(m<8).

.(1)当曲线y=f(x)在点(i，f⑴)处的切线的斜率大于-2时,求函数3)的单调区间;

(2)假设f(x)-f(x)44*-3对*[1,+8)恒成立，求m的取值范围提示:ln2=0.7)

【思路引导】

.m-2x2+mm

f(x)=--2x=------------.x=—

⑴考查函数的定义域(。，+8),且XX,由f(x)=o,得J2.分类讨论:

mm

0<x<—(0,—)

当J2时，f(x)的单调递增区间为[2

mm

x>I(~+°°)

当时，f(x)的单调递减区间为J2.

m2m

2—+2x-4x+3=minx-x-2x--+5

(2)构造新函数，令g(x)=mlnx-x+2xx.x>1

.mm(x+l)(m-2x2)

g(x)=--2x-2+—

那么xX2x2,X21,分类讨论:

①当m42时，可得m=2

综上所述，24m48.

【详细解析】

.m-2x2♦m

f(x)=--2x=------------.

(D的定义域为©+8),*x,=.%m>0

immm

.x=I-0<x<(0,IT

由f(x)=0,得口.当\2时，，")>0,.”仅)的单调递增区间为«；

mjm

当时，f(x)v。，Mx)的单调递减区间为、2'+.

m2m

2—♦2x-4x♦3=minx-x-2x--*5

(2)令g(x)=mlnx-x+2xx,x21,

mm-2x3-2x2mx+m(x*l)(m•2x2|

g(x)=--2x-2+—=--------------：------------=---

则XXXX,X21,

①当m，2时，g(x)40,所以g(x)在(1,+8)上单调递减，所以当XZ1,g(x)sg(l),故只需以1)$°,即

-l-2-m+5S0,即m22,所以m=2

x=m

②当2Vm48时，令g'(x)=o,得J2

F,x>P.

1<x<

当2时,g(x)>0,g(x)单调递增；当2时,g(x)<0,g(x)单调递减.

X=P

所以当2时,g(x)取得最大值.

mm

2-------j=+5<0

mmJ2m

g(I—)<0mln

故只需C,即222

mmm

化简得2n222^2m+5<0,

m

令2,得tlnt-t-4j+540(l<t<4)

22

h(x)=1+Inx-1--；==lnx--7=

令h(x)=xlnx-x-4m+5(1<t<4)?那么JxQx

2.11

H(x)=Inx--7=H(x)=-+―->0

令Jx,XX7X

所以h(x)在(l,+8)上单调递增，又h'⑴=-2<0,h'⑷=ln4-l>0,所以土(1,4),Mx。)=0,所以h(x)在。入)

上单调递减，在"。'用上递增,

而h(l)=-1-4+5=0,h(4)=41n4-4-8+5=8ln2・7<0,所以xW(1,4］卜恒有h(x)<0,

mm

'------f=+5<0

|mm2m

mlnI---------J?

即当2Vm48时，J22

综上所述，24m48.

6.函数/(x)=e“'+"(a<0)在点(0,〃0))处的切线方程为y=5x+l,且41)+/'⑴=12.

(1)求函数>=/(X)的极值;

(II)假设/(x)>f+3在xe[l,向上恒成立，求正整数出的最大值.

【思路引导】

(I)由函数的解析式可得f(x)=e-x+6x,结合导函数与极值的关系可得

极小佰="_山6)=eln6-61n6=6-61n6,无极大值.

(U)由题意结合恒成立的条件可得正整数，"的最大值是5.

【详细解析】

(I)/(工)=j+bx,那么/(工)=4j+6

%小需3，得噎m2，化简得(if。

由a<0得a=—Lb=6,〃x)=ef+6x

即/(回=一「+6=0,得x=-ln6,/(x)在(-x「ln6)单调递减，在(Tn6,+“)单调递增,

_=/(-ln6)=ehf-61n6=6-61n6,无极大值.

(II)/(x)>x：+3在xe[L司上恒成立，等价于eT-x'+6x-3>0在xe[L司上恒成立.

设g(x)=e-x-+6x-3,贝ijg'(x)=-e-'-2x+6

设Mx)=g'(x)=-e-*-2x+6,贝此'(x)=e-'-2,

：l<x<m,有"(x)<0,在区间[L同上是减函数,

-2-3

又=>0s/i(2)=2-e>0^(3)=-e<0,

二存在七6(2,3),使得%(毛)=g(毛)=0,当14x<毛时，有g'(x)>0,当x>/时，有

g'(x)<0.y=g(x)在区间[[，同上递增，在区间(玉)，根)上递减，

又•••g(l)=eT+2>0,g(2)=e-2+5>0,g(3)=e-3+6>0,

g(4)=e^+5>0,g(5)=e-5+2>0,g(6)=e^-3<0.

.•.当1WXW5时，恒有g(x)>0；当x26时，恒有g(x)<0：

...使命题成立的正整数加的最大值为5

7.函数=；,g(x)=x3-kx,其中a,keR.

(1)假设/(x)的一个极值点为g,求/(x)的单调区间与极小值；

(2)当a=0时,V^e[0,2],^€[1,2],/2)wg(w),且g(x)在[1,2]上有极值,求2的取值

范围.

【思路引导】

(1)求导，由题意/'(g]=0,可得。=-(，下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可；

Y1

(2)当a=0时，〃x)=一一，求导，酒红色的单调性可得.•"(X)=/(1)=上，进而得到

、，丁+1、，IHdA'/2

"X)GO.3.

又g'(x)=3x2—hxe[l,2],分类讨论，可得&W3或左212时，g(x)在［1,2］上无极值.

假设3(攵<12,通过讨论g(无)的单调性，可得且⑴.二g|J—|=-------k-,或

n川3J92

g(x)m；,x=max{8—2k,l—%}<0,可得)的取值范围.

【详细解析】

/、-•/\—/+2tzx+1

)"一(12+1八)2

3

，晶。…TX+-

-■-/(x)="•

X+1

令()得再=(,第

y'x=o=­2)

令r(x)>0得-2<x<:；令/Tx)<0得x<-2或x>L

2

.•・/(X)的单调递增区间为1-2,/),甲.调递减区间为(—00,2),(/'+8)

.•./(X)的极小值为2)=—

y—+1

⑵当。=0时，/(X)=-y-,=

X+1(d+1)

令*x)<0,得xe(L2］,二〃x)在(L2］上递减；

令f'(x)>0,得xe［0J),二在［0J上递增.

一1,,2r1"

二〃工)川=/⑴=不，"/(0)=0,〃2)=工，0s-.

g\x\=3x-k,xe［l,2］,

⑴若左43,则/(x)N0,二g(x)在［L2］上递增，二g(x)在［L2］上无极值.

(ii)若k之12,则g'(x)40,二g(x)在［L2］上递减,二g(x)在［L2］上无极值.

(iii)若3〈左<12,g(x)在卜后上递遍，在上递增，

二g(%r'=g|/j=-邛/或g(x)g=max{8-2七1-町<0，

■：3<k<\2,:A<k<12.

综上，左的取值范围为(412).

8.函数/(x)=sinx-xcosur(x>0).

⑴求函数/(X)的图象在处的切线方程；

(2)假设任意XG(0,+8),不等式/(%)<加恒成立，求实数4的取值范围;

(3)设777=j/(x)dx,g(加昌力⑴,

0

证明：i+gg)i+g[*卜[i+g(庭.

【思路引导】

(1)求导，易得结果为y=

⑵原不等式等价于sinx-xcosx-or3<0,令g(x)=sinx-xcosx-公3,^'(x)=x(sinr-3oY),令

〃(x)=siiu-3ox,〃'(x)=C0SJC-3a,分aK<g三种情况讨论函数的单调性，那么可得

结论；

⑶利用定积分求出，〃的值，由(2)知，当a=，时，那么g(x)Wx,令M%)=ln(l+x)—x,

x>0,求导并判断函数a(x)的单调性，求出〃(力<“(0)=0,即ln(l+x)<x在(0,+“)上恒成立，令

%=[得]11。+」7]<17,那么结论易得.

3nI3")3"

【详细解析】

7T

(1)/r(x)=xsinx,・•.切线为*+1