2022年北师大版九年级数学下册第二章二次函数重点解析练习题

北师大版九年级数学下册第二章二次函数重点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷(选择题)和第I[卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷(选择题30分)

一、单选题(10小题，每小题3分，共计30分)

1、把抛物线y=向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是()

A.y=-^x2B.y=_；(x+l)2_]

C.y=--x2-2D.y=-：(x-l)2-1

22

2、如图，抛物线(aWO)与才轴交于点2(—1,0),与y轴的交点8在点(0,2)与点

3

(0,3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=2.有以下结论：①aAcVO；②5K3〜>0；③一,

<a<-2j；④若点欣一9a,力)，M5ja,㈤在抛物线上，则力〈%其中正确结论的个数是

()

A.1B.2C.3D.4

3、已知二次函数y=-（x-加,-研1（而为常数）.

①二次函数图象的顶点始终在直线尸-x+1上

②当x<2时，y随十的增大而增大，则炉2

③点4（为，%）与点5（x2,72）在函数图象上，若为<*2,X\+X2>2m,则弘<必

其中，正确结论的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

4、抛物线y=-2（》-炉+2的对称轴是直线（）

A.x=—1B.x=lC.x=-2D.x=2

5、在平面直角坐标系中，将二次函数y=-/+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新

函数的图象如图所示（实线部分）.若直线y=6与新函数的图象有3个公共点，则6的值是（）

A.0B.-3C.-4D.-5

6、如果将抛物线y=*+2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式

是（）

A.y=（x-1）?+2B.y=（A+1）2+1C.y=x+lD.y=（x+1）2-1

7、某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆.该爆竹点燃后离地高度方（单位：m）关于离地时间t

（单位：s）的函数解析式是力=201-5巴其中t的取值范围是（）

A.e0B.0WK2C.2W0D.OW0

8、下列各式中，y是十的二次函数的是（)

1

AA.y=—1yBo.y=x2+—+11

XX

C.y=2x2-]D.y=4^~i

9、若点42,7)在二次函数丫=奴2+2以+，的图象上，则下列各点中，一定在二次函数图象上的是

()

A.(Y,7)B.(-2,7)C.(0,7)D.(2,-7)

10、已知二次函数y=a^+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程a^+bx+c=0的解为

()

A.Xi=-3,生=0B.£=3，x2=-1

C.汨=-3,x2=-1D.矛i=-3,吊=1

第n卷(非选择题70分)

二、填空题(5小题，每小题4分，共计20分)

1、已知抛物线y=a(户1)2+k(a>0)上有三点(-3,%),B4,姓)，<7(2,④，则%，如小的

大小关系是(用连接).

2、将抛物线y=Y向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是.

3、下列关于二次函数了=f一2“+2必-3(R为常数)的结论：

①该函数的图象与x轴总有两个公共点;

②若X>1时，y随X的增大而增大，则m=1；

③无论而为何值，该函数的图象必经过一个定点；

④该函数图象的顶点一定不在直线尸一2的上方.

其中正确的是(填写序号).

4、若点B(2,12)在抛物线y=2f上，则%,%的大小关系为：必%(填“>”，

“=”或).

5、某种产品今年的年产量是203计划今后两年增加产量.如果每年的产量都比上一年增加x倍，

两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是.

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元.当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶.经市场调

查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少10瓶.

(1)当每瓶售价为11元时，日均销售量为瓶；

(2)当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为700元？

(3)当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？

2、在AABC中，。是BC边上任意一点，PE〃AB交AC于E,PF〃AC交AB于■F.

(1)求证：AE=PF；

(2)若BC=2,且8c边上的高4)=1,设=用含x的式子表示的面积;

(3)问点厂在BC上什么位置时，△庄户的面积最大？

3、二次函数了=&/+以+。的图象经过点力(4,0),B(0,-3),<7(-2,0),求它的解析式，直

接写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.

4、如图，抛物线>=-丁+灰+c与x轴交于点A（-1,O）,8（3,0）两点.点。是直线比'上方抛物线上一

动点，过点。作PELx轴于点£,交直线6c于点D.设点P的横坐标为加

（1）求抛物线的解析式；

（2）求APCB的最大面积及点尸的坐标；

5、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是

40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x>40）,请你分别用x的代数式来表示销售量y件和

销售该品牌玩具获得利润甲元，并把结果填写在表格中：

销售单价（元）X

销售量y（件）—

销售玩具获得利润犷

（元）—

（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400

件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？

-参考答案_

一、单选题

1、D

【分析】

抛物线平移法则为：左加右减，上加下减，由此判断即可.

【详解】

解：抛物线y=-gx2-l向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是y=

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数图象的平移问题，掌握平移法则是解题关键.

2、C

【分析】

根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答.

【详解】

解：①由开口可知：a<0,

:对称轴一二>0

2a

：.b>0,

由抛物线与y轴的交点可知：c>0,

：・abc<0,故①正确；

②对称轴A=-——2,

2a

/.b=-Aa,

.•・5@+3济。=5%I2a+c=-7a^-cf

*/a<0,c>0,

C.-la^c>0,

.•・5a+3田■<;>0,故②正确；

③,.•产-1,尸0,

C.a-b^c-G,

会-4a,

；・c=-5a,

V2<c<3,

•\2<-5a<3,

32

/.--<--）故③正确；

④点欣-9a,a）,N^a,%）在抛物线上,

c5

则一9"V11

------------=------3

23

当一2a>2时，yi<y2

o

当一?d<2一时，y{>y2

o

故④错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型.

3、B

【分析】

①由顶点坐标（加，-m1）,可得x=m,y=~n^\,即可证明顶点在直线片-x+1上；

②根据二次函数的性质，当为<山时、y随x的增大而增大，可知〃?>2；

③由y-%=（马一机『一（为一加）2=（马+西一2加）（工2-玉）,根据已知可以判断々+为一2加>0,x2-x,>0,

即可判断M>>2.

【详解】

解：①证明：y=-（,x-m）2-m+1图象的顶点为（卬，-研1）,设顶点坐标为（x,y）,则产例y=~

研1,

y=~x+l,即顶点始终在直线尸-A+1上，

•••①正确；

②对称轴…，，

.•.当x<〃?时，y随x的增大而增大，

•rx<2时，y随矛的增大而增大，

:.m>29

•••②不正确；

③•.,4（不，%）与点8（"力）在函数图象上，

x=-（%,-/M）--m+\,y2=-（x2-w）-+m+\,

yx-y2=_姆_（N_%）2，

=（々+不一2根）（工2一百），

Vxi<X2>Xi+X2>2m,

/.x2+x1-2m>0,x2-芯>0,

•••y-，

③不正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数图像和性质，函数值大小比较等，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系

及做差法比较大小.

4、B

【分析】

由题意根据题干中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，进行分析即可得出答案.

【详解】

抛物线y=—2（x-l『+2的对称轴是直线x=1,

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质进行分析解答.

5、C

【分析】

由图可知，当y=b与新函数有3个交点时，y=b过新函数的顶点。，求出点。的坐标，其纵坐标即

为所求.

【详解】

解：原二次函数丫=-/+2*+3=-（犬-1）2+4,

顶点C（l,4）,

翻折后点C对应的点为0(1,7),

...当直线y=b与新函数的图象有3个公共点，直线>=匕过点3,此时b=y.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了翻折的性质，抛物线的性质，确定翻折后的顶点坐标；利用数形结合的方法是解本题

的关键.

6、B

【分析】

先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可.

【详解】

抛物线y=/+2的顶点坐标为(0,2),

向左平移1个单位，向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为(T，l),

工平移后的抛物线的解析式为y=(尤++1.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，根据规律利用点的变化确定函数解析式是解题的关键.

7、B

【分析】

把该函数解析式化为顶点式，进而问题可求解.

【详解】

解：由k2055/=-5(f-2y+20可知该函数的顶点坐标为(2,20),对称轴为直线行2,

••・由题意可知t的取值范围是0W-W2；

故选B.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

8、C

【分析】

根据二次函数的定义依次判断.

【详解】

解：4y=!不是二次函数，不符合题意；

X

B、y=x2+-+1,不是二次函数，不符合题意；

X

c、y=2x2-l,是二次函数，符合题意；

D、y=47~[,不是二次函数，不符合题意；

故选：C.

【点睛】

此题考查二次函数的定义：形如)，=狈2+笈+，(“#0)的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次

函数的构成特点.

9、A

【分析】

先把点4代入解析式得出8a+c=7,函数化为>=◎2+2办+7一8%然后把各点中的x的值代入解析

式求函数值，看函数值是否等于各点的纵坐标即可.

【详解】

解：・・•点4(2,7)在二次函数y=/+2融+c的图象上，

/.7=4a+4a+c,

8。+。=7,

。=7-&/,

y-ax2+2ax+7-8。，

当A=-4时，y=QX(-4)2+2ax(T)+7—8a=16Q—8Q+7—8Q=7,故选项A在二次函数图象上；

当下-2时，y=ax(—2)2+20(-2)+7-8〃=4〃一4。+7-8〃=7-84。7,故选项B不在二次函数图象

上；

当x=0时，y=tzx02+2tzx0+7-8tz=7-8r/7,故选项C不在二次函数图像上；

当x=2时，y=0x2?+2〃x2+7-8。=4。+4。+7-8。=7。-7,故选项D不在二次函数图象上.

故选A.

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的特征，求函数值，掌握二次函数图象上点的特征是解题关键.

10、D

【分析】

关于X的一元二次方程ax'+bx+cR(a#0)的根即为二次函数尸ay+Ox+c(aWO)的图象与x轴的交

点的横坐标.

【详解】

解：根据图象知，抛物线产a*+6x+c(aWO)与x轴的一个交点是(-3,0),对称轴是直线产-1.

设该抛物线与x轴的另一个交点是(为0).

X—3

则三=-1,

解得，产1,

即该抛物线与X轴的另一个交点是(1,0).

所以关于x的一元二次方程aV+6肝c=0(aWO)的根为由=-3,x2-1.

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点.解题时，注意抛物线尸aV+6x+c(aWO)与关于x的一元二次方程

a*+6x+c=0(aWO)间的转换.

二、填空题

1、yz<y\<y'i

【分析】

根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出力、度、%的

大小关系，本题得以解决.

【详解】

解：•.•抛物线解析式为尸a(矛+1)2+〃”>0),

•••该函数开口向上，对称轴是直线x=-l,当x>-l时，y随x的增大而增大，当xV-1时，y随x

的增大而减小，即函数图像上的点离对称轴越远其函数值越大，

I-3-(-1)|-2,|y-(-1)1=1.5,\2~(-1)1=3,点4(-3,〃)、6(号，%)、C(2,%)是

图象上的三个点，

，%〈必V八，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了二次函数图像的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

2、y=x2-2

【分析】

根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】

解：将抛物线向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为y=*-2.

故答案是：y=*-2.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答本题的关

键.

3、①③④

【分析】

根据根的判别式化简可判断①；根据二次函数的增减性及取值范围可判定②；将原函数化简变形可判

定③；写出顶点纵坐标，然后化简可判断④.

【详解】

解：①y=x?-2〃?x+2/〃-3,

其中a=l,b=-2m,c=2m-3,

=2-4=(-2Y-4x1x(2-3),

=4m2—8m+12,

=4(/,”—1\)2+8>8,

...方程一定有两个实数根，即该函数的图象与x轴总有两个公共点，①正确；

②若》>1时・，y随x的增大而增大，则

b—2m,

x=---=------=m<\,

2a2x1

：.m<l9②错误；

@y=x2-2mx+2tn-3,

=x"—2mx+nv—nv—2m-3,

=(x-7n)2_(加-I7-2,

=[(x—(m—1)]—2,

=(x-l)(x-2/7?4-l)-2；

当x=1时，

・,•无论"为何值，该函数的图象必经过一个定点(1,-2),③正确；

2

④顶点纵坐标为：y=丝二=4，风203)-4/=-病+2m-3=-(m-l)-2<-2,

...该函数图象的顶点一定不在直线y=-2的上方，④正确；

综上可得：正确结果为①③④；

故答案为：①③④.

【点睛】

题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的联系，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解

题关键.

4、<

【分析】

利用二次函数图象上点的坐标特征可得出M，%的值，比较后即可得出结论.

【详解】

解：•.•若点加T,%),6(2,㈤在抛物线产2*上，

%=2X(-1)'.'=2,%=2X4=8,

V2<8,

<yi.

故答案为：<.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出万，度的值是解题

的关键.

5、y=20(l+x)2

【分析】

根据每年的产量都比上一年增加x倍，列出函数解析式，即可求解.

【详解】

解：根据题意得：y=20(l+x)2

故答案为：y=20(l+4

【点晴】

本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键.

三、解答题

1、（1）140；（2）每瓶售价11或13元，所得日均总利润为700元；（3）每瓶售价12元时，所得日

均总利润最大为720元

【分析】

（1）根据日均销售量为160-10xU^计算可得；

（2）根据“总利润=每瓶利润义日均销售量”列方程求解可得；

（3）根据（2）中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可.

【详解】

解：（1）当每瓶的售价为11元时，日均销售量为：160-10><与券=14（）（瓶）；

（2）解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元.

Y—10

根据题意，列方程：（x-6）（160-10xq百-）=700,

解得：为=11,质=13.

答：每瓶售价11或13元时，所得日均总利润为700元；

（3）解：设每瓶售价m元时，所得日均总利润为y元.

丫=（，“-6）（160-10、笠『）=-20序+480卬-2160=-20（0一12）2+720,

V-20<0,

...当卬=12时，y有最大值720.

即每瓶售价12元时，所得日均总利润最大为720元.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和

函数解析式.

2

2、(1)见解析；(2)-1X+1X(O<X<2)(3)点尸位于8c的中点时，S△陪.最大

【分析】

(1)根据两组对边分别平行，证明四边形AFPE是平行四边形即可得证；

(2)根据已知条件先求得心丽・=1,根据平行线可得APECSABAC,ABFPS^BAC,根据面积比等于

相似比，表示出以曲，S△叼，进而根据S△呻;白犷叫毛心岫^."口一谶勒列出代数式即可；

(3)根据(2)的结论，根据二次函数的性质即可求解

【详解】

(1)证明：•••阳〃46,PF//AC

四边形/V7石是平行四边形

AE=PF；

(2)解：•••3C=2,且BC边上的高4)=1,

.♦£ABC=gx8CxAO=gx2x1=1

■:BP=x,

PC=2-x

•・•PEI/AB,

.APECSABAC

*'•S&PEC=1-X+

•・.PE//AC

.^BFP^BAC

2

'ABFP=W大2

,•・四边形AFPE是平行四边形

SgEF=_SOAFPE=5(S^BC-S&PEC-S&BFP)

1

1-一+4---X2+一工

24442

•：Q<BP<BC

即0<xv2

X

SAPEF=~-(0<X<2)

(3)•・•§△「£〃=一；%2+4x=_；(x_])2+J

4244

0<x<2

.・.X=1时，面积最大值为:

即点P位于8c的中点时，S&PEF最大

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求二次函数最值问题，根据题意分

别表示出S△曲，S△诋是解题的关键.

3、丁=?4/一a31一3,开口向上，对称轴为x=l,顶点坐标为(1,­?7).

848

【分析】

首先利用待定系数法求出二次函数的表达式，然后根据二次函数的图像和性质求解即可.

【详解】

解：(4,0),B(0,-3),。(-2,0),

c=-3

，＜16。+4〃+c=0

4。-2Z?+c=0

33

解得：a=oJb=1,C=—3,

84

・・・二次函数解析式为：y=fx2-4x-3.

84

\'a=->0,

8

二次函数的图像开口向上；

二次函数的对称轴为%=1；

4297

将x=l代入》=三%2_工_3得：y=-—,

848

・••二次函数的顶点坐标为(1,一胃27).

O

【点睛】

此题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像和性质，解题的关键是利用待定系数法求

出二次函数的表达式.

4、(1)y=-x2+2x+3；(2)m■时，^此时'(不'丁］

【分析】

(1)待定系数法直接将函数图象上已知坐标点代入函数