人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（原卷版）

第05讲1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课程标准学习目标①理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.②会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量.能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明.知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置1、用向量表示点的位置：在空间中,我们取一定点SKIPIF1<0作为基点,那么空间中任意一点SKIPIF1<0就可以用向量SKIPIF1<0表示.我们把向量SKIPIF1<0称为点SKIPIF1<0的位置向量.如图.2、直线的方向向量如图①,SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0的方向向量,在直线SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的任意一点,则点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的充要条件是存在实数SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<03、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点SKIPIF1<0,可以得到点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的充要条件是存在实数SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0①或SKIPIF1<0②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，如图；取定空间任意一点SKIPIF1<0，空间一点SKIPIF1<0位于平面SKIPIF1<0内的充要条件是存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.知识点02：平面的法向量及其应用1、平面法向量的概念如图，若直线SKIPIF1<0，取直线SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，我们称SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量；过点SKIPIF1<0且以SKIPIF1<0为法向量的平面完全确定，可以表示为集合SKIPIF1<0．2、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0选向量：选取两不共线向量SKIPIF1<0列方程组：由SKIPIF1<0列出方程组解方程组：解方程组SKIPIF1<0赋非零值：取其中一个为非零值（常取SKIPIF1<0)得结论：得到平面的一个法向量.【即学即练1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面SKIPIF1<0的一个法向量为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】根据题意，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B．知识点03：空间中直线、平面的平行设直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的方向向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线线平行SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)线面平行SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0面面平行SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0【即学即练2】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知平面α的一个法向量为SKIPIF1<0，则AB所在直线l与平面α的位置关系为（）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．l与α相交但不垂直【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A知识点04：空间中直线、平面的垂直设直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则线线垂直SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0线面垂直SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0面面垂直SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知SKIPIF1<0是直线l的一个方向向量，SKIPIF1<0是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.【答案】SKIPIF1<0【详解】∵l⊥α，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型01平面的法向量及其求法【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0的一个法向量可以是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面SKIPIF1<0的一个法向量是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，SKIPIF1<0垂直于正方形SKIPIF1<0所在平面，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则平面SKIPIF1<0的单位法向量SKIPIF1<0______．（用坐标表示）【变式1】（2023春·高二课时练习）已知平面内的两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该平面的一个法向量为（

）A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)【变式2】（2023春·高二课时练习）已知四边形SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0的一个法向量．题型02利用向量方法证明线线平行【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点F为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0．【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点．求证：直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0．【典例3】（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是一个直角梯形，其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与底面成SKIPIF1<0角．

(1)若SKIPIF1<0，求该几何体的体积；(2)若SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；(3)在（2）的条件下，SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）在正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，线段SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都垂直，求证：SKIPIF1<0.题型03利用向量方法证明线面平行【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，其中SKIPIF1<0.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.若SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【典例4】（2023春·高二课时练习）如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【典例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0为正三角形，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，在线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值，若不存在，请说明理由．【变式1】（多选）（2023春·高二课时练习）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，若直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的位置可能是（

）A．线段SKIPIF1<0中点 B．线段SKIPIF1<0中点 C．线段SKIPIF1<0中点 D．线段SKIPIF1<0中点【变式2】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，．若直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为__________．【变式3】（2023春·高二课时练习）如图，已知矩形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0所在平面互相垂直，点SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【变式4】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)在SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若存在，确定SKIPIF1<0点位置并说明理由，若不存在，说明理由．题型04利用向量方法证明面面平行【典例1】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是平面SKIPIF1<0的法向量，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．7【典例2】（2023春·高二课时练习）如图所示，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0是直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中点，求证：（1）SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【典例4】（2022·高二课时练习）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．在棱SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，指出点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点．(1)用向量法证明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【变式2】（2022·全国·高三专题练习）在正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是正方形SKIPIF1<0和正方形SKIPIF1<0的中心．求证：(1)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．题型05利用向量方法证明线线垂直【典例1】（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，SKIPIF1<0为一个顶点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是所在棱的中点．则满足直线SKIPIF1<0的图形个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（多选）（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点SKIPIF1<0在正方体SKIPIF1<0的侧面SKIPIF1<0及其边界上运动，并保持SKIPIF1<0，若正方体边长为，则SKIPIF1<0的可能取值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：SKIPIF1<0．

【典例4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．求证：SKIPIF1<0；【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设直线SKIPIF1<0的方向向量分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2023春·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，侧棱长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023秋·河南郑州·高二统考期末）如图，在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系SKIPIF1<0.(1)写出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标；(2)求证：SKIPIF1<0.【变式4】（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；题型06利用向量方法证明线面垂直【典例1】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量．若SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·江苏南通·高二海门中学校考期中）正方体SKIPIF1<0的棱长为1，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为________．【典例3】（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱SKIPIF1<0的所有棱长都为2，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【典例4】（2023春·四川达州·高二校考阶段练习）在直四棱柱SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为平行四边形,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)求三棱锥SKIPIF1<0的体积.【典例5】（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的边长为2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的长度；若不存在，请说明理由．【变式1】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知直线SKIPIF1<0的一个方向向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为面对角线SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方形SKIPIF1<0与梯形SKIPIF1<0所在的平面互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.请用空间向量知识解决下列问题：(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【变式4】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点.（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【变式5】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，指出点SKIPIF1<0的位置；若不存在，说明理由．题型07利用向量方法证明面面垂直【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，四边形SKIPIF1<0是边长为1的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为_________．【典例2】（2023春·高二课时练习）如图所示，SKIPIF1<0是一个正三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点．证明：(1)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【典例4】（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0，如图2．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．【变式1】（2023春·高二课时练习）在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．将此平面四边形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折成直二面角SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，请确定点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，SKIPIF1<0是直线l的一个方向向量，则直线l与平面SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．平行或直线在平面内B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直2．（2023·全国·高三专题练习）设向量SKIPIF1<0是直线l的方向向量，SKIPIF1<0是平面α的法向量，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，平面SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，则下列各点在平面SKIPIF1<0内的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，则SKIPIF1<0的坐标可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）在正方体SKIPIF1<0中，点P为线段SKIPIF1<0上的动点，M，N分别为棱SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知直线SKIPIF1<0，且l的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．87．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）在正方体SKIPIF1<0中，M是线段SKIPIF1<0（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（

）A．SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<08．（2023秋·湖南娄底·高二湖南省新化县第一中学校考期末）如图，SKIPIF1<0平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1二、多选题9．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，两个不重合的平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<010．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形SKIPIF1<0所在平面与正方形SKIPIF1<0所在平面互相垂直，AD=DE=4，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，则（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．点B到平面CEF的距离为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值为48三、填空题11．（2023春·高二课时练习）已知直线l的方向向量为SKIPIF1<0，平面α的法向量为SKIPIF1<0，若l⊥α，则实数λ的值为________．12．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足SKIPIF1<0的是______________

（填写正确的序号）四、解答题13．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为PC上一点，且SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面PBC；(2)求证：SKIPIF1<0平面BDE．14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点.证明：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0.B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，下列四个结论中，正确的是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2023春·高二课时练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D