新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 压轴题突破练3（含解析）

压轴题突破练31．(2020·北京东城区模拟)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放．从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平．为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270中期跟随用户2020年1月至2021年12月530后期用户2022年1月及以后200我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出如图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%)．(1)从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和均值；(3)2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由．解(1)由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即eq\f(270＋530,1000)＝0.8.(2)由题意X的所有可能值为0,1,2，记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A，B相互独立，且P(A)＝1－40%＝0.6，P(B)＝1－45%＝0.55，所以P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝(1－0.6)(1－0.55)＝0.18，P(X＝1)＝P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)＝0.6×(1－0.55)＋(1－0.6)×0.55＝0.49，P(X＝2)＝P(AB)＝0.6×0.55＝0.33，所以X的分布列为X012P0.180.490.33故E(X)＝0×0.18＋1×0.49＋2×0.33＝1.15.(3)设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，那么P(D)＝eq\f(C\o\al(3,270),C\o\al(3,1000))≈0.02.回答一：事件D虽然发生，但是发生可能性为0.02，非常小，所以可以认为早期体验用户没有发生变化．回答二：事件D发生概率虽然小，但是也可能发生，所以可以认为早期体验用户人数增加．2．(2020·青岛模拟)已知直线l1过坐标原点O且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，圆M过点A，B且与直线y＋2＝0相切．(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)若圆心在x轴正半轴上面积等于2π的圆W与曲线C有且仅有1个公共点．①求出圆W的标准方程；②已知斜率等于－1的直线l2，交曲线C于E，F两点，交圆W于P，Q两点，求eq\f(|EF|,|PQ|)的最小值及此时直线l2的方程．解(1)设M(x，y)，由题意得，MO⊥AO，所以|MO|2＋|OA|2＝|MA|2，因为圆M的半径为r＝|y＋2|＝|MA|，|AO|＝2，所以x2＋y2＋4＝(y＋2)2，化简得圆心M的轨迹C的方程为x2＝4y.(2)①由(1)知，曲线C为y＝eq\f(x2,4)，设f(x)＝eq\f(x2,4)，则f′(x)＝eq\f(x,2)，设圆W与曲线C的公共点为Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t2,4)))(t>0)，则曲线C在T点处的切线l的斜率k＝f′(t)＝eq\f(t,2)，由题意，直线l与圆W相切于T点，设圆W的标准方程为(x－a)2＋y2＝2(a>0)，则直线WT的斜率kWT＝eq\f(\f(t2,4),t－a)＝eq\f(t2,4t－a)，因为l⊥WT，所以eq\f(t,2)·eq\f(t2,4t－a)＝－1，即t3＋8(t－a)＝0，又因为(t－a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)))2＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(t3,8)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)))2＝2，所以t6＋4t4－128＝0，令t2＝λ，则λ3＋4λ2－128＝0，所以(λ3－4λ2)＋(8λ2－128)＝0，即(λ－4)(λ2＋8λ＋32)＝0，所以λ＝4，所以t＝2，a＝3，从而圆W的标准方程为(x－3)2＋y2＝2.②设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线l2：y＝－x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋m，,x2＝4y，))得x2＋4x－4m＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝－4m，所以|EF|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq\r(21＋m)，又因为|PQ|＝2eq\r(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|m－3|,\r(2))))2)＝eq\r(－2m2＋12m－10).所以eq\f(|EF|,|PQ|)＝eq\f(4\r(21＋m),\r(－2m2＋12m－10))＝4eq\r(\f(1＋m,－m2＋6m－5))，由于l2与曲线C、圆W均有两个不同的交点，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16＋16m>0，,\f(|m－3|,\r(2))<\r(2)，))解得1<m<5，令1＋m＝u∈(2,6)，则eq\f(|EF|,|PQ|)＝4eq\r(\f(u,－u2＋8u－12))＝4eq\r(\f(1,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u＋\f(12,u)))＋8))≥eq\r(2)＋eq\r(