2021年沪教版数学必修二同步第17讲 复数的三角形式（讲义）教师版

第17讲复数的三角形式

知识梳理

1.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值

rcos0a

一般地，如果非零复数z=a+历(a,6CR)在复平面内对应点Z(a,6),且r为向量宓

的模，，是以x轴正半轴为始边、射线”为终边的一个角，则r=|z|=，2王乙

根据任意角余弦、正弦的定义可知

Aa•“b

cos〃=一，sin〃=一.

因此a=rcos0,6=rsin0,如图所示，从而z=a+6i=(zvose)+(rsin®)i

=r(cos«+isin0),

上式的右边称为非零复数z=，+6i的三角形式(对应地，a+历称为复数的代数形式)，其

中的〃称为z的辐角.

显然，任何一个非零复数/的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2口

的整数倍.特别地，在[0,2”)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz

2.复数三角形式的乘、除运算

若复数Zi=4(cos%+isin/),z2=Z2(cos^2+isin夕2),且©#Z2,则

(1)ZiZ2=ri(cos〃i+isin〃i)X&(cos^2+isin9J

=T["[cos(®i+12)+isin(61+。2)].

(2)亘=*[cos(9lJ2)+isin(%—%)].

(3)[r(cos〃+isin0)]"=d[cos(〃〃)+isin()〃)].

(4)三角形式下复数的乘方与开方公式：给定三角形式的复数厂(cosa+isina),则

对任何正整数〃，有

=rM(cos〃a+isin,

z的〃次方根为方(cos/n,4=0,1,2,…，〃-L

例题解析

L代数形式化为三角形式

例1.(2021•浙江高一单元测试)把下列复数的代数形式化成三角形式.

(1)3-百i；

⑵V2-V2i.

1\TT..11乃

【答案】（1）3—Gi=cos---+ism---(2)

66

7乃..7

V2-V2i=2cos---i-isin兀、

4

22

【分析】（1）先根据模公式「=y/a+b求出模来，再根据其对应的点是（，-6）

在第四象限，求出arg（3-J5i）=F，最后写成三角形式.

（2）先根据模公式「=Va2+b2求出模来，再根据其对应的点是（夜,一夜）在第四象

限，求出arg（及—=最后写成三角形式.

【详解】⑴「="+（—呵=2"

因为与3-畲对应的点在第四象限，

所以arg（3-后）=^^,

所以3-gi=2V3（cos+isin.

<2）r=^（V2）2+（-V2）2=2.

因为与血-"对应的点在第四象限，

所以arg（后一J5i）=/，

所以cos-^-+isin-^-j.

【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了数形结合的思想和

运算求解的能力，属于基础题.

【巩固训练】

1.（2020•全国高一课时练习）复数且+^i化成三角形式，正确的是（）

22

71..71n兀.、冗

A.cos—+isin—B.cos—+ZS1D—

3366

2万..241\TT..11%

C.cos---Kisin—D.cos----hisin---

3366

【答案】B

【分析】直接根据特殊角的三角函数值计算可得;

【详解】解：因为cos工=、5，sin-=-

6262

所以也1.TC..7T

+—z=cos—4-zsin—

2266

故选：B

【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题.

2.（2020•全国高一课时练习）复数-1+JM的三角形式是

B.2(cosW]

A.2|cos—+zsin—

3366)

5)..5万D.2cos匹+isin”

C.2cos--Fisin—

3366

【答案】A

【分析】根据复数的三角形公式z=r（cos6+isin求解或利用定义直接求解即可.

【详解】解法一：设复数的三角形式为z=r（cos6+zsin。），则

I-----------2%

r=«.1)2+=2,tan6»=—百，可取6=&^2=3-,从而复数_1+，五的三角形

式为2（cos笄+isin引

解法二：―1+后=卜1）2+（后二6

J(T)2+(G)2+j(T)2+(我2

J15](2zr2乃1

2cos——+zsin——

I22J33J

故选：A

【点睛】本题主要考杳了复数的三角形式,属于基础题.

3.（2020•全国高一课时练习）复数z=l-i（，为虚数单位）的三角形式为（）

A.z=V2(sin450-zcos45)B.z=>/2(cos45-isin45")

C.z=V2[cos(-45°)-isin(-45°)]D.z=V2[cos(-45°)+zsin(-45°)]

【答案】D

【分析】复数的三角形式是z=r(cos6+isin。)，根据复数和诱导公式化简，化为复数的

三角形式，再结合答案选择.

【详解】解：依题意得r=犷"万=血，

复数z=l-i对应的点在第四象限，且cos6=交，

2

因此，argz=315°,结合选项知D正确，

故选:D.

【点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两

种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号.

总结规律：

复数的代数形式化为三角形式的步骤

(1)先求复数的模.

(2)决定辐角所在的象限.

(3)根据象限求出辐角.

(4)求出复数的三角形式.

提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但

三角形式辐角不一定取主值.

2.三角形式化为代数形式

例1.(2020•全国高一课时练习)“复数Z，Z2的模与辐角分别相等”是“％=z?”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】要对充分性和必要性进行判断，注意辐角可以相差2»的整数倍即可.

【详解】当复数z”Z2的模与辐角分别相等时，一定有4=z/充分性成立;

但当Z]=22时-，Z1与Z2的辐角可以相等，也可以相差2乃的整数倍，必要性不成立.

综上，“复数4*2的模与辐角分别相等”是“多=Z?”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查对复数三角形式的认知，要注意辐角是不唯一的.

例2.（2020•河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）任意复数2=。+初

（a/eR,i为虚数单位）都可以z=r（cos6+isine）的形式，其中

r^y/a2+b2（0<0<7r）该形式为复数的三角形式，其中。称为复数的辐角主值.若复数

2i

则z的辐角主值为（)

1-V3z

717CC.网51

A.B.D.

63~6

【答案】D

【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值.

2i27(1+扃-26+21731.5%..5%

【详解】z=——+—z=cos-----Fzsin——

l-x/3z-(l-后)(1+V3z)-4266

所以辐角主值为二.

6

故选：D.

例3.（2020•全国高一课时练习）已知复数z尸后cos=+isin二，z?=

则zg的代数形式是（)

A.Vb^cos^+zsin^

C.百一后D.百+百，

【答案】D

【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.

故选:D.

【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.

例4.（2020•全国高一课时练习）复数z=-sin—+ZCOS——的辐角主值为

1818

16兀217万

A.—B.---C.--D.—

18999

【答案】D

57r57r

【分析】化简Z=-sin—匕+icos己一利用诱导公式化成标准形式再判断即可.

1818

【详解】z=-sin—+zcos—=cos——+zsin——,故复数z的辐角主值为——.

1818999

故选：D

【点睛】本题主要考查了复数的辐角主值的辨析,属于基础题.

例5.（2020•全国高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示

成代数形式.

（1）4（cos—+zsin—）；

66

R.71

（2）2（cos——zsin

71Jl

【分析】（1）复数4（cos"+isin二）为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然

66

后再转化为。+抗（4力€R）的形式；

（TTJr।57r

（2）先把复数2卜os1-isin§J,转化为三角形式2cos^-+zsin^-,再写出其模

和辐角的主值，然后再转化为。+初（a,。eR）的形式；

【详解】（1）复数4（cos9+isin9）模r=4,辐角的主值为f=

666

//.兀、AnA,、冗J31r~

4(cos—+zsin—)=4cos—+4zsin—=4x—+4x—z=2j3+2晨

666622

5〃..5〃

=2cos-----Fzsin——

33

复数的模为2,辐角的主值为〃="31,

3

【巩固训练】

1.（2020•全国高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角

形式.

一2(cosW］；

(1)

I55)

.3乃.34

(2)sin----Ficos—.

55

【答案】（1）不是，21cos—+zsin—I（2）不是,

【分析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形

式，需要借助诱导公式化简;

（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可.

【详解】（1）不是.

/4〃..4万、J4万..4万、

-2cos-----FIsin—1=2—cos------1sin—

I55)\55)

28S(%+竺〕+isin1+=2G电+的组

I5)I54I55

（2）不是.

【点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合

理利用诱导公式.

总结规律：

复数的三角形式z=zcos，+isin。必须满足“模非负、余正弦、+相连、角统一、i跟

sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，.

3.复数三角形式的乘、除运算

例1.(2020•全国高一课时练习)计算：

7%..7吟3万..

(1)3cos---l-zsin——H--cos---Fzsin——；

(44)2(22)

(2)2i+—|cos—乃+isin—%

2133

【答案】(1)3yli+3扬;(2)273-21

【分析】直接根据复数代数形式的乘法与除法运算法则计算可得;

【详解】解：(1)3cos——+zsin——H---cos——+zsin——

l44J/人22)

JV2夜)(i}

122JI2；

=6使—g[i=3五+3万

I22J

If2..2)

(2)2z4■一cos—万+/sin—不

2133J

.ifi6]

02122J

4/z-i——Gi)

=4i=______I22J

fi^.Yi-=2^3-2i

I22JI22JI22,

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查计算能力，属于基础题.

【巩固训练】

2.计•算：

(1)[蛆(cos1+isin高]；

(2)AJ2(COS750+isin75°)XQ—)；

=-l+/i.

zxiiV2：fj2亚.

22-21=22-21

n+isinR,

所以啦(cos75°+isin750)

修+is舄cos^n+isinjn

44

+isin^n+1^]

2626

=cos—n+isin-n

nn

=cos-+isin-

66

(3)因为一坐i2।2

=cos-n+isin~n,

所以信+哈卜艮cos可+isirr0]

=fcos|n+isin|n-2(cos-+isi

—+isi

o

总结规律:

1.乘法法则：模相乘，辐角相加.

2.除法法则：模相除，辐角相减.

3.复数的〃次幕，等于模的〃次累，辐角为〃倍.

4.复数三角形式乘、除运算的几何意义

例1.（2020•全国高三二模（文））在复平面内，。为坐标原点，复数z对应的点为

z（l,o）,将向量52按逆时针方向旋转30°得到历"，则5亍对应的复数z'为（）

A6上1•R1^3.「61.n1百.

22222222

【答案】A

【分析】设z'=a+沅，根据三角函数的定义可求得。、力的值，进而可得出复数z'的值.

R]

【详解】设z'=a+沅，由题意知，a-cos300---b=sin30°=一,所以

22

，氏1.

Z=---1--1，

22

故选：A.

【点睛】本题考查复数的求解，考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.

例2.（2020•全国高一课时练习）将复数1+gi对应的向量的绕原点按顺时针方向旋

7F________

转彳，得到的向量为0乂，那么0乂对应的复数是

A.\/3—zB.-\/3+iC.—\/3—iD.—^3+i

【答案】A

【分析】先将复数1+J丞写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.

【详解】复数1+6，的三角形式是2；cosw+isin、，向量两]对应的复数是

I33）

71.71

2cos—+sin—

33•^J+isin=6-i

=2cos-

n..71

cos—+1sin

22

故选：A

【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用，属于基础题.

例3.（2020•全国高一课时练习）将复数1+i对应的向量两绕原点按逆时针方向旋转

7t_______

得到的向量为那么两।对应的复数是

4

A.27B.y/2,1C.+-^-iD.y/2+\p2i

22

【答案】B

【分析】根据复数的三角形式运算求解即可.

【详解】复数1+i的三角形式是3(cosf+isinf],向量丽।对应的复数

I44J

故选：B

【点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.

例4.(2020•全国高一课时练习)在复平面内，把与复数-2+27对应的向量绕原点。按

逆时针方向旋转75。，求与所得向量对应的复数(用代数形式表示).

【答案】-娓-&

【分析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可.

【详解】与所得向量对应的复数为(-2+2i)x(cos75。+isin750)

=2^2(cos135°+zsinl35°)x(cos75。+isin750)

=2V2[cos(135o+75o)+zsin(135o+75°)]

=2V2(cos2100+zsin2100)

=-V6-V2i.

【点睛】本题考查复数三角形式乘法的意义，属基础题.

例5.(2020•全国高一课时练习)在复平面内，设。为坐标原点，点A,8所对应的复数

分别为且4衣2的辐角主值分别为％尸，模长均为1.若口A03的重心G对应的复

数为:+2人求tan（a+⑶.

【答案】卷

【分析】根据题意，写出复数的三角形式，由重心坐标的计算公式，可得重心对应的复数

的形式，结合题目已知条件，即可求解.

【详解】由题意，可知Z|=cosa+isina,Z2=cos£+isin/.

VDAOB的重心G对应的复数为；+，

(cosa+cos^=1

Z.+z11.，

-----9-=—+--，，即V1

3315sindz+sinJ3=-

a+Ba—(3

2cos------cos-----=1

22

c.a+Ba-B

2sin-----cos......-

225

a+01

tan-------=—

25

2”tan-a--+-LB-

5

.•・tan(a+〃)=2

2a+/3

lt-tan*———12

2

【点睛】本题综合考查复数的三角形式的理解和认知，属三角形式中的中档题.注意本题中

还涉及和差化积公式.

fTTJT\

例6.（2020•全国高一课时练习）设复数Z|=2sin6+icose匕＜。＜5在复平面上

对应向量西，将向量西绕原点〃按顺时针方向旋转一后得到向量反，反对应

114

复数Z2=〃(cos0+isin0),则tane=()

2tan。+12tan-1

B.------------------------------D.---------------

2tan-12tan。+12tan。+12tan-1

【答案】A

【分析】先把复数4化为三角形式，再根据题中的条件求出班数Z2,利用复数相等的条件

得到sin。和cos。的值，求出tan°.

【详解】因为|zj="sin、6+cos」8=71+3sin2^，

~.r,一八.，J2sin。icos。

所以Z]=v1+3sin-0]----H—,=

<Vl+3sin20vl+3sin20

2sin。cos。

sin(3-

J+3sin?e71+3sin26>

ccose

则tanB-------

2sing

cos。

1+tan/?=+2sin《=2tan8+l

1-tan]cos。2tan^-l

2sin。

故选：A.

【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难.解答时要注意将马、Z?化为

三角形式然后再计算.

【巩固训练】

1.(2020•全国高一课时练习)在复平面内，把与复数4+4当，对应的向量绕原点。按

顺时针方向旋转15。，求与所得向量对应的复数(用代数形式表示).

【答案】4V2+4A/2Z

【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可.

【详解】与所得向量对应的复数为(4+4Gi)+(cosl5o+isinl5°)

=8(cos60°+zsin600)+(cos15°+isin15°)

=8[cos(60°-150)+zsin(600-15°)]

=8(cos450+isin450)=8'交+也］

=48+4而

【点睛】本题考查复数的除法的意义，属基础题.

2.(2020•全国高一课时练习)在复平面内，把与复数T对应的向量绕原点。按逆时针

方向旋转45°,所得向量对应的复数为z,求复数z(用代数形式表示).

V272.

【答案】z=--------1

22

【分析】把与复数-i对应的向量绕原点。按逆时针方向旋转45°得到

z=(cos45°+isin45°)x(-i),再把三角形式转化为代数形式运算，整理为。+方的形

式.

【详解】由题意得z=(cos45°+isin45°)x(—i)=—+—i同=丝_丝匚

、/22

【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解

的能力，属于基础题.

总结规律：

两个复数zz相乘时，先分别画出与0对应的向量5N，~oz,然后把向量

12

石/绕点。按逆时针方向旋转角夕2如果%V0,就要把它绕点。按顺时针方向旋转角I

外|,再把它的模变为原来的“倍，得到向量应，应表示的复数就是积Z3.

5.三角形式下复数的乘方与开方

计算(i-i严.

解将1—i写成三角形式1—1=&卜0$f+isinf),就可

以得到

(1—i)20=210(cos35n+isin35K)=1024(cos冗+isinK)=-1024.

【巩固训练】

(2+2-

1.(2020•全国)复数7----不？=()

A.1+收B.-1+V3zC.1-73/D.-1-V3Z

【答案】B

【分析】由复数的三角形式得2+2/=272(cos-+zsin-),1-亚-

44

777T

2(COSy-lSiny),代入运算可得选项.

【详解】2+21=2&(cos生+isin^),故(2+2i)“=26(cos;r+isin;r)=-2，，

44一

1->/3i=2(cosy-zsiny),(1->/3z)5=2$[cos^—isin|),

Ji乌、

以(2+2讨_________£_________-2_______12)

"新P25(cos物-isin当'储

3322(22人22,

=-2(1-y^z)=-l+>/3z.

故选:B.

【点睛】本题考查复数的三角形式的运算，属于基础题.

2.(2020•全国高一课时练习)计算下列各式：

(1)(cos36°+z'sin36°1；

【答案】(1)-1；(2)--+^5/

3232

【分析】根据复数的乘方及乘法法则计算可得;