专题03等时圆模型

专题03等时圆模型知识精讲知识精讲一模型界定物体沿光滑轨道运动，轨道的一端在圆周上，另一端在同一圆周的最高点或最低点。模型破解1.如图1所示，当质点从静止开始从圆周上不同的点沿光滑的弦运动到圆的最低点，所需的时间相同，都等于沿竖直直径自由下落的时间即。图1图12.如图2所示，当质点从静止开始，从圆周的顶点沿不同的光滑弦运动到圆周上，所需的时间也相等，都等于沿竖直直径自由下落的时间。图2a图2abcdo图33.如图3所示，若轨道的顶端O不在圆周的最高点也不在圆周的最低点时，从静止开始下滑的质点，沿不同轨道运动的时间不同，但随着轨道末端位置单调变化，典例精析a典例精析abcdo图3【典例1】如图所示，A、B、C是同一半径为R的竖直圆周上的三个点，C为最低点，AC、BC为两条分别与水平方向成α、β角的光滑导轨．则物体从A、B点滑到C点所经历的时间之比为，到达C点时的速率之比为。【答案】【详解】[1]当物体沿AC轨道运动时，对物体受力分析可知，物体在AC轨道上的合力的大小为所以物体的加速度大小为设圆的半径为R，由圆的几何关系可知，AC的长度为，由可得物体由A运动到C得时间为同理可得，沿BC运动时，加速度的大小为，BC的长度为，物体由B运动到C得时间所以物体分别从A、B点滑到C点所经历的时间之比[2]由速度公式可得，沿AC运动时，物体的速度的大小为沿BC运动时，物体的速度的大小为所以A、B点到达C点时的速率之比为【典例2】如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】BC【详解】1号小球的加速度为位移为运动时间为2号小球的加速度为位移为运动时间为3号小球的加速度为位移为运动时间为4号小球的加速度为位移为运动时间为则故选BC。实战演练纳目标实战演练纳目标一、单选题1．如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、ad到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是（）A．t1=t2=t3 B．t3>t1>t2C．t1＜t2＜t3 D．t2>t1=t3【答案】D【详解】设圆半径为R，oa与竖直方向的夹角为α，环沿oa下滑时的加速度大小为根据运动学公式有解得同理可得因此t1=t3设ob与竖直方向的夹角为θ，环沿ob下滑时的加速度大小为a2=gcosθ由几何关系得ob长为2R，根据运动学公式有解得由此得到t2＞t1=t3故选D。2．如图所示，是竖直面内三根固定的光滑细杆，位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c点为最低点．每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从O点无初速释放，用、、依次表示滑环到达a、b、c所用的时间，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】以O点为最高点，取合适的竖直直径Oe作等时圆，交Ob于b，如图所示根据等时圆原理可知，O到f、b、g、e时间相等，比较图示位移，有可得故选D。3．如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°。三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为、、，则三者之间大小关系为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】设弦与竖直方向夹角为，球的半径为R，由小环沿弦做匀加速运动有解得运动时间为与弦与竖直方向夹角无关，所以小环运动到最低点的时间相等。故选A。4．如图所示，在竖直平面内有一矩形，其长边与一圆的底部相切于O点，现在有三条光滑轨道a、b、c，它们的上端位于圆周上，下端在矩形的底边，三轨道都经过切点O，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端(轨道先后放置)，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（）A．ta＞tb＞tc B．ta＜tb＜tcC．ta＝tb＝tc D．无法确定【答案】B【详解】设上面圆的半径为r，矩形宽为R，则轨道的长度下滑的加速度根据位移时间公式得因为轨道a、b、c与圆竖直直径的夹角由小至大，所以有tc＞tb＞ta故选B。【名睛】解决本题的关键通过牛顿第二定律和运动学公式得出时间的表达式，结合角度的大小关系进行比较。5．如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上。有四块光滑的板，它们的一端搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2上，其中B、C、D三块板都通过两圆的切点，B上端在圆1上，C上端在圆1内，D上端在圆1外，A板与D板最低点交于一点a（d），且两板与竖直墙面的夹角分别为、。从A、B、C、D上端同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达板底端的时间分别为、、、，下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对物块沿A板或D板运动到a点过程进行分析，设最低点a到竖直直线的距离为x，斜板与水平方向的夹角为θ，则斜板长为根据牛顿第二定律可得物块的加速度为根据运动学公式可得解得由于A板与D板最低点交于一点a（d），则x相等，且两板与竖直墙面的夹角分别为30°、60°，则与水平方向的夹角为60°和30°，则sin2θ相等，所以有tA=tD根据等时圆原理可知tD＞tB＞tC故有tA=tD＞tB＞tC故选C。6．如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD。四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R。四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法正确的是（）A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同【答案】C【详解】设杆AB长为l，与水平方向的夹角为θ，圆环的质量为m，对圆环a，根据牛顿第二定律可得mgsinθ=ma可得a=gsinθ由运动学公式可得由几何关系可知l=2Rsinθ解得则圆环的下滑时间与杆的倾角和杆长无关，同理可得圆环b、c、d的下滑时间同为故选C。7．如图所示，OA、OB是竖直面内两根固定的光滑细杆，O、A、B位于同一圆周上，OB为圆的直径。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），两个滑环都从O点无初速释放，用t1、t2分别表B示滑环到达A、B所用的时间，则（

）A． B． C． D．无法比较t1、t2的大小【答案】C【详解】如图所示以O点为最高点，取合适的直径做等时圆，由图可知，从O到C、B时间相等，比较图示位移可得故选C。8．如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上，沿三个不同的光滑弦1、2、3上端由静止开始滑到环的最低点，所用的时间分别为、、；乙图中质点从竖直面内的圆环上最高点，沿三个不同的光滑弦4、5、6由静止开始滑到下端所用的时间分别为、、，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，由牛顿第二定律可知加速度为位移为由匀变速直线运动规律有联立解得下滑时间相当于沿竖直直径自由下落的时间，有故选A。9．如图所示，在竖直平面内有ac、abc、adc三个细管道，ac沿竖直方向，ab与bc垂直，adc构成等边三角形。将三个小球同时从a点沿三个不同轨道由静止释放，忽略一切摩擦，不计拐弯时的机械能损失，当竖直下落的小球运动到c点时，关于三个小球的位置，下列示意图中可能正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】以ac为直径做圆，设半径为r，则b点在圆周上，圆周与ad交于e点，设ab与ac夹角为θ，则沿ab运动的加速度时间同理小球到达e点时的时间也为此时沿ac运动的小球恰到达c点，则当竖直下落的小球运动到c点时，三个小球的位置如图B所示。故选B。10．滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB、AC、AD和BD，A、B、C、D在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，D为圆周的最低点，如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g，则（

）A．如果小朋友在A点沿滑梯AB、AC由静止滑下，B．如果小朋友分别从A点和B点沿滑梯AC，BD由静止滑下C．若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是D．若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是【答案】C【详解】AB．假设AB、AC与AD的夹角分别为、，则从AB、AC、BD下滑时有解得故AB错误；CD．由AB项分析，画出以P点为最高点的半径为r的等时圆，如图，当两圆相切时时间最短，有解得所以最短时间为故C正确，D错误。故选C。11．如图所示，为圆的直径，为圆的两条弦，现同时在A、B两点释放两小滑块，分别沿光滑的弦滑到O点（O点为最低点），物体滑下的先后顺序是（）A．沿的物体最先到达B．沿的物体最先到达C．同时到达D．条件不足，无法判断【答案】C【详解】根据题意，设和与水平面夹角分别为和，长度分别为和，设圆的直径为，由几何关系有沿方向上，由牛顿第二定律有由运动学公式有联立解得沿方向上，同理可得故选C。12．如图所示装置，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心。已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则（）A．a球最先到达M点B．b球最先到达M点C．c球最先到达M点D．a、c、b三球依次先后到达M点【答案】C【详解】设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论B点在圆外，有tb>taC球做自由落体运动，有tc＝故有tc<ta<tb故选C。13．如图所示为一光滑竖直圆槽，、、为通过最低点与水平面分别成30°、45°、60°角的三个光滑斜面，与圆相交于A、B、C点。若一物体由静止分别从A、B、C滑至点所需的时间为，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设圆槽的直径为d，某一斜面的倾斜角为θ，由牛顿第二定律可得，沿斜面下滑加速度为斜面的长度为由位移时间公式可得可知，物体沿斜面下滑的时间与斜面的倾斜角无关，则有故选C。二、多选题14．如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4。下列关系正确的是（）A．t1>t2>t3 B．t1=t3>t2C．t2=t4>t1 D．t2<t3<t4【答案】BD【详解】以OA为直径画圆由等时圆模型，对小圆环分析，受重力和支持力，将重力沿杆和垂直杆的方向正交分解，由牛顿第二定律得小圆环做初速为零的匀加速直线运动，加速度为（为杆与竖直方向的夹角）。由图知，小圆环的位移为所以t与无关，可知从图上最高点沿任意一条弦滑到底所用时间相同，故沿OA和OC滑到底的时间相同，即t1=t3OB不是一条完整的弦，时间最短，即t1>t2OD长度超过一条弦，时间最长，即t2<t1=t3<t4故选BD。15．如图所示，让物体同时从竖直圆上的P1、P2处由静止开始下滑，沿光滑的弦轨道P1A、P2A滑到A处，P1A、P2A与竖直直径的夹角分别为θ1、θ2则（）A．物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为sinθ1:sinθ2B．物体沿P1A、P2A下滑到A处的速度之比为cosθ1:cosθ2C．物体沿P1A、P2A下滑的时间之比为1:1D．两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为cosθ1:cosθ2【答案】BCD【详解】A．物体受重力、支持力，根据牛顿第二定律解得物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为A错误；B．末速度为解得速度之比为B正确；C．下滑的时间为解得下滑的时间之比为C正确；D．合外力之比为D正确。故选BCD。三、填空题16．如图所示，一斜坡底端为B，斜坡上离B点3.6m处有一C点，在C点正上方离C点3.6m高处有一A点，AB间有一不可伸长的拉紧的光滑细线，在细线上套有一圆环P，将P环由A点处静止释放，滑到B点所需时间为s．【详解】设CA和PB的夹角为，则圆环沿光滑细线下滑的加速度为，又，结合匀变速直线运动规律可得，17．如图所示，一根光滑的杆折成直角三角形竖直放置，AC垂直BC，AB长为H且在竖直方向．一个小球套在杆上从A点由静止开始下滑到C点的时间tAC=．若小球从C点由静止开始下滑到B点的时间为tBC，则tBCtAC（填“大于”、“等于”、“小于”），已知重力加速度为g．【答案】等于【详解】[1]设与水平方向的夹角为，小球从点由静止开始下滑到点的过程，根据牛顿第二定律可得：根据运动公式可得：解得：[2]小球从点由静止开始下滑到点的过程，根据牛顿第二定律可得：根据运动公式可得：解得：可得：四、解答题18．如图所示，AB为光滑竖直杆，ACB为构成直角的光滑L形直轨道，C处有一小圆弧连接可使小球顺利转弯（机械能无损失），套在AB杆上的小球自A点静止释放，分别沿AB和ACB两个轨道运动，BA和CA夹角为53º，AB长度为2r，重力加速度为g，则（1）证明A到B的时间和A到C的时