16.1 二次根式（解析版）

16.1二次根式理解二次根式的概念，理解使二次根式有意义的条件;会根据二次根式有意义的条件求被开方数中字母的取值范围.理解二次根式的基本性质，知道等式成立的条件;会利用二次根式的性质化简简单的二次根式.理解与的关系，能运用等式＝解决有关问题.知识点一二次根式的概念二次根式的概念代数式叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数.例如，，都是二次根式.[注意]例如可写成，但不能写成.通常把形如的式子也叫做二次根式，如，，，也是二次根式.注意：表示与是相乘的关系，当是分数时，只能是真分数或假分数，不能写成带分数或小数的形式.2.二次根式的特征（1）必须含有平方根“”，“”的根指数是2；[根指数2一般省略不写]（2）被开方数一定是非负数，如和都不是二次根式.问题：如何证明不是二次根式？解：∵，∴，∴∴无意义即不是二次根式.即学即练下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2，33，1x，x（x>0），0，42，-2，【答案】2、x（x>0）、0、-2、x+y（x≥0,y≥0）是二次根式，3【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定.【详解】解：根据二次根式的概念，可知2、x（x>0）、0、-2、x+y（x≥0,y≥0）是二次根式，其中3【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开方数为非负数.知识点二二次根式有无意义的条件分类条件符号语言有意义被开方数是非负数无意义被开方数是负数本知识点一般用于求被开方数中的字母的取值范围较多。二次根式有意义的条件：要使二次根式有意义,必须使被开方数为非负数,据此建立不等式(组)求解,不要错误地认为二次根式中所含字母为非负数;若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数;若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零.即学即练设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？(1)5+xx+4(2)11-(3)2x+6-3【答案】(1)x>-4(2)-(3)-3≤【分析】（1）根据分式及二次根式的定义得出5+xx+4≥0（2）根据分式及二次根式的定义得出1-（3）根据分式及二次根式的定义得出2x+6≥0，10-【详解】（1）解：5+xx+4≥即1x+4故x+4>0或x+4≤-解得x>-4或（2）解：11-x即得1-解得-1<x<1（3）解：由2x+6解得-3≤x【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．知识点三二次根式的性质二次根式的双重非负性具有双重非负性：被开方数是非负数本身也是非负数初中阶段非负性的三种表达式：初中阶段非负性的三种表达式：偶次方非负，常以二次方居多：绝对值非负：算术平方根非负：即学即练已知a+b-1+2a+b-2=0，则(a-b)2023A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023【答案】A【分析】根据两个非负数的和为0，两个数均为0列二元一次方程组并求解，然后代入求值即可；【详解】解：∵a+b-1+2a+b∴a+b-1=0联立方程组得：a+b-1=0代入(a-b)故选A；【点睛】本题考查了两个非负数的和为0，两个加数分别为0，涉及了二元一次方程组等知识，掌握并熟练使用相关知识，认真计算是本题的解题关键．若几个非负式的和为0，则这几个非负式都为0，常见形式如下：若几个非负式的和为0，则这几个非负式都为0，常见形式如下：（1）若则；（2）若则；（3）若则；问题：为什么说只能是都为0？因为非负数要么是0要么是正数，组合情况有3种：（1）0+正≠0（2）正+正≠0（3）0+0=0，综上所述，只有同时为0时，结果才能为0.2.二次根式的性质1：一个非负数的平方的算术平方根等于它本身；对于实数，一般来说，由，得，其中.利用二次根式的性质1，可知，所以.注意：性质表示一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.的值不一定等于.3.二次根式的性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.反之，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式,即.（1）与的区别与联系：类别区别表示的意义表示非负数的算术平方根的平方表示数的平方的算术平方根运算顺序先开方，后平方先平方，后开方的取值为任意实数化简结果＝联系（1）结果都是非负数（2）当时，＝（2）不同类型的二次根式化简类型方法先利用积的平方等于平方的积，即化为的形式，再化简.先利用化为的形式后再化简.4.二次根式的性质3：（1）和可以是数，也可以是代数式，但必须满足，实际上，是限制性质3右边的，对于性质3的左边，只需要即可.（2）若一个二次根式的被开方数中有的因式是完全平方式，则可以利用及将这些因式“开方”出来，从而将二次根式化简.5.二次根式的性质4：性质4中的和必须满足.是限制性质4右边的，对于性质4的左边，只要且即可.例如计算，不能写成，而应该写成.性质3和4两个等式中，左边是以两个数的积（或商）为被开方数的二次根式，右边是分别以这两个数为被开方数的两个二次根式的积（或商），在二次根式的运算或变换中，可以据此从左到右或从右到左进行转化.性质3和4两个等式中，左边是以两个数的积（或商）为被开方数的二次根式，右边是分别以这两个数为被开方数的两个二次根式的积（或商），在二次根式的运算或变换中，可以据此从左到右或从右到左进行转化.即学即练（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）若60n是整数，则正整数n的最小值是（

）A．15 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】先根据二次根式性质将60n化简成215n，再根据215n是整数，需要让15n能开方为整数，即可求出【详解】解：60n=∵60n∴15n∴正整数n的最小值是15，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确分解因式是解答本题的关键．知识点四化简二次根式化简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”.方法：方法举例被开方数含有完全平方因式，可用它的非负平方根代替后移到根号外面化去被开方数的分母若被开方数含有带分数，应先将带分数化成假分数若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数若被开方数是分式，应先将分母化成平方的形式，再进行开方运算被开方数是多项式的要先进行因式分解化去分母的方法将分子和分母同乘一个不等于0的代数式，使得分母变为完全平方式，再将分母用它的正平方根代替后移到根号外作新的分母.注意去根号时，若移到根号外面的式子是多项式，则该多项式是一个整体，必须添加括号.即学即练化简：(1)12(2)-24x(3)6y【答案】(1)n(2)-(3)3【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解；（2）根据二次根式性质进行的化简即可得解；（3）根据二次根式性质进行的化简即可得解．【详解】（1）解：∵12mn3≥∴n≥∴原式=12（2）解：由二次根式非负性-24x3y3原式=4x（3）解：原式=6y【点睛】考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键．题型一求二次根式的值例1（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）已知关于x的方程m+x-2=4有实数解，那么m的取值范围是【答案】m≤4【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．【详解】∵m+∴x∴4∴m故答案为：m【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．举一反三1（2023春·浙江温州·八年级校考期中）当a=-1时，二次根式7-a的值是．【答案】2【分析】直接把a的值代入进而得出答案．【详解】解：当a=-1时，二次根式故答案为：22【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．举一反三2（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）当x=2时，二次根式2x-3的值为．【答案】1【分析】直接将x=2代入2x-【详解】解：当x=2时，2x-故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单．题型二二次根式有意义的条件例2（2023春·上海静安·八年级统考期末）方程x+1x-1=0的根是【答案】1【分析】根据二次根式的性质可得x-1≥0，从而可得【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：x-1≥∴x+1则原方程可化为x-∴x-1=0故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．举一反三1（2023·上海宝山·校考阶段练习）已知实数x、y满足y=16-x2【答案】±【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件确定x的值，进而求得y的值，代入代数式，求得代数式的值，根据平方根的定义即可求解．【详解】解：∵16-∴x2∴x=±又∵分母中x+4≠∴x≠-解得：x=4，∴y=0+0∴3x+24y=3=12=9，∵9的的平方根为±3∴3x+24y的平方根为±3【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的算术平方根，求得x,y的值是解题的关键．举一反三2（2023春·安徽六安·八年级校考期中）若代数式14-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是【答案】x<4【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件得到4-【详解】解：∵代数式14∴4-解得x<4，即x的取值范围是x<4，故答案为：x<4【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．举一反三3（2023春·山东德州·七年级统考期中）如果y=4-x+x-4+2，则【答案】±【分析】根据二次根式的非负性，先求出x,y的值，再代入计算其平方根即可．【详解】解：在y=4∵4-x≥∴x≥4且∴x=4，把x=4代入y=4-x∴xy∴16的平方根表示为±16故答案为：±4【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，代入求值，求一个数的平方根的方法的综合，掌握以上知识是解题的关键．举一反三4（2023春·福建福州·七年级统考期中）已知y=x-2022-2023-x+1，其中x为整数，则【答案】0或2【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x-2022≥02023-x≥0【详解】解：要使y=x-2022解得：2022≤∵x为整数，∴x=2022或x=2023，当x=2022时，y=2022当x=2023时，y=2023综上分析可知：y的值为0或2．故答案为：0或2．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于零．题型三二次根式的非负性的应用例3已知：实数a，b满足关系式(a-2)2【答案】-1【分析】根据平方数，绝对值的非负性可求a,b的值，再根据含有乘方的有理数的混合运算，二次根式的性质即可求解．【详解】解：由题意得a-2=0，b+3=0，解得∴a-【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握平方数，绝对值的非负性，乘方的运算，二次根式的性质等知识是解题的关键．举一反三1（2023春·江西上饶·八年级统考期中）当a=2022时，求a+a

(1)______的解法是错误的；(2)错误的原因______；(3)当a>3时，求a2【答案】(1)小亮(2)未能正确地运用二次根式的性质a(3)-【分析】（1）运用二次根式的性质a2=|a|来进行化简，再将（2）运用二次根式的性质a2（3）根据a>3得到a-3>0，1-【详解】（1）解：a+=a+=a+|1-∵a=2022，∴1-∴原式=a+a-故小亮的解法错误.故答案为：小亮.（2）解：小亮解法错误，错误的原因是：未能正确地运用二次根式的性质a2=|a|，将1-故答案为：未能正确地运用二次根式的性质a2（3）解：∵a>3，∴a-3>0，∴a===a=a=-【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质和绝对值的性质是解答关键.举一反三2（2023春·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）若x-32=3-x，则x的值为【答案】3【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥【详解】解：∵x-∴x-又x∴x=3故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．举一反三3（2023春·山东烟台·八年级统考期中）设x，y均为实数，且y=x2-3+3-【答案】-【分析】先根据二次根式的定义求出x和y的值，然后再将x和y的值代入要求得式子即可；【详解】解：由二次根式的性质可得：x2-∴x=-将x=-3代入y=xyx将x=-3，y=2代入上式得：原式故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简等知识点，熟知二次根式有意义的条件的运用是解题关键．题型四利用二次根式的性质求字母的取值范围例4（2022秋·上海静安·八年级校考期中）已知2-x-x2-8x+16【答案】2【分析】根据二次根式性质先化简，再由去绝对值的代数意义分类讨论求解即可得到答案．【详解】解：∵x-∴2=x当x<2时，x-2≤当2≤x≤4时，当x>4时，x-2>0,x-综上所述，当2-x-x2故答案为：2≤【点睛】本题考查二次根式性质及去绝对值运算，熟记二次根式性质及绝对值代数意义是解决问题的关键．举一反三1（2022春·上海·七年级校考期中）若x2-8x+16=4-x，则x【答案】x【分析】先用完全平方公式进行整理，然后再利用二次根式的性质化简即可解答．【详解】解：∵x∴(x∴4-x故答案为：x≤【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解答的关键是灵活运用二次根式的性质进行化简以及二次根式的非负性是解答本题的关键．举一反三2若化简|1-x|-x2-8x+16的结果是2x-5，则【答案】1≤x≤4【分析】根据1-x-【详解】解：由题意可知：1∴1∴x-∴当x<1时原式=1-∴当x>4时，原式=x-∴当1≤原式=x-∴x的取值范围为：1≤故答案为：1≤【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.题型五利用二次根式的性质化简例5（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）化简：3-π2=【答案】π-3/【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式=故答案为：π-3【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．举一反三1（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期中）化简：(2-5)2=【答案】5-2【分析】根据二次根式的性质即可化简．【详解】解：由a2(2∵∴故答案为：5-【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握相关化简法则是解题关键．举一反三2（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）已知x<0,y>0，则x2y化简后为【答案】-【分析】根据二次根式的性质，计算即可得出答案．【详解】解：∵x<0,y>0，∴x2故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的化简，解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质．题型六二次根式的性质与几何问题例6（2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习）已知a，b，c满足a-22(1)求a，b，c的值；(2)以a，b，c为边能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由．【答案】(1)a=2(2)能组成三角形，周长为5【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先得到22<32【详解】（1）解：∵a-22+b-5∴a-∴a-∴a=22（2）解：∵8<18<25，∴22∵5-∴以a，b，c为边能组成一个三角形，此时三角形周长为22【点睛】本题主要考查了非负数的性质，实数比较大小，构成三角形的条件，实数的运算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．举一反三1设a、b、【答案】a+3b【分析】本题可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行化简二次根式即可得解．【详解】解：∵a、∴a-b-c<0，∴原式===a+3b-【点睛】此题考查二次根式的化简，三角形三边关系，解题关键在于掌握运算法则.举一反三2《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2-【答案】3【分析】根据周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，设a=4k,b=3k,c=2k∴4k+3k+2k=18解得k=2∴a=8,b=6,c=4∴S=====3故答案为：3【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．题型七二次根式的性质与最大（小）整数问题例7（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）已知20n是整数，则满足条件的最小正整数n为．【答案】5【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可求出答案．【详解】解：∵20n=4×∴25n∴5n是一个平方数，∴最小正整数n为5；故答案为：5【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．举一反三1（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）已知96n是整数，正整数n的最小值为．【答案】6【分析】由题意知96n=16×6n=4【详解】解：由题意知96n=∵96n是整数，∴正整数n的最小值为6．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．解题的关键在于对知识的熟练掌握．举一反三2已知19-n是整数，则正整数n的最小值为．【答案】3【分析】根据19-n是一个平方数即可求解．【详解】解：∵19∴19-n又∵n为正整数且取最小值，∴取19-此时n=3，∴正整数n的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的意义，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简以及理解19-一、单选题1．（2023春·广东广州·八年级执信中学校考期中）若18n是整数，则正整数n的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．18【答案】B【分析】根据若18n是整数，则18n是平方数求解即可．【详解】解：∵18a是整数，∴18n是平方数，∴n=2．故选B．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握a22．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知a<0，则二次根式-a2bA．ab B．a-b C．-ab【答案】D【分析】由题意可得b<0，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：由题意可得：b<0∴-∵a<0∴a∴-故选：D【点睛】此题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．3．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）已知xy<0，化简二次根式-xy2yA．x B．-x C．-x D．【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件求出-xy2≥0【详解】解：由二次根式有意义的条件求出-x∵xy<0，∴x<0，y>0，∴-x故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．4．（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）如果y=3-2x+2x-3，则x+yA．32 B．1 C．23 D【答案】A【分析】根据二次根式的非负性求出x，进而得到y的值，再计算即可．【详解】解：∵3-∴3-∴x=32，∴x+y=3故选：A．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，已知字母的值求代数式的值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．5．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）当b<0时，-b2aA．baa B．-baa C【答案】D【分析】根据分式基本性质进行化简即可．【详解】解：∵-b∴-b∵b<0，∴b2∴a＜∴-b故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，a26．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）若12-a2A．a≥12 B．0≤a≤12 C．【答案】A【分析】直接利用二次根式的性质得出a-【详解】解：若12则a-解得：a≥故选：A【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出二次根式化简结果的符号是解题的关键．7．（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）下列计算正确的是（

）A．(-3)2=-3 B．32=3 C．【答案】B【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．【详解】A、(-B、32C、32D、(-故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算是解题的关键．8．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）如果2-3x2=2+3xA．-23≤x≤23 B．-23≤x≤0【答案】B【分析】根据算术平方根的非负性可得2+3x≥0，根据2-【详解】∵算术平方根非负，2-∴2+3x≥∴x≥-∵2-∴2-∴9x∴x=∴x≤∴x取值范围：-2故选：B．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简以及绝对值的知识，掌握二次根式的化简以及算术平方根的非负性是解答本题的关键．二、填空题1．已知x+5有意义，如果关于x的方程x+5+a=3没有实数根，那么a的取值范围是【答案】a>3．【分析】把方程变形为x+5=3-a【详解】解：由x+5+a=3得x+5∵x+5有意义，且x+5⩾0∴方程x+5=3-a∴a>3故答案为：a>3．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a的取值范围．2．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，且满足mx-m+my-m=【答案】1【分析】根据被开方数是非负数，确定出m=0，x=-【详解】解：∵m，x，y是两两不相等的实数且满足m(x又∵m-∴m=0，x=-y，x∴原式=3故答案为：1【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出m=0，x=-3．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）化简：50a2【答案】5a【分析】根据二次根式有意义的条件，结合a>0，得到b>0，化简即可．【详解】∵50a2b∴b>0，∴50=5ab故答案为：5ab【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．4．（2021秋·上海·八年级上海市第四中学校考阶段练习）已知实数x、y满足y＝1-2x+2x-1+9，则yx值是【答案】3【分析】根据1-2x≥0且2x-1≥0计算x的值，后计算y的值，最后计算即可．【详解】∵实数x、y满足y＝1-2x+∴1-2x≥0且2x-1≥0，解得x=12∴y=9，∴yx=9故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的非负性，分数指数幂，熟练掌握二次根式的性质，灵活运用分数指数幂的运算法则是解题的关键．5．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）将x-6【答案】-【分析】根据二次根式的性质，得-6x3【详解】根据题意，得-6∵-6∴-∴x3∴x<0∴x-故答案为：--【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．6．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）当x时，代数式1x+3【答案】x>【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行解答即可．【详解】解：由题意得：x+3>