拓展阿氏圆方程的求解专题高二上学期数学人教A版选择性

拓展阿氏圆方程的求解*说明：借助反演点的性质应用来找圆心和半径。阿氏圆的定义：已知平面上两个定点A、B，当动点P符合到两定点的距离比值为不等于1的定值时，点P的轨迹是个圆。常规阿氏圆的求解方法：例：已知A(−2,0),B(1,0)，动点P符合到A点的距离与P到B点的距离之比为2，求P的轨迹方程。解法一：设点P（x,y），由题可知|PA||PB|即(x+2)2+y展开得x2化简得x也可写成(x−2)2思路和方法虽然简单，但是运算量有点多，如果题中的定点或比值未知时，这个计算就更复杂了，如果我们对这个圆的性质了解更多一些，就可以列其它方程来求解啦。反演点、反演(inversepoints;inverse)定义：是在圆或球直径上的一对点P与P′，如果它们到中心O之距离的乘积，等于半径r的平方，则称它们互为反演点，O称为反演中心，r称为反演半径。（即圆心和反演点符合：|OP||OP'|=r我们继续上面的例题，由已求出的圆心坐标O（2,0），半径为2，两定点A(−2,0),B(1,0)可知|OA|=4，|OB|=1，r=2，符合|OA||OB|=r2，即阿氏圆的求解可以借助以下两个性质：①圆心O在定点A、B的延长线上k靠近P距离定点较近的那一边；eg.|PA|=2|PB|，圆心在AB延长线靠近B点的那一端；②|OA||OB|=解法二：设圆心为D（t,0），当P在AB线段上时，根据|PA|=2|PB|可知P点坐标为（0,0），所以r可表示为|DP|=t，因为|DA|=t+2，|DB|=t1，根据|DA||DB|=r2，得(t+2)(t1)=t所以圆心为（2,0），半径是2。【例题1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（

）C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10C．在C上存在点M，使得 D．C上的点到直线的最大距离为9【答案】AD【详解】解：设圆心C（t，0）（t<2），当P在线段AB上时，坐标为（0,0）所以r=−t,|CA|=−2−t,|CB|=4−t，由|CA||CB|=r2得(−2−t)(4−t)=(−t)2点（1，1）到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误.设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，故C错误；C的圆心（4，0）到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确。【例题2】已知圆O：x2+y解:已知M在圆O上，A、B应互为反演点，|OA||OB|=r2，即2×|b|=1，且b应在线段AO之间，所以b=−12【小练一下】已知定点A（2,0），B（1,0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）.【答案】B【详解】设P（x,y）在D（t，0）上，|DA|=t+2,|DB|=t1,当P在AB上时，坐标为（0,0），所以r=t，又|DA||DB|=r2，(t+2)(t−1)=2.已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设P（x,y）在D（t，0）上，|DA|=t+1,|DB|=t2,当P在AB上时，坐标为（1,0），所以r=t1，又|DA||DB|=r2，(t+1)(t−2)=可得圆心