地图学第三章 地图的数学基础（全）

第三章地图的数学根底坐标网球面坐标系〔大地坐标系〕平面直角坐标系〔高斯平面直角坐标系〕比例尺地图投影第二节地图投影为什么学习地图投影？建立平面坐标系的需要制图的需要简化计算的需要一、地图投影的概念地图投影依据一定的数学法那么，将不可展的地球曲面运用特定的数学方法展示到平面上，最终在地外表点与地图平面点之间建立一一对应的关系

(B,L)(x,y)实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法那么转移到平面上。二、地图投影的变形第一，纬线长度不等。赤道最长；纬度愈高，纬线越短；极地的纬线长度为零。第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等。第三，所有的经线长度都相等。在同一条经线上，纬差相同的经线弧长相等〔在地球椭球面上，纬差相同的经线弧长虽不完全相等，但相差很小〕。1.变形的概念长度变形面积变形角度变形2.变形椭圆 取地面上一个微分圆〔小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待〕，它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比；为纬线长度比微小圆→变形椭圆

该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入：X2+Y2=1，得特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向长轴方向〔极大值〕a短轴方向〔极小值〕b经线方向m；纬线方向n统称主方向据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b3.长度比和长度变形

①

长度比(distancescale)：

=ds’/ds

经纬线投影后为垂直时:m=a或b,n=b或a。

经纬线投影后不垂直时:m2+n2=a2+b2mnsinθ=ab

②

长度变形(distortiondistance)：v

=-1

长度比是变量，随位置和方向的变化而变化4、面积比P:P=dF’/dF=a·b或P=m·

n·

sinθ面积变形(areadistortion):面积比与1之差

VP=p-1

5.角度变形(angulardistortion)：地面上某一角度投影前角值

与其投影后

的角值

’之差，即

-

’。以ω表示角度最大变形sin

/2=(a-b)/(a+b)

设A点的坐标为〔x、y〕，A′点的坐标为(x′、y′)，那么将上式两边各减和加tana

即：将两式相除，得：显然当〔a+a′〕=90°时，右端取最大值，那么最大方向变形：以w表示角度最大变形：假设m,n,q，那么：三、地图投影方法1.

几何投影法地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如平面、圆柱面和圆锥面。2.

数学解析法——以正轴圆锥投影为例经线投影为放射直线，经差l与投影面上d成正比：d=c·l〔c为圆锥系数，0<c<1〕。纬线投影为同心圆弧，其半径r是纬度的函数，r=f〔〕。圆锥投影的一般公式为：X=r

s-

r

cosδr

=f(

)

Y=r

sind

d

=c·l等角投影条件：ω=0，m=n，构成经移项、积分、整理得：四、投影的分类

1、按变形性质分类等角投影ω=0θ=900a=b或m=n等面积投影Vp=0P=ab=1a=1/b或b=1/a任意投影

等距投影:m=1或n=12、根据地图投影的构成方法分类 ①

几何投影——源于透视几何学原理 按投影面分类：方位投影

圆锥投影

圆柱投影

横轴

正轴

斜轴

按投影方式分类②

非几何投影——根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。伪方位投影伪圆柱投影伪圆锥投影多圆锥投影小结地图投影变形类型长度〔最主要变形〕面积角度变形椭圆极值长度比a、b经纬线长度比m、n分类按变形性质分〔等角a=b或m=n、等积a=1/b、任意〕按投影构成几何〔按投影面-圆锥/圆柱/方位、按投影方式-正轴/横轴/斜轴〕解析(伪圆锥/伪圆柱/伪方位)思考：经纬线网投影后仍然正交的一定是等角投影吗？等角投影投影后经纬线一定正交吗？第三节圆锥投影、多圆锥投影、伪圆锥投影一、圆锥投影〔一〕根本概念〔二〕根本公式及变形分布规律1、根本公式极坐标公式：=f()，=c直角坐标公式:x=s-cos，y=sin圆锥投影需要决定的函数形式0<c<1圆锥投影c=1方位投影c=0圆柱投影〔二〕圆锥投影的变形分布规律1、根本公式m=-d/(Rd)n=c/(Rcos)p=mnsin/2=|(m-n)/(m+n)|=(a-b)/(a+b)2、变形分布规律各种变形都是纬度的函数，与经度无关也就是说，圆锥投影的各种变形都是随纬度的变化而变化，在同一条纬线上各种变形的数值各自相等。因此：等变形线与纬线平行，呈同心圆弧状分布。切圆锥投影：相切的纬线是没有变形的线，称为标准纬线从标准纬线向南、北方向变形逐渐增大割圆锥投影：有两条相切的纬线是标准纬线之间，纬线长度比<1;之外：〉1;离标准纬线越远，变形越大。3、适用地区适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图。世界上广阔陆地位于中纬度地区，圆锥投影的经纬线网形状简单，所以被广泛应用〔三〕、正等角圆锥投影1.等角条件m=n或a=b=0;m=-d/(Rd)n=c/(Rcos)-d/(Rd)=c/(Rcos)-d/c=(Rd)/(Rcos)2、变形规律等角割圆锥投影：有两条相切的纬线是标准纬线——无变形角度无变形之间，纬线长度比<1;经线也?1之外：〉1;经线也〉1离标准纬线越远，变形越大。向北变形比向南变形快3、应用：新编1：100万地形图〔边伟与中纬变形绝对值相等的-80度——+84度〕1：400万、1：600万挂图全国性的普通地图和专题地图。世界上许多国家如法国、比利时、西班牙都曾采用此投影作为地形图的数学根底。西方国家的许多挂图、地图集〔四〕、等面积圆锥投影1、条件：面积无变形P=m*n=1；m=1/n或n=1/m;2、变形规律：等积割圆锥投影：有两条相切的纬线是标准纬线——无变形面积无变形之间，纬线长度比<1;经线〉1之外：〉1;经线也?1离标准纬线越远，变形越大。3、应用编制全国性的社会经济地图中的行政区划图、人口密度图、土地利用图等〔五〕、等距圆锥投影1、条件：沿经线长度比为1；即m=1;2、变形规律：等距割圆锥投影：有两条相切的纬线是标准纬线——无变形经线长度无变形离标准纬线越远，变形越大。之间，纬线长度比<1;面积比P?1；面积变形向负方向增加之外：〉1;面积比P〉1；面积变形向正方向增加3、应用我国不多见，但在前苏联曾用此投影出版了苏联全图〔六〕、几种圆锥投影变形性质的图形判别1、共同特征：经线：放射状直线，夹角相等纬线：同心圆弧2、变形性质不同，经线长度比就不同，表现出的纬线间隔变化就不同。纬差相等的经线间隔从中心向南北增大——等角纬差相等的经线间隔从中心向南北减小——等积纬差相等的经线间隔相等——等距小结圆锥投影1、概念〔理解〕、根本公式〔了解〕经纬网根本形状纬线：同心圆圆弧经线：射线经纬线正交2、根本变形分布规律及应用〔掌握〕根本公式：〔了解〕变形规律：〔理解〕各种变形都是纬度的函数，与经度无关，等变形线与纬线平行切圆锥：标准纬线上n=1；之外n〉1割圆锥：标准纬线上n=1；之外n〉1；之间n<1应用：中纬度沿纬线延伸的区域〔和等变形线延伸方向相似，容易控制变形〕〔理解〕3、圆锥投影分类〔掌握〕等角〔Lambert〕〔m=n〕变形规律割圆锥：标准纬线上n=1；之外n>1m>1之间n<1m<1经纬线形状特点：标准纬线之外纬线间隔大〔相同纬差〕标准纬线之外纬线间隔小〔相同纬差〕应用：我国新编1：100万地形图等积〔大家总结〕等距4、三种圆锥投影的图形判别〔掌握〕二、多圆锥投影〔一〕、概念原因：标准纬线越多,变形就会越小.纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上；除中央经线外，其他经线投影为对称于中央经线的曲线。但凡经纬线符合上述特征的都属于多圆锥投影。〔二〕、等差分纬线多圆锥投影——不等分纬线的多圆锥投影1．经纬线形状赤道和中央经线投影后为相互垂直的直线；其他纬线投影为对称于赤道的同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上；其他经线投影为对称于中央经线的曲线，各经线间隔随着离中央经线距离的增大而缩短，按等差递减；极点为圆弧，长度为赤道的1/2。2、变形分布属面积变形不大的任意投影赤道长度比〉1，中央经线长度比=1角度变形分布——P76图a面积变形分布——P76图b应用——多种世界政区图和其他类型的世界地图

3、应用——多种世界政区图和其他类型的世界地图

〔三〕正切差分纬线多圆锥投影1、经纬线形状：经线间隔，由中央经线向东西两侧按与中央经线经差的正切函数递减。正切函数随角度增加递增速度越来越快。2、应用：地图出版社1981年出版的1：1400万世界全图采用了这个投影。三、伪圆锥投影1、经纬线形状纬线为同心圆圆弧，圆心在中央经线上经线除中央经线投影成直线外，其余经线都投影为对称于中央经线的曲线。2、等积伪圆锥投影——彭纳投影概念：因为经纬线投影后不正交，所以没有等角投影，只有等积和任意投影。是由法国水利工程师彭纳〔R.Bone〕提出的，故又称——。变形分布：纬线长度比n=1;中央经线长度比m0=1;无面积变形，即P=1;中央经线和中央纬线是没有变形的线；离这两条线越远，变形越大。3用途编制中纬度地区小比例尺的大洲图，如中国地图出版社出版的?世界地图集?中的亚洲政区图第四节圆柱投影、伪圆柱投影一、圆柱投影(cylinderprojection)〔一〕根本概念2、分类按变形性质可分为：等角圆柱投影；等面积投影和任意圆柱投影(其中主要是等距离投影)按圆柱面与地球相对位置可分为：正圆柱投影；斜轴圆柱投影和横轴圆柱投影按圆柱面与地球椭球体相切或相割可分为：切圆柱和割圆柱投影〔二〕、正轴圆柱投影根本公式及变形分布规律1、根本公式x=f()y=cyox

A’(x’,y’)x’y’m=dx/(Rd)n=c/(Rcos〕P=ab=mnsin/2=(a-b)/(a+b)=(m-n)/(m+n)yox

A’C’D’B’f:取决于投影变形的性质;c:与地球赤道相切时,c=R ;与赤道相割于纬度

k时,c=Rcosk<R2、变形分布规律各种变形都是随纬度的变化而变化，在同一条纬线上各种变形的数值各自相等。

等变形线与纬线平行，呈平行线状分布

a)

切圆柱投影：相切的纬线是没有变形的线，称为标准纬线i.

从标准纬线向南、北方向变形逐渐增大b)

割圆柱投影：有两条相切的纬线是标准纬线i.

之间，纬线长度比<1;ii.

之外：〉1;iii.

离标准纬线越远，变形越大。c)

以赤道为对称轴，南北方向同名纬线上变形数量向等3、适用地区适于制作赤道附近和赤道两侧沿东西方向延伸地区的地图。

〔三〕、等角正轴圆柱投影〔墨卡托投影〕等角正轴圆柱投影是按等角条件决定x=f())的函数形式。是由荷兰制图学家墨卡托〔MercatorGeradus〕所创，因此又称——。1.等角条件m=n或a=b=0;2、变形规律a．等角割圆柱投影：有两条相切的纬线是标准纬线——无变形b．角度无变形c．之间，纬线长度比<1;经线也?1；赤道上负向变形最大d．之外：〉1;经线也〉1；e．离标准纬线越远，变形越大。到极点为无限大3、等角航线P79它是两点间与所有经线处处成相同方位角的一条曲线。鉴于这种特性，等角航线在航海中具有一定的意义，当船只按等角航线航行时，那么可不必变更某一固定方位而到达终点。在等角圆柱投影中等角航线投影为直线——因为经线投影为直线，又具有等角性质。所以：被用来编制航海地图3、应用：切圆柱等角投影适用于制作赤道地区的地图；割圆柱等角投影适用于制作和赤道对称得沿纬线方向延伸地区的地图。时区图，卫星轨迹图

(四)、圆柱投影变形性质分析及图形判别

1、正轴圆柱投影经纬线的共同特征：1)

经线为间隔相等的平行直线；2)

纬线为与经线垂直的平行直线。3)

切圆柱投影——赤道为标准纬线，即n0=1;其他n>1;离赤道越远，变形越大4)

割圆柱投影——相割的两条纬线+-

k为标准纬线，nk=1;之内n<1,n0最小；之外n>1,离标准纬线越远变形越大。 2、按变形性质区分：有等角、等面积、等距、任意投影，但都符合上面的特征，即纬线长度比的变化是确定的，要满足投影的不同性质要求，只能改变经线的长度比。等角：使m=n;经线长度从赤道向两极逐渐增大等面积：m=1/n或n=1/m;P=1;经线长度从赤道向两极逐渐减小等距：m=1;经线间隔相等我国现行的大于及等于1:50万比例尺的各种地形图都采用这种投影.1、高斯投影的概念

〔五〕等角横切椭圆柱投影——高斯—克吕格投影

中央子午线赤道NS椭球体上图形高斯投影————>圆柱体上图形展开———>平面上图形投影方法（五）高斯投影2、变形特点变形特点：角度无变形中央子午线长度不变形在同一经线上，纬度越低，变形越大，即

越小，

越大

离中央子午线越远的子午线长度变形越大赤道NS（五）高斯投影3.分带投影——控制变形方法——限制投影范围，将全球分成假设干范围不大的带，分别进行投影（五）高斯投影15°18°12°9°6°3°0°21°15°18°12°9°6°3°0°21°15°18°12°9°6°3°0°21°……..3°6°21°9°15°0°12°18°24°111°108°114°120°117°……带宽——常用经差6°，3°，1.5°带宽越小越好吗？东经0°～6°，6°～12°，…，6〔n－1〕～6n第1带第2带…第n带中央子午线3°9°…全球共分60个带，我国范围在13～23带4、6°带投影……..3°6°21°9°15°0°12°18°24°111°108°114°120°117°……：某点位于东经L求其所在带号公式四舍五入：某点所在带号求该带L0相关计算：全球共分120个带，我国范围在25～45带5、3°带投影与6°带的三个不同：

投影带宽为3°起始经线为东经1.5°计算公式不同四舍五入6、任意3°带投影城市中心远离中央子午线怎么办？1)、坐标系统的构成〔XOY)原点：赤道与中央子午线的交点X轴：中央子午线，向北为正Y轴：赤道线，向东为正象限按顺时针Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ排列OⅠⅡⅢⅣYX+-+-——自然坐标7.高斯平面直角坐标系的建立·自然坐标的特点x——都为正有正有负y 有重复XY099°yaxaACxcyc0X87°··-ybBxb2)、高斯平面直角坐标系的通用坐标X’Y’0’500kmX’AYb’Ya’xa·B0YX·yayb在Y坐标前面冠以带号原点西移500kmY坐标一律加500km——通用坐标例如：A点在6º带第19带，B点在6º带第20带,原坐标系XOY中的自然坐标为：A、B两点的的通用坐标分别为：8、坐标网1〕经纬网

1：25万-1：100万的地形图

绘出经纬网1：5千-1：10万的地形图

经纬线只以图廓线的形式直接表现出来，并在图角处注出相应的度数，在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线(称分度带)。2〕直角坐标网---方里网

〔六〕通用横轴墨卡托投影(UTM)

高斯投影在英美国家也成为横轴墨卡托投影，UTM投影是横轴墨卡托投影的一种变形，高斯投影在中央经线的长度比=1；UTM投影那么=0.9996,使投影带内变形更小，6度带内最大长度变形不超过0.04%美国用于编制世界各地军用地图和地球卫星相片。二、伪圆柱投影1．经纬线形状1)

纬线为平行直线2)

经线除中央经线投影成直线外，其余经线都投影为对称于中央经线的曲线。经线可为任意曲线，一般选择那么正弦曲线和椭圆曲线2．投影类型——经纬线不正交，所以只有等面积和任意性质两种3．桑生投影——等积伪圆柱投影1)

设计方法：纬线设计成间隔相等的平行直线，经线为对称于中央经线的正弦曲线；具有等面积性质，同一纬线上经线间隔相等；由法国人桑逊〔N.Sanson〕所创，后由英国人弗兰斯蒂德用于制作世界地图而知名，所以又叫桑讯—弗兰斯蒂德投影。2)

投影特点：a．所有纬线长度比=1；即n=1;b．中央经线长度比=1；c．距离中央经线越远长度比越大；d．面积比=1，即面积变形为03)

适用区域最早用于编制世界地图，但更适合编制位于赤道附近南北延伸的地图如非洲地图、南美洲地图。

4、摩尔威特投影——等面积伪圆柱投影由德国摩尔维特设计而得名 1)

设计方法：中央经线为直线，距其东西经差+-90度的经线构成一大圆，其面积为地球面积的1/2；其余经线为椭圆。赤道长度是中央经线的2倍，纬线是间隔由赤道向两极逐渐缩小的平行直线。同一纬线上经线间隔相等。2)

投影特点：a．中央经线和+-40044‘11“的交点无变形，b．距离这两点越远变形越大c．向高纬比向低纬增大的速度快3)

适用区域——世界地图或东西半球图5、古德投影由于伪圆柱投影都存在远离中央经线变形增大的缺陷，为使投影后变形减小，并且个局部变形分布相对均匀，美国古德提出了分瓣伪圆柱投影方法来绘制世界地图。设计思想：根据制图区域的需要，确定假设干中央经线的位置，然后分瓣投影，要求分裂的各局部在赤道处连接在一起。优点：每瓣中央经线两侧投影区域不至于过大，因此每瓣经线的弯曲程度减小，变形就减小6、摩尔维特—古德投影为使大陆局部表现得更好，由于桑逊投影在低纬度地区变形较小，而摩尔维特在高纬地区变形较小，所以古德将这两种方法结合起来分瓣，+-40度之间用桑逊投影，之外采用摩尔维特投影。美日常用此投影出版世界地图集中的世界地图第五节方位投影〔一〕方位投影构成的一般公式 1、定义方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球外表相切或相割，将地球外表上的经纬线投地影到平面上所得到的图形一、方位投影的概念和种类

横轴

正轴

斜轴

2、分类3、球面坐标系垂直圈：通过PP1和球心的平面与地球外表相交的大圆等高圈：垂直于垂直圈的各圆以P为极点，以垂直圈和等高圈为坐标网，所形成的坐标系叫做球面坐标系。球面坐标系是用天顶距Z和方位角α〔该弧与极轴——过新极的经线的夹角〕来表示地球面上一点的位置OSNEGPP1PP1NSGａZ大地坐标系是球面坐标系的一种，它是以地轴为极轴设球面坐标极P的大地坐标为0λ0，A点的地理坐标为〔，λ〕，其球面坐标为Z，α，它们的关系式为：cosZ=sinsin0+coscos0cos〔λ-λ0〕ctgα=tgcos0csc〔λ-λ0〕-sin0ctg〔λ-λ0〕假设0=90〔正轴〕cosZ=sin=〉Z=900- α=λ4、一般公式极坐标公式：δ=αρ=f〔Z〕直角坐标公式：x=ρcosδy=ρsinδ〔二〕方位投影的变形分布规律1=A’B’/AB=dρ/Rdz2=B’C’/BC=ρdδ/rdα=ρ/RsinZP=12=ρdρ/R2sinZdZSinw/2=|(1-2)/(1+2)|2、变形规律方位投影的变形公式都是z的函数，如果z不变，那么投影等变形线分布形值不变。这就是说，在同一等高圈上各点的各种变形数值均各自相等，等变形线〔变形值相等的各点连线〕是与等高圈一致的同心圆。投影中心是没有变形的点，从投影中心向四周变形逐渐增大。方位投影的中心，也就是投影平面与地球相切的点，没有变形；过投影中心球面上的大圆弧投影为直线，而且从中心到任何点的方位角没有变形。因此，这种投影被称为方位投影3、应用方位投影适合制作圆形区域的地图两极地区宜采用正轴方位投影；赤道附近地区宜采用横轴方位投影；其他地区那么采用斜轴方位投影。〔三〕方位投影的种类透视方位投影——视点位于垂直于投影面的地球直径或其延长线上非透视方位投影——按照一定的条件构成1、透视方位投影中心射方位投影〔球心投影〕

位于地球中心，按变形性质来说，属任意投影。大圆投影为直线，用于编制航空或航海图平射方位投影〔球面投影〕

位于地球外表，属等角投影。我国新编1：100万地形图〔〉840及<-800〕正射方位投影

位于无限远，属任意投影。应用较少2、非透视方位投影等面积方位投影P=

1

2=

ρdρ/R2sinZdZ=1东西半球图---横轴水、陆半球图——斜轴等距方位投影垂直圈投影后保持长度无变形，即：

1=dρ/Rdz=1南北极图二、几种方位投影变形性质的图形判别1、共同的特征正轴投影，其经线为放射状直线，夹角相等；纬线为以经线的交点为圆心的同心圆。横轴投影，赤道和中央经线为互相垂直的直线，其他经纬线均为曲线。斜轴投影，除中央经线为直线外，其余的经纬线均为曲线。2、变形性质与图形特征垂直圈是半径方向，表现为直线；在正轴投影上，为经线；在横轴投影上，为赤道和中央经线；在斜轴投影上，为中央经线。垂直圈的长度比在图形上是有反映的，它表现为中央经线上纬线间隔的变化等角方位投影，在中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐扩大等积方位投影，在中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐缩小等距方位投影，在中央经线上纬线间隔相等第六节地图投影的判别与选择一、地图投影的判别〔一〕确定投影种类——根据经纬线网形状直线只要用直尺量度，便可确定判断曲线是否为圆弧，可以将透明纸覆盖在曲线之上，在透明纸上沿曲线按一定间隔定出三个以上的点，然后沿曲线移动透明纸，使这些点位于曲线的不同位置，如这些点处处都与曲线吻合，那么证明曲线是圆弧，否那么就是其他曲线。判别同心圆弧与同轴圆弧，那么可以量测相邻圆弧间的垂线距离，假设处处相等那么为同心圆弧，否那么是同轴圆弧。〔二〕确定投影的变形性质任一条经线上纬线间隔从投影中心向南、北方向的变化就可以判别变形性质：如果