四年级几何三角形的等积变形教师版

三角形三角形的等积变形知识要点我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。比如当高变为原来的倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等。②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。等底等高如图，在中，是中点，是中点，连结、，那么与等积的三角形一共有哪几个三角形？个，、、。如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点， 为边上的任意一点，求阴影部分的面积。连接、，同理，，（平方厘米）如图，在平行四边形中，平行，连结、、、那么与等积的三角形一共有哪几个三角形？、、。如图，为平行四边形，平行，如果的面积为平方厘米。求三角形的面积。连结AF、CE，∴；；又∵与平行，∴（平方厘米）。高相同，看底如图，长厘米，长厘米，、和在同一条直线长。（1）求三角形的面积是三角形面积的多少倍？（2）求三角形的面积是三角形面积的多少倍？因为三角形、三角形和三角形在分别以、和为底时，它们的高都是从点向边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形的面积高高三角形的面积高高三角形的面积高高所以，三角形的面积是三角形面积的倍；三角形的面积是三角形面积的倍。如图，三角形中，，，三角形的面积是平方厘米，三角形的面积是多少？∵，∴,，又∵,∴,（平方厘米）如图，在三角形中，厘米，高是厘米，、分别为和的中点，那么三角形的面积是多少平方厘米？∵是的中点,∴，同理，∴（平方厘米）如图，三角形的面积是，、和分别是、和的中点。求：三角形的面积。三角形的面积是三角形面积的一半，三角形又是三角形面积的一半。三角形的面积是三角形面积的一半，所以三角形的面积如图所示，在平行四边形中，为的中点，，三角形（图中阴影部分)的面积为平方厘米。平行四边形的面积是多少平方厘米？连结。三角形面积是三角形面积的倍，而三角形面积是三角形面积的倍，所以三角形面积是三角形面积的倍；又因为平行四边形的面积是三角形面积的倍，所以平行四边形的面积是三角形面积的倍。因此，平行四边形的面积为(平方厘米)。（陈省身杯国际青少年数学邀请赛五年级）如图,是一个平行四边形，是一个直角三角形，它们组合成了梯形。如果这个梯形的上底、下底和高分别为、和，则图中阴影部分的面积是。梯形总面积为，，，所以阴影部分面积为。底相同，看高如图，在上，垂直，厘米，厘米。求三角形的面积是三角形面积的几倍？

因为垂直于，所以当为三角形和三角形的底时，是三角形的高，是三角形的高，于是：三角形的面积，三角形的面积所以三角形的面积是三角形的面积的倍。

借助辅助线（北京市第四届“迎春杯”赛）如图，三角形的面积为1，其中，，三角形的面积是多少？连接，∵，∴，，又∵，∴如图，三角形被分成了甲、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？连接∵,∴,又∵,∴,∴是平行四边形，面积为平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿平方厘米。MNMN如图所示：设与的交点为，与的交点为，平方厘米平方厘米平方厘米如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积． 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）。连接、、同理可得其它，最后三角形的面积如图所示，四边形的面积是平方厘米，、、、，求四边形的面积。由于图中四边形和四边形均为不规则四边形，所以考虑做辅助线用间接求法，将其转换成三角形，以便通过三角形的基本性质进行求解。联想到图中给出的四个中点，考虑如图作辅助线，分别连接、、，这样一来，根据等底等高的三角形面积相等，不难得出：，，平方厘米；同理，平方厘米；所以平方厘米。

如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为为厘米，那么长方形的宽为几厘米？连接（我们通过把长方形和正方形联系在一起）∵在正方形中，，∴（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，。那么，，即：宽，那么：宽厘米（年迎春杯初赛试题）如图，长方形被、分成四块，已知其中块的面积 分别为、、平方厘米，那么余下的四边形面积是多少平方厘米？连接和由于和等底等高所以面积相等，根据差不变的原理知道：。两端同时减去即得到,因为在四边形里有一个对角线性质：对角乘积相等，知道，因为面积为，长方形面积为。剩余部分面积为（平方厘米）。（第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形被它的一条对角线分成了两部分。三角形的面积比三角形的面积大平方分米。已知梯形的上底与下底的长度之和是分米，它们的差是分米。求梯形的面积。如右图，作的平行线。三角形的面积与三角形的面积相等，三角形的面积就是三角形与三角形的面积差(平方分米)。从而，可求出梯形高(三角形的高)是：（分米），梯形面积是：(平方分米)。如图，长方形的面积是，是边的中点，在边上，且。那么，阴影部分的面积是多少？连接，因为是中点所以的面积为又因为，所以的面积为，又因为面积为，所以阴影部分的面积为：正方形和正方形，且正方形边长为厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？（法1）三角形的面积，梯形的面积三角形的面积，而四边形是它们的公共部分，所以三角形的面积三角形的面积，进而可得阴影面积=三角形的面积=三角形的面积（平方厘米）。（法2）连接，那么平行，所以，阴影面积=三角形的面积=三角形的面积（平方厘米）。两个正方形如图排列，面积相差，求阴影部分梯形面积。如右图，将小正方形折叠过去，平方厘米。（年浙江省小学数学竞赛）如图所示，已知正方形的边长为厘米，,那么，图中阴影部分的面积是________平方厘米。设、的交点为，在边上取一点，使得，连结。因为，所以、两点关于直线对称。从而有因为(平方厘米)。如图，正方形的面积为平方厘米，，，那么这四个小三角形面积之和。如图连结设，，，,设，，。，为中点，有，又，，即，又已知为的倍，，，，两边同减去，得，即，因此：，所以，故所求四个三角形面积为。如图，,，那么，的面积是面积的倍。设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积为面积的一半，即。的面积是面积的倍。如图，在四边形中，对角线、交于，且，，如果四边形面积是，求的面积？连结、，如右图所示，，有，又因为，有，且由此可见：的三个部分中补到了，补到了，而的位置不变，由此一来相当于将等积变形到了四边形，两者面积相同，即：．其他（年月日第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第试第题）如图，边长为的正方形将边长为的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于。【分析】空白部分的面积的差大正方形小正方形大正方形小正方形平方厘米。如图，已知四边形的两条边的长度和三个角的角度，那么这个四边形的面积是多少？如右图添加辅助线，则所求四边形的面积=大等腰直角三角形小等腰直角三角形，所以所求面积为。（年月日第十届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级选拔赛第二（）题）如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是厘米、厘米、厘米。乙的一个顶点在甲的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。这三个正方形的覆盖面积是多少？【分析】如图所示，从正方形中心出发任意作两条相互垂直的射线，能与正方形的边围成一个阴影部分，由这样个阴影部分，恰能拼成原来的正方形，所以阴影正方形。甲、乙两个正方形重叠部分的面积是甲正方形面积；乙、丙两个正方形重叠部分的面积是乙正方形面积；所以这三个正方形的覆盖面积甲乙丙甲、乙重叠部分乙、丙重叠部分甲乙丙甲乙甲乙丙甲乙丙平方厘米。下图正方形边长是厘米，长方形的长为厘米，宽为厘米。阴影部分甲与 阴影部分乙的面积差是_______平方厘米。【分析】设空白部分的面积为，那么阴影部分的面积差为（平方厘米）一课一练如图，在梯形中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【分析】与，与，与。

图中两个正方形的边长分别是厘米和厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。【分析】（平方厘米）（年月日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第试第题）如图，将一个三角形（有阴影的）的两条边分别延长倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的倍。【分析】如图所示大三角形的面积是原三角形面积的倍。如图，三角形的面积是，、和分别是、和的中点。求：三角形的面积。三角形的面积是三角形面积的一半，三角形又是三角形面积的一半。三角形的面积是三角形面积的一半，所以三角形的面积

如图所示，在平行四边形中，为的中点，，三角形(图中阴影部分)的面积为平方厘米。平行四边形的面积是多少平方厘米?【分析】连结。三角形面积是三角形面积的倍，而三角形面积是三角形面积的倍，所以三角形面积是三角形面积的倍；又因为平行四边形的面积是三角形面积的倍，所以平行四边形的面积是三角形面积的倍。因此，平行四边形的面积为(平方厘米)。如图，三角形中，是的倍，是的倍，如果三角形的面积等于，那么三角形的面积是多少？【分析】连接.∵∴又∵∴，∴。补充（陈省身杯国际青少年数学邀请赛五年级）如图,在三角形中，的长是长的倍，是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍。，所以面积是面积的倍。

如图，把四边形改成一个与等积的三角形。本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等。我们可以利用三角形等积变形的方法，如上图把顶点移到的延长线上的处，与面积相等，从而面积与原四边形面积也相等。这样就把四边形等积地改成了三角