2.8有理数的混合运算（四大题型）（原卷版）

（苏科版）七年级上册数学《第2章有理数》2.8有理数的混合运算知识点知识点有理数的混合运算◆有理数的混合运算：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．题型一有理数的混合运算题型一有理数的混合运算【例题1】下列运算正确的是（）A．（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）＝9 B．﹣（﹣1）200×（﹣2）4＝﹣8 C．（﹣8）×3÷（﹣2）2＝12 D．12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2＝42解题技巧提炼（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【变式1-1】计算6÷（-32）×（﹣2）3的结果是【变式1-2】（2021秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（）A．4 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣28【变式1-3】下列各式中．计算结果得0的是（）A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+22【变式1-4】（2023春•黄浦区期中）计算：22【变式1-5】（2023春•闵行区期末）计算：﹣22﹣（﹣5）2×125-（﹣223【变式1-6】（2022•馆陶县二模）淇淇在计算：(-1)解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷12-＝﹣2022+6+12﹣18………②＝﹣2048…………………③（1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是；（填序号）（2）请给出正确的解题过程．【变式1-7】（2022秋•长寿区期末）计算：（1）﹣22﹣|﹣7|+3﹣2×（-1（2）﹣14+[4﹣（38+16-【变式1-8】（2022秋•黄石港区期末）计算与化简：（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4；（2）（14-49）×（﹣6）【变式1-9】计算：（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；（2）|1（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12-23）（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13-|1﹣（﹣5）【变式1-10】（2022秋•仁怀市期中）计算：（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）；（2）-5×2+3÷1（3）-1（4）(-48)×(1题型二含乘方的程序图运算题题型二含乘方的程序图运算题【例题2】如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为．解题技巧提炼利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．【变式2-1】（2022秋•蓝山县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为﹣2，则输出的结果为．【变式2-2】（2022春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为．【变式2-3】按照以下程序图输入x的值为﹣3，则输出的y值为．【变式2-4】（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是．【变式2-5】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是．【变式2-6】（2022秋•朝阳区月考）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是．【变式2-7】按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（）A．72 B．144 C．288 D．576【变式2-8】（2022•莲池区校级一模）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．（1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果；（2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？（3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系．题型三题型三含乘方的新定义运算问题【例题3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a，如1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．则（﹣2）☆3的值为．解题技巧提炼新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.【变式3-1】（2022秋•潢川县校级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则3*（﹣2）＝．【变式3-2】用“☆”定义一种新运算：对任意给定的两个有理数a，b，有a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝3×1×32+2×1×3+1，则（﹣2）☆3＝．【变式3-3】对于有理数a、b定义运算如下：a*b＝（a+b）2（b﹣a），则﹣10*（﹣4*5）＝．【变式3-4】（2022秋•泊头市期中）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键，再输入“b”，就可以得到运算a⋆b=|2-a2|-1b+1．按此程序（﹣3）⋆（﹣【变式3-5】定义一种运算：acbd=ad﹣bc，如1-3-20=1×0﹣（﹣2）×（﹣3）＝0﹣6＝﹣6．那么当a＝（﹣2）2，b＝﹣（﹣1）3+1，c＝﹣32+5，【变式3-6】（2023春•大丰区月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝，（2，14）＝（2）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c．【变式3-7】规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列问题．（1）求3※（﹣1）的值；（2）求（﹣4）※（12※2（3）若m※5的值为40，求m的值．【变式3-8】（2022秋•朝阳区校级期中）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．0*0＝02+02＝0（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，．（2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝．（3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求理由．题型四含乘方的探究规律题题型四含乘方的探究规律题【例题4】（2022秋•淮南期末）观察下面三行数．﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…（1）求第一行的第n个数；（n为正整数）（2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数；（3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由．解题技巧提炼乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题．【变式4-1】观察下列等式，找出规律然后在空格处填上具体的数字．1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，根据规律填空1+3+5+7+9+…+2021＝．【变式4-2】观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…．③（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；（2）请你分别写出第②③行的第7个数；（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．【变式4-3】观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②12，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…；（1）请直接写出第①行数的第100项：，第n项：；（2）第②行数的第2012项：；（3）第③行数与第①行数有什么关系？（4）取每行数第10个数，计算这三个数的和．【变式4-4】观察下面三行数：﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…；﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…．（1）第一行第十个数是；（2）第二行第n个数是（n为正整数）；（3）取每行的第十个数，计算这三个数的和．【变式4-5】观察下列运算过程：S＝1+3+32+33+…+32016+32017，①①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，②②﹣①，得2S＝32018﹣1，S=3用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017．【变式4-6】已知13＝1=14×12×22，13+23＝9=14×22×32，13+23+33＝36=（1）13+23+33+43+53＝=14×2×（2）猜想：13+23+33+…+n3＝14×（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．【变式4-7】（2022秋•永定区期中）观察下面算式的演算过程：1+11+11+11+1…（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：1+15×7=1+16×8=1+12n×(2n+2)=(2n+1)（2）根据规律计算：（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+1【变式4-8】【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a︸n个a（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③＝，（-12）⑤＝（2）关于除方，下列说法错误的是；A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何大于等于2