第12讲 圆的对称性（原卷版）

第12讲圆的对称性目标导航目标导航课程标准1.掌握圆的轴对称性和中心对称性及其相关的性质；2.理解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的对应关系，并运用它解决有关问题.知识精讲知识精讲知识点01圆的对称性1.圆的对称性圆的对称轴是任意一条过的直线。注意：①圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应该说“直径所在的直线”或“经过圆心的直线”是它的对称轴；②圆的对称轴有无数条。2.圆是中心对称图形圆是以为对称中心的中心对称图形。实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性，圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。知识点02圆心角、弧、弦的关系1.圆心角角的顶点在，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫做圆心角。2.弦心距圆心到弦的距离（圆心到弦的垂线段的长）叫做弦心距。3.圆心角、弧、弦的关系：

（1）定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦也．（2）推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

注意：①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；

②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

EQ\o\ac(○,3)实际上，在同圆或等圆中，相等的圆心角不但所对的弧相等，所对的弦相等，而且所对弦的弦心距也相等。同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。能力拓展能力拓展考法01利用圆心角、弧、弦的关系求解【典例1】如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（

）A． B． C． D．【即学即练】如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（

）A．18° B．36° C．72° D．80°考法02利用圆心角、弧、弦的关系求证【典例2】如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（）A． B．C． D．【即学即练】如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（

）A． B． C． D．2．如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（）A． B． C． D．3．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（）A．120° B．75° C．60° D．30°4．下列说法中，正确的个数为（）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧相等则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（）A．42° B．48° C．21° D．16°6．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（

）A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．7．已知上有两点、，且圆心角，则劣弧的度数为_________．8．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为__________．9．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．10．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.（1）求证：BE=DF；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).题组B能力提升练1．下列说法中，不正确的是（

）A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧2．如图，的弦、的延长线相交于点，，，的度数是（

）．A． B． C． D．3．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为(

)A．30° B．45° C．60° D．90°4．在同圆中，若弧和弧都是劣弧，且弧弧，那么和的大小关系是（

）A． B． C． D．无法比较它们的大小5．如图，A，B是上的点，，C是的中点，若的半径为2，则四边形ACBO的面积为（）A． B．2 C．4 D．6．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（

）A． B． C． D．．7．如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为______．8．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”）9．如图，已知是的直径，弦．(1)求证：弧弧；(2)若弧AC的度数为，求的度数．10．已知AB是⊙O的直径．（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．题组C培优拔尖练1．如图，是的直径，若弧度数是，则的度数是（）A． B． C． D．2．如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（

）A． B． C．3 D．3．下列说法正确的个数有（）①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．如图，⊙是的外接圆，边的垂直平分线与相交于D点，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（）A． B． C．2 D．6．如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③7．如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ADC=______°．8．如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论①AC＝BD；②AM＝BN；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．所有正确结论的序号是___．9．如图，，，，在⊙O上，连接，相