数学奥林匹克高中训练题

数学奥林匹克高中训练题面半径为3r容器的4r.在容器内放6个半径为r且质地相同的小球其中意翻动容器,然后将器直立在桌面上.当第一试选择题(每小6,36分1.给出下列两个数学奥林匹克高中训练题面半径为3r容器的4r.在容器内放6个半径为r且质地相同的小球其中意翻动容器,然后将器直立在桌面上.当第一试选择题(每小6,36分1.给出下列两个命题P:存在函fx)gx及区IfxI上是增函数gxI上也是增函数,但f(g(x))在I上是减函数;Q:存在奇函fxx∈A、偶函数g(x)(x∈B),使得函数f(x)g(x)(x∈A∩B是偶函数球全部停止后,如果有两个颜色相同的小相邻,则甲胜,否则乙胜.那么,甲胜的概率()(A)(B)(C) (D)23)6.有一种特别列车,沿途共有20个车站(包括起点与终点),因安全需,规定在同一车站上车的旅客不能在同一车站下车.为保证上车的旅客都有座位(每位旅客一个(A)PQ都(C)PQ2.△ABC满(B)PQ都(D)QPAB·BC=BC·CA.△ABC是)位),则列车至少要安排)个座位(A)直角三角(C)钝角三角(B)锐角三角(D)等腰三角 填空题(每小9,54分3.设曲fx)=acosx+bsinx321.不等x3+(1- 2)1的解集为ππ对称轴x=5.y=10x的2.如图2,设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD,其中AB=18,CD6.若圆台的高8PQ是下底面与AB个对称点为)(A)π(B)2π5555f(xfx满足:对任何实4.设函f2x+=x.则这样的函数,则异面直线PCDQ所成角的余弦值 ()(A)不存(C)恰有两(B)恰有一(D)有无数3.设等差数列{an}的首项d定a,5.乙两人做下面的游戏:个同轴圆柱组成的有盖容器,如图1,里面的实心圆柱底面半径为r,外面的圆柱面的底 =a ((k-(k-(k-n (k>0)S+⋯+n12(那么, = (用adn表示)f(x)+g(x)=xnPxyxy满xcosαysinα1(那么, = (用adn表示)f(x)+g(x)=xnPxyxy满xcosαysinα1,|x|+|y|那么,当α,P形成的图像的面积为.一个多边形剪一刀(截痕不过多边形边形剪一刀(截痕不过多边形的顶点)又分割形开,要剪出一个三角形,,一剪的最少刀数 第二试一、(50分4ABCDACO,AO=OC,BO>DO.M、NDOBO的中点,OP∥BC,ADP联结PMPN.试问:∠ACB为何值时∠MPO≤∠NPO二、(50分设i2=-1证明n)6.设ai∈12,⋯9}a1>a2>⋯>anA是一个pB是一q位数p<qp+q=n),AB的各位数字的集合的并恰好是{a1,a2,⋯,an}, n-π= - +nn为纯虚数三、(50分X12⋯pp为质数X的一个子集A,如果A中所有元素的和(空集的元素和规定为0p的倍数,AX的一个“倍子集”X-三、(20分)A1B1C1的边长1.试在对角BD1上PQPC1的值最大 四、(20分)如图3,设F是椭 1的一个焦点A是椭圆与F距离最远的,在椭圆的短BC上取互异2008个MiAPiFBFCNi试问:直第一试Pi(i=1,2,⋯,2,FPiAB1.1x12MiNi(=1,2,⋯,2008)将椭圆分割为多fx)=1-x2,g(x)I=(-∞,0)区f(x)在区间(-∞0)上是增函数gx)在区间(-∞,0上也是增函数212xf(gx))11x12(因0),P真fx)=-xx∈R)gx)0x∈Rf(x)g(x)=0(x∈R是偶函数数f(x)g(x),使得对任何x∈R,有真2.AB·BC=样的考察其中任2个2.AB·BC=样的考察其中任2个球不同色的情形]]](AB-CA)·BC=(AB+AC)·BC=0]2AD·BC=AD⊥BC]AB=(13,2号位可BiCi(=12,4种排法.再考4,2号位同色,56号位同,矛盾,4号2号位不,2,,56号位只有唯一排法.,4×2=8种排法.A25,由对称性,同样8种排法A2=4,2号位可BiCi(i3.fx)=acosx+x=a2+b2sin(xf(x)=acosx+bsin7π,0的一个对称点为ππ,0 ,32种排法(排最于是,y=fx的一个对称一种颜色,,5号位2种排,6号 ,05综上所述,甲胜的概率=4πy=则曲x的一个对称点 -3π,06.5π的周期为2π,其对数y=x对于固定的i(1≤i≤j),在第i站上车的旅客中,当列车通过第j站时仍然留在车上的至多有20-j,这是因为同在第i站上车要在不同的车站下车,而后面只有20-j注意i=1,2,⋯j,,列车在第-j12⋯,20j(20j的值分别为19,36,51,64,75,84,91,96,99,100,99,96,91,84,75,64,51,36,19,故列车有100座位就足够了,i1≤i≤1020-i人时,前10个站上车的旅客在后面每个站都分别有一个人下车,于是,当列车从第10站出,10×10=100,这时列100个座位的周期为π,故选(B4.M为集合{x|x1}的任意一个非tx为定义M上的任意一个函数.x-2t(x)≥, 1f(x)Mx都符合条件5.记两个红球为A1A2,两个蓝球B1,两个黄C1C2,在圆周上按逆时方向排列6个位,依次编号12,3,456.则题中的实验等价6个球随机地安6个位,每个位置上一个球,任何个球安排到任何一个位置上的可能性都是综上所述,列车至少要安排100个座位1.{0,93QD. PC·QD而|PC| 127,|令1 =y,则不等式化x2+y2=1,x3+y3 127cosθ=10≤x3+y3综上所述,列车至少要安排100个座位1.{0,93QD. PC·QD而|PC| 127,|令1 =y,则不等式化x2+y2=1,x3+y3 127cosθ=10≤x3+y3-x2=x2(x-1)+y2(y-=(1-y2)(x-1)+(1,cosαcosθ=x2)(y-mm+=-(y2-1)(x-1)-(x2-1)(y-=-(1-x)(1-y)(x+y+2)3.a+n+m-1 n+m-注意1x2+y2≥x2,同理,|y|x|12=a+a++a=C+CdSSnn12nn n= ++⋯+ 111)1±x≥01±y≥0x+y2x+y2=0,x1=y+1=0,=(C+C+⋯+ a12n1222)(C+C+⋯+ 23n满 =1.因此,x+y+2> 23=a+n+1 n+y)于是,不等式化为(1-x)(11x≥01-y≥0故(1-x)(1-y)=0.解得xy)=(1,0)(0,1用数学归纳法可以证明( m+ =a+ n+m-1 n+m-4.8-1xcosαysin经检验x01都是原不等式的解故原不等式的解集为{0≤(x2+y2)(oα+in2)x2+y2=2.1知点P(x,y)形成的图像在 =1外部5设异面直线PCDQ所成角为,向量PC、QD的夹角为θ以下底面中心坐标系.由|x||y|≤2Pxy形成的图像于是,P形成的图像的8π.5.2011014.设共剪了k刀.由于每剪一刀增加一个多边形,从而,共有k1个多边形除一个三角形,一个四边形,一个五边形⋯⋯一个2008边形外,还有(k+1)-2006=k-2个多边形S≥3+4+⋯+2008+3(k-2x轴建立空间直C(3,08)D(-3,08)99 9P. , 9PC, ,22=3k+2011又每剪一刀4条边原多边形有两条边被一分为二,且截痕为两条新增的边),于是,S=4+4k.,44k=S≥3k2011018k≥2011另一方面,先将正方形剪一刀剪成一个三角形和一个五边形,再将其中的五边形剪一刀剪成一个四边形和一个五边形=3k+2011又每剪一刀4条边原多边形有两条边被一分为二,且截痕为两条新增的边),于是,S=4+4k.,44k=S≥3k2011018k≥2011另一方面,先将正方形剪一刀剪成一个三角形和一个五边形,再将其中的五边形剪一刀剪成一个四边形和一个五边形,又将其角形和一个五边形,再将其中的五边形剪一,a1a3·a2a4<a1a4·a2a3由以上讨论可知两个首位排最大与次大的两个数,接下来排两个数的第二位,余下数中最大的(或多出数位的)数排在首位较小的那个数的第二位,次大的排在另一数的第二位,接下来排两个数的第三位,余下数中最大的(或多出数位的)数排在首位较小的那个最大的积 a2a3⋯a2p-1a2p+1a2p+2⋯an·a1a4a6⋯a2pPB=x,∠D1.cosα3,剪出了两个三角形、一个四边形、剪成一个七边形和若干个三角形,以后都=632(1一个三角,t-3刀剪成一个tt=x2+2-22xcos8,9,⋯,2008边形和若干个三角形.共剪545+⋯20052011014刀 6.a2a3⋯a2p-1a2p+1a2p+2⋯an·a1a4a6⋯a2p43x=x2+23ACBDO,MPM先排两个数的首位,必定是一个a1PM=BM=x一个a12 接下来排两个数的第二位(如果都PM3xBM6x话),必定是一个a,a3334不管它们后面各自是否有数,AB”,它们相乘后所在数位比后面的数字相乘所在数位要高x3MOB,2MCMA<MD,M为圆心、MD为半径的圆覆盖了正方形ABCD.从而,覆盖了点Q.MQ≤MD,PQ≤PDPQ2≤PD2=PM2+2a1a3·a2a4a1a4·a2a3a3-a4=ra1a3·a2a4换成a1a3a2a3,则增大r个a1a3进一步换个a2a3a1a4·a2a3则又减少了ra1a3·a2a4a1a4·a2a3r x2.2 33个a1a3-a2a3)2222008),,不妨则(PQ+ 2(PQ+))11,286≤x2++2x2+4 2 333=4x2-163x+3因为x34x2163+823上递减,所以,4x2-163x8≤80,32≤2(PQ+ )PQ+22222008),,不妨则(PQ+ 2(PQ+))11,286≤x2++2x2+4 2 333=4x2-163x+3因为x34x2163+823上递减,所以,4x2-163x8≤80,32≤2(PQ+ )PQ+211ii,由塞瓦定理当且仅x0PQ=PC1,等号AMi·CNi·FO=,PBQD处MiCNiFx>3M在线OD上.由对称设直MNx轴交Qi122,M为圆心、MB为半径的圆覆盖了正ii⋯,2008),△ACF被直QiNiMi,由涅劳斯定理≤ABCD覆盖了点Q于MB因此PQ≤PBPQ2≤PB2=PM2+2,AMi=MiCNiF ii两式相除 . QiF6 x2=x2x3=FA·OF=ac+=12>5=iOA- a-222则(PQ+ 2(PQ+))11MiNii1,2⋯,2008过椭圆≤2x2+2x2+4-83x=4x2-83x+轴延长线上一定点,MiNii1,2⋯,2008将椭圆分割为2008+1=2009块.存在将实数集划分为若干个类,两个数xy属于同一个类当且仅当存在mn∈Z使x-y=m+n2.在每一个类中取定一个,这些元素构成一个集M3383≤ 34x2x+2上递,,4x2-83x4≤83在,3即≤2(PQ+ PQ+)≤2,等号 1当且仅x=3PQPC1对任x∈R,xx0=m2,x0n立Mmn∈Z,mn是唯一的所以PQ+PC122综上所述,PBQD实际,若存m1n1m2n2∈Z,xx0=m1+n12=m2+2则n1-n22=m2-m1PQPC1的值最大,最大值222=m2-若,∈Q,矛盾四、考察任意一点Pi(i=12, n1-所以n1=n2进而m1=m2于是,MF=MO=ME==EFf(n2,g(++m 22]]fxgxR→R上的函,∠OEF=∠EOC=FOP≤≤所以n1=n2进而m1=m2于是,MF=MO=ME==EFf(n2,g(++m 22]]fxgxR→R上的函,∠OEF=∠EOC=FOP≤≤∠EPF ]00f(x)+g(x) +n2 +22OE=EP,EF是公共边则等价于∠OEFOEF+∠PEF=180°则等价于90.∠MPO≤∠NPO首先证:若i2=-1=x下面证明fx)gx是周期函数x-x0=m+n2x0∈Mmn∈Zx1=x0+m1)+n2x+2x0+m+(n+2由定义n-=f(x++n2=f(x)=x-2=i[(x-i)n-(x+i)n]=①g(x++m=g(x)22Px)i[x所以fx)gx都是周期函数i)n-(x+i)n]2Px是一n-1次多项式,其首系数第二试SMNi211[C(-i)-Ci]=联nnxcotkπ(1≤k≤n-1nnn(x+i)= +nnnn= +innkππn= +ink(-=SM∥ADNTMN分别是DOBO的中点所,ST分别AOCO的中点.设直SMNT交于Q,SQOP于点ES是AO的中,EOP的中点.TQ∥OP,OST的中点,得ESQ的中点.于是,联结PQ,则PQ∥AC.OF∥NP,MPF,EF,∠OPN= n= -innn=xi所以,P =n由因式定理n-=P(x)x- nπ中x inn-πn,+=-2m(fxa0+a1x+a2+,amnnπnπf(1)+f(ω)+f(ω2)+⋯+f(ωp-1=-n +得2na0+a1ω=a0+a1+a2⋯+amπnπ +i)=-n+n-πn,+=-2m(fxa0+a1x+a2+,amnnπnπf(1)+f(ω)+f(ω2)+⋯+f(ωp-1=-n +得2na0+a1ω=a0+a1+a2⋯+amπnπ +i)=-n+ a+⋯+a+a2m 2n-1nπnn-ω2=πn+⋯+a0m(p-·n2(p- +p-ω+anππn +in=p(a+a++⋯)=pS 2n-nn= cscx2p又f(x)=(1+x)(1 ⋯(1+ ,f(1)+f(ω)+f(ω2)+⋯+f(ωp-1p-=2p+∑f(ωk)k=其中f(ωk(1ωk1ω2k)⋯