考点01 探索勾股定理及逆定理（原卷版）

考点01探索勾股定理及逆定理知识框架基础知识点：1.1认识勾股定理1)为什么叫勾股定理？勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一。是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢?我可以告诉大家，有毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驴桥定理和埃及三角形等。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。eq\o\ac(○,1)勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。eq\o\ac(○,2)中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作《周髀算经》（公元前1000年左右的西周时期）就有关于勾股定理的记载，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。2）勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：a.仅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，避免出现这样的错误1．（2021·山西石楼中学八年级月考）在中，，，的对应边分别是，，，若，则下列等式中成立的是（）A． B． C． D．2．（2021·成都市八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（）A． B． C． D．3．（2021·江苏八年级期末）如图，等腰中，，，于，且．则__________．4．（2021·云南八年级期末）如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．5．（2021·云南昭通市·八年级期中）在中，若，，则（）A． B． C．或 D．或6．（2021·广东广州市第二中学八年级期中）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（）cm．A．5 B．6 C． D．7．（2021·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．1.2勾股定理的验证据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”的证法。在《九章算术》一书中(约在公元50至100年间)，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（后人也把它称为“赵爽弦图”），用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明(下图)。（证明过程见例1）赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已。1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想2．（2020·河南平舆初二期中）如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为和斜边长为图(2)是以为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个直角梯形.(1)在图(3)处画出拼成的这个图形的示意图；(2)利用(1)画出的图形证明勾股定理.3．（2020·河南伊川初二期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．4．（2021·河北八年级期末）勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．5．（2020·江苏南京初二期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？6．（2021·行唐县实验中学八年级月考）勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．知识点1.3勾股定理的逆定理1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。根据勾股定理b2－x2=c2－（a±x）2将a2+b2=c2代入得±2ax=0∴x=0∴点D与点C重合∴AC⊥CB∴△ABC为直角三角形注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形1．（2021·福建福州市·八年级期中）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶52．（2021·绥德县德群中学八年级期末）某中学、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．（1）求出四边形空地的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．3．（2020·成都市初二期中联考）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元4．（2020·河南内乡初二期末）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离.（结果保留整数）5．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．（1）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．（2）直接写出四边形ABCD的面积（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．6．（2021·南宁市第八中学八年级月考）如图，在一条东西走向的河流一侧有一工厂C，河边原有两个取水点A和B，且AB＝AC．工业园区规划改造后，原道路AC不再使用，现决定在河边新建一个取水点P，并新修一条路CP，测得CB＝6千米，CP＝4.8千米，PB＝3.6千米．（1）CP是否为从工厂C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．7．（2021·湖南八年级期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．知识点1.4勾股数与勾股定理的应用1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数2）常见的勾股数有：=1\*GB3①3，4，5；=2\*GB3②5，12，13；注：这两组勾股数的倍数也是勾股数，如：4,6,8等。在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a21．（2021·湖北八年级期末）下列四组数据中，不是勾股数的是（）A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，412．（2020·海林市朝鲜族中学初二期末）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．3．（2020·浙江柯桥初二期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如，，，等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为，则__________．4．（2021·安阳市第十中学八年级期中）如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端下落了__________米．5．（2021·山东八年级期末）如图，笔直的公路上A、B两点相距22km，C、D为公交公司两停车场，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=6km，DB=16km，现在要在公路的AB段上建一个加油站M，使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离CM=DM，则加油站M应建在离B点多远处？6．（2021·陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．7．（2020·河南南阳22中八年级月考）如图所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（）．A． B． C． D．8．（2021·河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米重难点题型题型1.勾股定理中的面积问题再探究解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题.1．（2021·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（）A．12 B．32 C．64 D．1282．（2021.都江堰起航教育专题）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．3．（2021·北京海淀教师进修学校附属实验学校初二期中）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（）A．+= B． C． D．4．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（）A． B． C． D．5．（2020·浙江省初三学业考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且，则的长为（）图1图2A． B． C． D．6．（2021.广东省八年级期中）如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（）A．36 B．49 C．74 D．81题型2.赵爽弦图求值解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.1．（2020·涡阳县王元中学初二月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2020·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④3．（2021·北京八年级期末）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．4．（2021·湖北八年级期末）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．3 C．4﹣2 D．4＋25．（2021·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（）A．9 B．8 C．7 D．66．（2021.成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．题型3.勾股定理中的最短路线问题解题技巧:解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.1．（2021·江苏八年级月考）将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2021·山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）

A．20 B．24 C．25 D．263．（2020·重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）A． B．28 C．20 D．4．（2021·江苏八年级期中）如图，矩形ABCD中，，，E，F，Q分别是AD和BC、DC的中点，P是EF上的点，则的最小值为________．6．（2020·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm题型4.勾股定理中线段平方关系的证明解题技巧：涉及线段的平方证明题，多是用勾股定理作为工具来证明的。常用作三角形的高、平移、旋转、对称等方法。1．（2021·四川八年级期中）在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的值．2．（2021·成都教科院附属龙泉学校八年级期中）如图1，在中，，，为边上一动点，且不与点点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．（1）若，则°，°．（2）若，小明说一定是45°，你认为正确吗？请说明理由．（3）如图2，过点作于点，的延长线与的延长线交于点，求证：．图13．（2021·安徽八年级期末）如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点P、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P．（1）证明：ACP≌ABF；（2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由．4．（2021·广东九年级期末）如图1，在中，，，是边上的两点，且满足．以点为旋转中心，将按逆时针旋转，得到△（点与点重合，点到点处）连接．（1）求证：；（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2＋EC2.5．（2020·浙江八年级期中）如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．（1）证明；（2）猜想之间的数量关系，并证明；（3）如图2，若，点F是的中点，求的长．题型5.勾股定理的应用（方程思想）解题技巧：在直角三角形中，“知二可推一”，若图形中有较多边的长度不知道，可以利用方程思想，设某些边为未知数，再利用勾股定理列写等式方程，将求解边长转化为解方程。=1\*GB3①若两直角三角形有公共边，可利用公共边列写勾股定理的等式方程。具体如下：△ABD与△ACD都是直角三角形，且有公共边AD，则：AB=2\*GB3②若无公共边或公共边难以利用时，可以设2个未知数，根据两个直角三角形，列写2个等式方程，然后求解不等式组。1．（2021·江苏.八年级期中）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A． B．C． D．2．（2021·苏州市南环实验中学校九年级二模）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动____________秒时，△ACP是直角三角形3．（2021·安徽八年级期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”4．（2021·河南八年级期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（）米．A．5 B．12 C．13 D．175．（2021·江西八年级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点，．（1）求的长度；（2）求的长．6．（2021·安徽八年级期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．题型6.三角形和矩形中的翻折、旋转问题解题技巧：勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。1．（2021·江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．2．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为____．3．（2021·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．4．（2021·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．5．（2021·四川八年级期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝9.折叠△ACB，使点A与BC的中点D重合，折痕交AB于E，交AC于点F，则CF＝___．6．（2021·沭阳县修远中学八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．题型7.勾股数有关问题解题技巧：常见勾股数有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股数组规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）21．（2021·湖北）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…根据规律写出第⑥个等式为______________．2．（2021·南宁市第八中学八年级月考）可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___．3．（2021·安徽八年级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：n23456....a4581012.....b38152435.....c510172637......请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝，b＝，c＝；（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝，b＝，c＝；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．4．（2021·福建省福州一中贵安学校初二期中）大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x2+y2＝z2的方程．（1）请写出方程x2+y2＝z2的两组正整数解：．（2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇数），那么，以a，b，c为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证．5．（2020·山西初三一模）阅读下列内容，并解决问题．一道习题引发的思考小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究；习题再现：古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？资料搜集：定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数．关于勾股数的研究：我囯西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数是世界上最早发现的一组勾股效，毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究．习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数，世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九幸算术），其勾股数公式为：，，，其中，，是互质的奇数．（注：，，的相同倍数组成的一组数也是勾股数）问题解答：（1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数；（2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数；（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．6．（2021·景县第二中学）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．（探究1）（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则___也是一组勾股数；（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___．（探究2）观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股____；弦____；（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___；弦___；（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．_；请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_；和弦的长__．题型8.利用勾股定理逆定理判断三角形的形状解题技巧：若三角形的三边长满足勾股定理的逆定理，则可以判断三角形是直角三角形。注意，若边长是用式子表示的，也同样可以用勾股定理的逆定理来判断。1．（2021·湖南八年级期末）在△ABC中，已知AB＝5，AC＝12，BC＝13，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．（2021·安徽合肥38中八年级期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形3．（2021·合肥市第四十五中学八年级期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．4．（2021·浙江）阅读下列内容：设是一个三角形的三条边的长，且c是最长边，则利用a，b，c三边间的关系可判断这个三角形的形状；①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如一个三角形的三边长分别为4，5，6，则最大边为6，由于c2，故由上面③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别为3、4、6，试说明这个三角形的形状；（2）若一个三角形的三边长分别为5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值；（3）若一个三角形的三边长分别为（m＞n，m、n是正整数），请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．5．（2021·江苏八年级期末）在四边形中，已知，，，．（1）连接，试判断的形状，并说明理由；（2）求的度数6．（2021·南靖县城关中学八年级月考）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形常态三角形（填“是”或“不是”）；（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为（请按从小到大排列）；（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．题型9.利用勾股定理逆定理构造或证明直角解题技巧：证垂直，我们已学习过多种方法。用勾股定理的逆定理证垂直，可实现数到形的转化。解题技巧：与勾股定理中的构造直角三角形思路类似，当图形中出现线段长符合勾股数时，可以通过作辅助线将条件集中到一个三角形中，利用勾股定理的逆定理，构造出直角三角形。1．（2021·江苏九年级其他模拟）如图，已知ABC．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使AD+BD=AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若DC=3，AD=5，AB=4．求证：AB⊥BD．2．（2021·山东八年级期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．①__度；（答案直接填写在横线上）②___﹔（答案直接填写在横线上）;③求的度数．（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．3．（2021·河南省实验中学）阅读下列材料并完成相应的任务：工人师傅有一块不规则的模板，他已经在模板上画出了一条裁割线AB，现根据木板的情况，需要通过AB上一点C，做AB的垂线，进行裁割，但手头没有直角尺，怎么办呢？方法一：取卷尺在AB上量出CD＝30cm，然而分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE＝90°；方法二：在绳子EF上割取任意长度a，一端记点P，另一端记为点Q，将P点与C点重合，按如图位置摆放，然后以Q为圆心，PQ的长为半径画弧，交AB于点R，连接RQ，并延长到点M使得QM＝QR，连接CM，则∠MCR＝90°．任务：（1）方法一依据的数学原理是．（2）利用方法2，证明∠MCR＝90°；（3）不用直角尺，你还有什么方法做出垂线吗？尺规作图：请在木板上，过点C作出AB的垂线L（保留作图痕迹，不写作法）．4．（2021·湖南娄底市·八年级期末）如图，一块四边形的土地，其中．（1）试说明（2）求这块土地的面积．5．（2021·湖南长沙市·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为．（1）求四边形的面积；（2）证明：．6．（2021·江苏八年级期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．已知、、都是格点．（1）小明发现是直角，请补全他的思路；小明的思路先利用勾股定理求出的三条边长，可得，_______，_______．从而可得、、之间的数量关系是_____________________，根据____________________________，可得是直角．（2）请用一种不同于小明的方法说明是直角．题型10网络作图解题技巧：网格中，根据勾股定理，可求解出三角形或四边形的长度，然后根据长度判断多边形是否是特殊图形。1．（2021·西安市黄河中学八年级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（）

A．AB B．BC C．CD D．AD2．（2021·全国八年级专题练习）问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积；思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．3．（2021·贵州黔南布依族苗族自治州·八年级期末）埃及人曾用下面的方法得到直角，如图1，他们用13个等距的结将一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．（1）你能说说其中的道理吗？（可设相邻两个结点之间的距离为a）（2）仿照上面的方法用31个等距的结将一根绳子分成等长的30段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第31个结，两个助手分别握住第6个结和第18个结，拉紧绳子，将得到一个直角三角形其直角在第6个结处，请你在图2中，画出示意图即可．4．（2021·广东）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形；（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形；（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段；（4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形．5．（2020·江苏八年级期末）在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，我们把三个顶点都是格点的三角形称为格点三角形．按要求完成下列问题：（1）在图①中，以AB为边画一个格点三角形，使其为等腰三角形；（2）在图②中，以AB为边画一个格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋3；（3）如图③，若以AB为边的格点三角形的面积为3，则这个三角形的周长为．6．（2021·河北七年级期末）如图1,已知的三个顶点均在单位,长度为1的正方形网格中的格点上,请你按照要求完成以下问题:（1）请直接写出图中的面积为______;（2）动手操作与画图:请你根据所学全等与轴对称知识,在图2,图3,图4,图5的网格内完成以下设计轴对称图形的任务,要求如下:画出的三角形要与全等,且它们的顶点都在格点上;画出的三角形与关于某条直线成轴对称图形．题型11台风（噪音）问题1．（2021·山东省平邑县第一中学八年级月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．2．（2021·河南周口市·八年级期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？3．（2021·辽宁八年级期末）今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A，台风中心O正以每小时的速度向北偏西60°的方向移动，经监测得知台风中心的范围内将会受台风影响，．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由；若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．4．（2021·广西八年级期中）去年某省将地处，两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便，两地师生的交往，学校准备在相距的，两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段），经测量，在地的北偏东60度方向、地的西偏北45度方向处有一个半径为的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（参考数据）5．（2020·江苏八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．6．（2021·甘肃省庆阳市第五中学八年级期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每秒22米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）．题型11网格作图等问题1．（2020·山东邹城初二期末）如图，在正方形网格中，每一个小方格的顶点叫做格点．(1)在图1中的正方形网格中，取A，B，C三个格点，连接AB，BC，CA，得到△ABC，求证：△ABC为直角三角形；

(2)按下列要求画图：在图2和图3的两个正方形网格中，分别取三个格点，连结这三个格点，使之构成直角三角形，且图1、图2、图3中的三个三角形互不全等．2．（2020·浙江温岭）如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点（1）AB2＝．BC2＝．AC2＝．（2）∠ABC＝°（3）在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P2……表示）3．（2021·陕西九年级）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（）A．1 B．2 C． D．4．（2021·安徽八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为是网格上的格点三角形，则它的边上的高等于_______．5．（2020·北京八中初二期中）如图，每个小正方形的边长都是1.均在网格的格点上.（1）直接写出四边形的面积与、的长度；（2）是直角吗？请说出你的判断理由.（3）找到一个格点，并画出四边形，使得其面积与四边形的面积相等.解：（1）___________；___________；___________.（2）判断___________（填“是”或“否”）理由_____________________________________;（3）在图中画出一个满足条件的四边形.6．（2020·山西初二期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接，则________．题型12.勾股定理综合问题解题技巧：当问题的条件中出现勾股数（或不完勾股数，如：3，4；8，10等），或者结论中有垂直要求时，可考虑选取或构造直角三角形，运用勾股定理的逆定理求解。1．（2021·山东滨州市·八年级期末）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国