专题02两条直线的位置关系（解析版）

专题02两条直线的位置关系TOC\o"1-3"\h\u题型1两条直线的位置关系 ②当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．【例题1-3】经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()A．6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0【解析】选A.因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，直线3x－2y＋5＝0的斜率为eq\f(3,2)，所以所求直线l的方程为y＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化为一般式，得6x－4y－3＝0.【变式1-3】1.过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________．【解析】设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.【答案】2x＋3y＋10＝0【变式1-3】2．过点A2,1且与直线lA．x−2y=0 B．2x+y【答案】A【分析】由题意，设所求直线为2x【详解】因为所求直线与直线l平行，所以设所求直线方程为：2x又所求直线过点A2,1，代入可得2×2−4×1+m=0所以所求直线为2x−4y故选：A【变式1-3】3.经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________．【解析】因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.【答案】x－2y＝0【变式1-3】4．过点P4,−2且与直线3【答案】4【分析】根据两直线垂直斜率的关系可得所求直线的斜率为−4【详解】由题设，与直线3x−4y+6=0垂直的直线斜率为所以y+2=−43故答案为:4x【变式1-3】5．已知直线l经过点P−2,5，Q(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.【答案】(1)3x+4y−14=0【分析】（1）利用直线方程的两点式.（2）利用待定系数法求直线方程.（1）由直线方程的两点式，得y−52−5=（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x由平行直线间距离公式得C+1432+4∴直线m的方程为3x+4y题型2两条直线的交点与距离问题【方法总结】1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式解题的注意点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．◆类型1过定点问题【例题2-1】对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定点的坐标为()A．(9，－4)B.(－9，－4)C．(9，4)D.(－9，4)【解析】(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，故此直线过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,－x－y＋5＝0))得定点的坐标为(9，－4)．【变式2-1】1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y＋3－m＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．【解析】动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，动直线mx－y＋3－m＝0过定点B(1,3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y＋3－m＝0垂直，即|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.当m＝0时，直线x＝0与y＝3垂直，也满足|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.∴|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq\f(|AB|2,2)＝eq\f(12＋32,2)＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.【答案】5【变式2-1】2．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．【解析】由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×eq\f(1,2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝eq\f(1,8).【答案】eq\f(1,8)【变式2-1】3．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq\r(2).证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))故直线经过的定点为M(2，－2)．(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq\r(2)，∴|PQ|<4eq\r(2)，故所证成立．◆类型2两条直线相交问题【例题2-2】已知两直线l1:x−2y+4=0，l2:4x【答案】−1或83或【分析】分别讨论l3∥l1或l3∥l【详解】由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时：②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时：③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时：联立l1与l2所以l1与l2过点−2,1，将−2,1代入l3得：a综上：当a=−1或83或−2时，不能构成三角形.故答案为：−1或83【变式2-2】1．若三条直线l1：4x+y−4=0，l2：【答案】1,−【分析】由于所给三条直线中两条直线相交，分三条直线交于一点，两条直线平行，两种情况讨论即可.【详解】当三条直线交于一点时不能围成三角形：由4x+y−4=02x+由A在l3上可得2×2−3m×因为l1与l当l1//l3时，24=−3m1显然l1,l2与l3∴实数m的取值集合是1,−16,−【变式2-2】2.已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．【解析】法一：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))故P点坐标为(0,2)，因为直线l与3x－4y＋5＝0垂直，所以直线l的方程为y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.法二：设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.【变式2-2】3．曲线y=x与A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点【答案】A【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可【详解】联立两条直线方程得：y=|x|y=kx+1得到|x|=kx+1，两边平方得：k2－1x2【变式2-2】4．(2021·烟台调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是()A．－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)【解析】选A由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立，解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋1，1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－6,k－1)，\f(－6k＋1,k－1)))，又因为MN的中点是P(1，－1)，由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2,k)＋1＋\f(k－6,k－1),2)＝1，,\f(1＋\f(－6k＋1,k－1),2)＝－1，))解得k＝－eq\f(2,3).【变式2-2】5.求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．【解析】设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，由点A(－3,1)，B(5,7)到所求直线等距离，可得eq\f(|2＋7λ×－3＋7－21λ×1－4－λ|,\r(2＋7λ2＋7－21λ2))＝eq\f(|2＋7λ×5＋7－21λ×7－4－λ|,\r(2＋7λ2＋7－21λ2))，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝eq\f(29,35)或λ＝eq\f(1,3)，所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.【变式2-2】6．(多选)若两条直线A1x+B1①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的有（

）A．① B．② C．③ D．以上都不正确【答案】ABC【分析】根据两直线交点即方程组的解，则方程组的解的个数即两直线的交点个数，可以判断每个选项.【详解】对于①，若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行，故①正确；对于②，若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交，故②正确；对于③，若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合，故③正确.故选：ABC【变式2-2】7．若直线m被两平行线l1：x−y+1=0与l2A．π12 B．π6 C．π4【答案】A【分析】可设直线m的方程为y=kx，根据题设条件可得关于【详解】因为平行直线截l1、l2的线段总是相等，故可设直线m过原点.若直线m的斜率不存在，此时直线m的方程为：x=0，此时直线m截l1、l2的线段长为3−1=2，不合题意.若直线m的斜率存在，设直线m的方程为y=kxk≠1故直线m截l1、l2的线段长为1+k因为tanπ12=tan【变式2-2】8．我们把横、纵坐标均为整数的点叫做“格点”，且把顶点都是格点的凸多边形称做“格点多边形”，已知“格点多边形”的面积公式为S=12m+n−1【答案】

6

6【分析】根据题意画出图形，由图形可求出m,n，从而可求出【详解】直线l1由2x+y−8=0x+2y−4=0，得x=4由x−y+2=0x+2y−4=0所以格点三角形边上的格点数m=6，三角形内部的格点有(1,2),(2,2),(3,1),(2,3)，共4个，即n所以S=◆类型3点到直线距离问题【例题2-3】已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．【解析】(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以eq\f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，解得λ＝eq\f(1,2)或λ＝2.所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．所以dmax＝|PA|＝eq\r(10).【变式2-3】1．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2【解析】选B法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1)).当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k>0且k＋eq\f(1,k)最小，∴当k＝1时，dmax＝eq\r(2)，故选B.法二：设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l过定点B(－1,0)，知当AB⊥l时，距离最大，最大值为eq\r(2).【变式2-3】2．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则eq\r(（m－1）2＋（n＋2）2)的最小值为________．【解析】因为点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，所以eq\r(（m－1）2＋（n＋2）2)的最小值为点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，即最小值为d＝eq\f(|2－2＋5|,\r(22＋12))＝eq\r(5).所以eq\r(（m－1）2＋（n＋2）2)的最小值为eq\r(5).【答案】eq\r(5)【变式2-3】3．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是()A．[－10,10]B．[－10,5]C．[－5,5]D．[0,10]【解析】选D由题意得，点P到直线的距离为eq\f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq\f(|15－3a|,5).又eq\f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．【变式2-3】4．(2022·亳州市质量检测)若动点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))分别在直线x＋y＋7＝0与直线x＋y＋5＝0上移动，则MN的中点P到原点距离的最小值为()A．2eq\r(3)B.3eq\r(3)C.3eq\r(2)D.2eq\r(2)【解析】选C.由题意知，MN的中点P的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为x＋y＋6＝0，所以P到原点的距离的最小值为d＝eq\f(6,\r(12＋12))＝3eq\r(2).【变式2-3】5．已知平面上三点坐标为A2,−1、B0,2、C1,0，小明在点BA．−38,118 B．−5【答案】C【分析】设小狗的位置为点P，当BP⊥AC时，小狗距离小明最近，求出直线AC、【详解】因为kAC=−12−1=−1，所以，直线AC设小狗的位置为点P，当BP⊥AC时，小狗距离小明最近，此时直线BP的方程为y=x+2，联立y◆类型4两条平行线之间的距离问题【例题2-4】(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为()A．2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0【解析】选BD.设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，因为eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.【变式2-4】1.直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________．【解析】法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq\f(1,3)，∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq\f(1,3)，直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.【变式2-4】2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．【解析】因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以两条直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10).【答案】eq\f(29,10)【变式2-4】3．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是__________．【解析】当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以两平行直线的斜率k＝－eq\f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.【答案】x＋2y－3＝0题型3对称问题◆类型1点关于点的对称问题【方法总结】若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．【例题3-1】求点A（1，3）关于直线：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.【解析】直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为（x，y），则AA′的中点B的坐标为由题意可知，，解得.故所求点A′的坐标为【变式3-1】过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．【解析】设直线l1与直线l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.【答案】x＋4y－4＝0◆类型2点关于直线的对称问题【方法总结】1．若点A(a，b)与点B(m，n)关于直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称，则直线Ax＋By＋C＝0垂直平分线段AB，即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))2．几个常用结论(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．【例题3-2】已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是()A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0【解析】选B由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为kAB＝eq\f(5＋3,－2－4)＝－eq\f(4,3)，所以直线l的斜率为eq\f(3,4)，因此直线l的方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故选B.【变式3-2】1.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．【解析】设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))即M′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.【答案】6x－y－6＝0【变式3-2】2.如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3eq\r(3)B.6C.2eq\r(10)D.2eq\r(5)【解析】选C.直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).【变式3-2】3.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为()A．2B．1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)【解析】选D以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0<t<4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4，4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝eq\f(4－t,4＋t)·(x＋t)，设△ABC的重心为G，易知Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).因为重心Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光线RQ上，所以有eq\f(4,3)＝eq\f(4－t,4＋t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋t))，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝eq\f(4,3)，因为0<t<4，所以t＝eq\f(4,3)，即|AP|＝eq\f(4,3)，故选D.◆类型3直线关于点的对称问题【方法总结】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．【例题3-3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．【解析】在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，所以直线m的方程为eq\f(y＋11,－5＋11)＝eq\f(x＋12,－3＋12)，即2x－3y－9＝0.【答案】2x－3y－9＝0【变式3-3】1．(2022·山东省精英对抗赛)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为()A．2x＋3y－12＝0 B.2x＋3y＋12＝0C．2x－3y＋12＝0 D.2x－3y－12＝0【解析】选B.由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以N(－3，1)．设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)．则eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)．所以所求直线方程为2x＋3y＋12＝0，故选B.【变式3-3】2．若直线l1：y=kx+4与直线l2关于点M1,2对称，则当l2【答案】5【分析】先找到直线l1上的定点，然后求出定点关于点M的对称点，再利用直线l2经过两点，求出直线【详解】因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4)，所以P(0,4)关于点M(1,2)对称，所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0)，此时(2,0)和N(0,−1)都在直线l2故答案为：5．【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法：先定式（一般式、点斜式、截距式、两点式、斜截式），后定量（求待定系数）.【变式3-3】3．已知点A(3,2)，直线l：2（1）求直线l关于点A对称的直线方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的重心坐标.【答案】（1）2x+y【分析】（1）设Px,y为所求直线上一点，其关于点A(3,2)对称的点为P′x0（2）记直线l与x轴交点为A，与y轴交点为B，先分别求出其坐标，再得到AB中点坐标，根据重心的性质，即可得出结果.【详解】（1）设Px,y为所求直线上一点，其关于点A(3,2)对称的点为则x+x02=3y+整理得2x+y（2）记直线l与x轴交点为A，与y轴交点为B，由2x+y+1=0，令x=0得y=−1，即B0,−1；令y=0得x=−12，即A−12,0，又原点为O0,0，记AB中点为C，则C−【点睛】本题主要考查求直线关于点对称的直线方程，考查求三角形重心的坐标，属于常考题型.【变式3-3】4．已知直线l经过直线3x+4y−2=0与直线2x（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）属于点斜式求直线的方程，先求交点即直线l经过的点，再根据l与直线x−2y−1=0垂直求得直线l的斜率k【详解】(1)由3x+4y−2=02x+y+2=0解得x=−2y=2由于点P的坐标是(−2,2)又因为直线故直线l的方程为：y−2=−2(x+2)(2)又直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，所求直线方程为x1+y◆类型4直线关于直线的对称问题【方法总结】求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．【例题3-4】已知直线l1:x−y+3=0，直线l:【答案】x−【分析】由于两条直线平行，所以可设l2:x−y【详解】由题意知l1//l2，设直线l2设点M关于直线l的对称点为M'则b−3a×1=−1a+0将M'4,−1代入l2所以直线l2的方程为x故答案为：x【变式3-4】1.已知直线l:x−y−1=0（1）求直线l1关于直线l的对称直线l（2）求直线l2关于直线l的对称直线l【答案】（1）x−y−5=0【分析】（1）由于l1//l，所以l1′//l，可设l1′的方程为x−y（2）l2与l的交点坐标为A(0,−1)也在l2′上，另取l2上不同于A的一点B(1,1)，求出【详解】（1）因为l1//l，所以l1′//l．设直线l在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a即点M′的坐标为(4,−1)．把点M′的坐标代入直线l1′的方程，得所以直线l1′的方程为（2）由{2x−y−1=0x−y−1=0，得{x=0y=−1，所以l2与l的交点坐标为A(0,−1)．另取l2上不同于A的一点B(1,1)，设B(1,1)关于l的对称点为B′【变式3-4】2．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是()A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0【解析】选A在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A.【变式3-4】3．已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为()A．bx＋ay－c＝0 B.ay－bx－c＝0C．ay＋bx＋c＝0 D.ay－bx＋c＝0【解析】选A.在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程．直线ax＋by＋c＝0关于直线x＋y＝0对称的直线l′的方程是a(－y)＋b(－x)＋c＝0，即bx＋ay－c＝0.【变式3-4】4.直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程为________．【解析】法一：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得直线l1与直线l的交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(8,3))).在直线l1上取一点B(2,0)，设点B关于直线l的对称点为C(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2)－\f(y,2)＋2＝0，,\f(y,x－2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝4，))即C(－2,4)．又直线l2过Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(8,3)))和C(－2,4)两点，故由两点式得直线l2的方程为eq\f(y－4,\f(8,3)－4)＝eq\f(x＋2,\f(2,3)＋2)，即x＋2y－6＝0.法二：设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，则线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))，直线MN的斜率为eq\f(y－y0,x－x0).由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,\f(y－y0,x－x0)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2.))因为M(x0，y0)在直线l1上，所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0，所以直线l2的方程为x＋2y－6＝0.【答案】x＋2y－6＝0◆类型5和差距离问题【例题3-5】已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；(2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．【解析】(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)＝－\f(1,3)，,3·\f(a＋2,2)－\f(b＋0,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))所以C′(－1,1)．所以直线AC′的方程为y＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝1，,3x－y－1＝0))得直线AC′与直线l的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，此时|AP|＋|CP|取最小值．如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－4,m－0)＝－\f(1,3)，,3·\f(m＋0,2)－\f(4＋n,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝3，))所以B′(3,3)．所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0))得直线AB′与直线l的交点为Q(2,5)，此时|AQ|－|BQ|取最大值．【变式3-5】1．直线l:x−2y−8=0和A【答案】2,−3【分析】如图，作出点A关于直线l的对称点