新高考数学一轮复习10.5 抛物线（精练）（基础版）（解析版）

10.5抛物线（精练）（基础版）题组一题组一抛物线的定义及运用1．（2022·云南）已知抛物线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0到该抛物线焦点SKIPIF1<0的距离为2，则SKIPIF1<0（

）A．1B．2C．4D．6【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，可得其焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0到该抛物线焦点SKIPIF1<0的距离为2，所以点SKIPIF1<0到抛物线准线的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C.2．（2022·云南·罗平县）若抛物线SKIPIF1<0上的一点SKIPIF1<0到它的焦点的距离为8，则SKIPIF1<0（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】D【解析】由题意，抛物线SKIPIF1<0上的一点SKIPIF1<0到它的焦点的距离为8，根据抛物线的定义，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.3．（2022·安徽·高三开学考试）设抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离是1，则点SKIPIF1<0到该抛物线焦点的距离是（

）A．3 B．4 C．7 D．13【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，则准线方程为SKIPIF1<0，依题意，点SKIPIF1<0到该抛物线焦点的距离等于点SKIPIF1<0到其准线SKIPIF1<0的距离，即SKIPIF1<0.故选:B.4．（2022·全国·课时练习）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点SKIPIF1<0处，已知卫星接收天线的口径（直径）为SKIPIF1<0，深度为SKIPIF1<0，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设轴截面所在的抛物线的标准方程为SKIPIF1<0，由已知条件，得点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求焦点坐标为SKIPIF1<0，因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为SKIPIF1<0．故选：B5．（2022·河南平顶山）已知抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为该抛物线上一点，B为圆SKIPIF1<0上的一个动点，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】3【解析】由题意得：SKIPIF1<0,抛物线SKIPIF1<0焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当A,F,C三点共线时取等号，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：36．（2022·全国·课时练习）已知点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上的一个动点，设点SKIPIF1<0到抛物线的准线的距离为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0作抛物线准线的垂线，垂足为点SKIPIF1<0，由抛物线的定义可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与抛物线的交点时，等号成立，因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.7．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线SKIPIF1<0上任意一点，F为抛物线的焦点，SKIPIF1<0为平面内一定点，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】5【解析】由题意，抛物线的准线为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0向准线作垂线，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0共线时，和最小；过点SKIPIF1<0向准线作垂线，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以最小值为5.故答案为：5.题组二题组二抛物线的标准方程1．（2022·云南）一个正三角形的两个顶点在抛物线SKIPIF1<0上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为SKIPIF1<0，则该抛物线的标准方程为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】设正三角形边长为x．由三角形的面积公式：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．由抛物线的对称性，可知正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当SKIPIF1<0时，三角形的一个顶点坐标为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，三角形的一个顶点坐标为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0.所以抛物线的标准方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<02．（2021·海南）已知抛物线的准线方程是SKIPIF1<0，则抛物线的标准方程是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意，设抛物线的标准方程为SKIPIF1<0，准线方程是SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0抛物线的准线方程为SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即所求抛物线的标准方程为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<03．（2021·北京二中）已知抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则其准线方程为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．4．（2022·福建泉州）已知抛物线SKIPIF1<0上有一点SKIPIF1<0与焦点之间的距离为3，则SKIPIF1<0___________.【答案】2【解析】由题意可得：准线为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故答案为：2．5．（2022·湖南）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0到准线的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则抛物线SKIPIF1<0的方程为____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意可得SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．（2022·全国·单元测试）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．【答案】SKIPIF1<0【解析】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为抛物线过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以抛物线的焦点到准线的距离为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<07．（2022·黑龙江）设抛物线SKIPIF1<0的顶点在坐标原点，焦点SKIPIF1<0在坐标轴上，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，若以线段SKIPIF1<0为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线SKIPIF1<0的方程为______．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】由题意，若抛物线的焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴上，则可设抛物线方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由焦半径公式可知SKIPIF1<0，圆的半径为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，并且线段SKIPIF1<0中点的纵坐标是SKIPIF1<0，所以以线段SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0轴相切，切点坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，代入抛物线方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴上时，抛物线方程是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.同理，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴负半轴时，抛物线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当点F在SKIPIF1<0轴正半轴时，抛物线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴负半轴时，抛物线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）.8．（2022·福建）根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点SKIPIF1<0；(2)焦点为直线SKIPIF1<0与坐标轴的交点．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】（1）当抛物线的标准方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，将点SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，即所求抛物线的标准方程为SKIPIF1<0；当抛物线的标准方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，将点SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，即所求抛物线的标准方程为SKIPIF1<0．综上，抛物线的标准方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以抛物线的焦点坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当焦点为SKIPIF1<0时，抛物线的标准方程为SKIPIF1<0．当焦点为SKIPIF1<0时，抛物线的标准方程为SKIPIF1<0．综上，抛物线的标准方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．题组三题组三直线与抛物线的位置关系1（2022·陕西渭南·）已知抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有且仅有一个交点，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．2 C．0或4 D．8【答案】C【解析】联立SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，交点为SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上可知：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：C2．（2022·贵州黔东南）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交抛物线C：SKIPIF1<0于不同的两点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．16 B．32 C．64 D．56【答案】B【解析】易知直线SKIPIF1<0斜率存在，设SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0联立方程SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：B.3．（2022·四川自贡）过点SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【答案】C【解析】由已知，可得①当直线过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴平行时，方程为SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0只有一个公共点；②当直线斜率不存在时，方程为SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0只有一个公共点；③当直线斜率存在时，设直线方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直线方程SKIPIF1<0.所以存在3条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足过点SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个公共点.故选：C.4．（2022·上海徐汇）已知直线l过点SKIPIF1<0，且与抛物线SKIPIF1<0有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（

）条A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】当直线SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴（即抛物线的）时，直线SKIPIF1<0与抛物线只有一个公共点，直线SKIPIF1<0与抛物线的轴不平行时，由于SKIPIF1<0在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条．综上，符合要求的直线SKIPIF1<0有3条．故选：D．5．（2022·哈尔滨）已知抛物线C的方程为SKIPIF1<0，直线l过定点SKIPIF1<0，若抛物线C与直线l只有一个公共点，求直线l的方程．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的斜率为k．当SKIPIF1<0时，直线l的方程为SKIPIF1<0，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；当SKIPIF1<0时，设直线l的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为抛物线C与直线l只有一个公共点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．综上，直线l的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．题组四题组四弦长1．（2022·河南·高三开学考试（文））过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的横坐标为2，则线段SKIPIF1<0的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】设点SKIPIF1<0的横坐标分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由过抛物线的焦点的弦长公式知：SKIPIF1<0.故选：C2（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0（

）A．6 B．8 C．2 D．4【答案】B【解析】因为抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0过抛物线SKIPIF1<0的焦点F，所以SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）斜率为SKIPIF1<0的直线过抛物线SKIPIF1<0的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形SKIPIF1<0的面积是（O为坐标原点）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，则斜率为SKIPIF1<0的直线方程为：SKIPIF1<0，与抛物线方程联立得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，点O到直线AB的距离为SKIPIF1<0，所以△AOB的面积为SKIPIF1<0故选：B4．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛物线SKIPIF1<