新高考数学一轮复习讲练测专题3.5指数与指数函数（练）解析版

专题3.5指数与指数函数练基础练基础1．（2021·山东）设全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】利用指数函数的性质求解集合B，再求集合的补集，交集即可.【详解】由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：B.2.（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数且过定点（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，所以函数且过定点．3．（2021·江西高三二模（文））下列函数中，在SKIPIF1<0上单调递增的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】利用二次函数的性质判定A；利用分段函数的图象可以判定B；根据幂函数和对数函数的性质判定C,D．【详解】A中，SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称，开口向下的抛物线，在SKIPIF1<0上单调递减，故Ａ不对；B中，SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故排除B；C中，由幂函数的性质可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故C正确；D中，根据指数函数的性质可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故排除D；故选：C．4．（2020·浙江高三月考）当SKIPIF1<0时，“函数SKIPIF1<0的值恒小于1”的一个充分不必要条件是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由指数函数的图象与性质可得原命题等价于SKIPIF1<0，再由充分不必要条件的概念即可得解.【详解】若当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的值恒小于1，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的值恒小于1的一个充分不必要条件是SKIPIF1<0.故选：D.5．（2019·浙江高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0的图象如图所示，则函数SKIPIF1<0的图象是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由二次函数的图象确定SKIPIF1<0的取值范围，然后可确定SKIPIF1<0的图象．【详解】由函数的图象可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.6．（2021·浙江高三专题练习）不等式SKIPIF1<0的解集是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根据题意得SKIPIF1<0，再解绝对值不等式即可得答案.【详解】解：由指数函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.7．（2021·浙江高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）的图象恒过定点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在幂函数SKIPIF1<0的图象上，则幂函数SKIPIF1<0的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由指数函数性质求得定点坐标，由定点求得幂函数解析式，确定图象．【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即定点为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，图象为B．故选：B．8．（2021·山东高三三模）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系正确的为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0指数函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B.9．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数SKIPIF1<0的图象可能为（）A．B．

C． D．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给SKIPIF1<0赋值，判断选项.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，图象A满足；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，此时函数是偶函数，关于SKIPIF1<0轴对称，图象B满足；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故C不成立.故选：ABD10．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知SKIPIF1<0（k为常数），那么函数SKIPIF1<0的图象不可能是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且单调递增，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故选项C正确，D错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且单调递增，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故选项B正确，A错误.故选:AD．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数SKIPIF1<0，若对于任意一个正数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上都有解，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由不等式可知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，结合图象，分析可得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不能满足SKIPIF1<0都有解；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，如图，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，只需满足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，满足条件.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，满足条件.故选：A2．（2021·安徽芜湖市·高三二模（理））函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.若对任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】首先根据函数是偶函数，求出函数的解析式，结合不等式的关系进行转化，利用单调性转化为不等式恒成立问题即可求解.【详解】∵SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时为增函数，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：A.3．（2021·辽宁沈阳市·高三三模）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0是单调增函数，所以比较a，b，c的大小，只需比较当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的大小即可.用特殊值法，取SKIPIF1<0，容易知SKIPIF1<0，再对其均平方得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：B.4．（2021·江苏苏州市·高三其他模拟）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为SKIPIF1<0(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（）参考数据：SKIPIF1<0.参考时间轴：A．战国 B．汉 C．唐 D．宋【答案】B【解析】根据“半衰期”得SKIPIF1<0，进而解方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，进而可推算其所处朝代.【详解】由题可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，解方程SKIPIF1<0，两边取以SKIPIF1<0为底的对数得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以可推断该文物属于汉朝.故选：B5．（2021·河南高三月考（理））设实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．无法比较【答案】A【解析】从选项A或C出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；即有SKIPIF1<0与假设SKIPIF1<0矛盾，所以SKIPIF1<0，故选：A6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数SKIPIF1<0，则下述正确的有（）A．SKIPIF1<0在R上单调递增 B．SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称 D．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称【答案】AC【解析】A.由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的单调性判断；B.取SKIPIF1<0判断；C.D.判断SKIPIF1<0是否等于零即可.【详解】因为SKIPIF1<0是定义在R上的增函数，SKIPIF1<0是定义在R上的减函数，所以SKIPIF1<0在R上单调递增，故A正确；因为SKIPIF1<0，故B错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，故C正确，D错误．故选：AC．7．【多选题】（2020·山东省青岛第十六中学高三月考）已知函数SKIPIF1<0，则下列正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0【答案】BD【解析】对选项A，根据计算SKIPIF1<0，即可判断A错误，对选项B，根据计算SKIPIF1<0，即可判断B正确；对选项C，根据计算SKIPIF1<0，即可判断C错误，对选项D，分别求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值域即可得到答案.【详解】对选项A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A错误；对选项B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确.对选项C，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C错误；对选项D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，是周期为SKIPIF1<0的函数，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，综上，函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故D正确.故选：BD8．【多选题】（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知函数SKIPIF1<0，则关于函数SKIPIF1<0的叙述中正确的是（）A．SKIPIF1<0是偶函数 B．SKIPIF1<0是奇函数C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数 D．SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由SKIPIF1<0判断A；由奇函数的定义证明B；把SKIPIF1<0的解析式变形，由SKIPIF1<0的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出SKIPIF1<0的范围，进一步求得SKIPIF1<0的值域判断D．【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不是偶函数，故A错误；SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，故B正确；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，故C正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，故D错误．故选：BC．9．【多选题】（2020·重庆市第十一中学校高三月考）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数），函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值可以是（）A．-1 B．2 C．1 D．0【答案】CD【解析】由已知求得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，问题转化为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，对SKIPIF1<0分类讨论求得SKIPIF1<0的范围，结合选项得答案．【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，且当SKIPIF1<0时，函数取得最小值为SKIPIF1<0；要使原分段函数有最小值为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，满足；当SKIPIF1<0时，需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．综上，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．结合选项可得，实数SKIPIF1<0的取值可以是1，0．故选：CD．10．【多选题】（2021·南京市中华中学高三期末）“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作《抱银貂的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条．”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为悬链线系数．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0称为双曲余弦函数，记为SKIPIF1<0．类似的双曲正弦函数SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像分别交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的增大而减小 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像有完全相同的渐近线【答案】AC【解析】由函数的定义，代入化简可得A正确，B不正确；由SKIPIF1<0可得C正确；由函数的图象变化可得D不正确.【详解】SKIPIF1