2023届贵州省贵阳市五校高三联合考试（四）数学（理）试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat14页2023届贵州省贵阳市五校高三联合考试（四）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的定义域可得，结合交集的概念和运算即可求解.【详解】由题易知，则，故选：B.2．已知复数，则复数（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接将代入中计算即可.【详解】因为，所以，故选：C.3．已知是定义在上的奇函数，满足且，则（

）A．4 B．-4 C．1 D．-1【答案】D【分析】利用函数的周期性和奇偶性求函数值.【详解】由，可知周期为4，又是定义在上的奇函数，所以.故选：D.4．双曲线的一条渐近线经过，则该双曲线离心率为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】将代入渐近线方程得，再由即可得出答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，将代入渐近线方程得，所以.故选：B.5．已知正项等比数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知条件求出公比，代入求解的算式即可.【详解】设正项等比数列公比为，则，，由，得，即，解得，所以.故选：D.6．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指对函数的单调性，判断，，的大小关系即可.【详解】因为，，，所以，故D项正确.故选：D.7．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦的二倍角公式和诱导公式结合已知求解即可.【详解】因为，所以.故选：A.8．的展开式中的系数是126，则（

）A．2 B．4 C．1 D．3【答案】C【分析】求出展开式通项，令，解出，即可得出答案.【详解】展开式通项为，令，解得，因为的系数是126，所以，解得，故选：C.9．某市高三联考后，统一调查研究本次考试的数学成绩，得出全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，则下列说法错误的是（

）A．本次联考的数学平均分近似为90分B．本次联考数学成绩的方差近似为50C．随机抽取一名学生的成绩，D．随机抽取一名学生的成绩，【答案】D【分析】对于AB，由分析判断，对于CD，由正态分布的对称性分析判断.【详解】对于AB，因为全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，所以，所以AB正确；对于C，因为，所以，故C正确，对于D，因为，所以，所以D错，故选：D.10．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由阿基米德多面体的棱长，可得原正方体的棱长，可求外接球半径，计算外接球表面积.【详解】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为，则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，可得正方体体对角线长，外接球半径为，所以外接球表面积为.故选：D.11．函数的部分图象如图，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据正弦型函数的图象及五点法求参数，写出函数解析式，再求函数值.【详解】由图及题设知，把点代入，得，由五点描图法可得，所以，故，所以.故选：A12．若，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到函数定义域和奇偶性，由复合函数单调性得到在上单调递减，结合，从而得到，求出解集.【详解】的定义域为，又，故为偶函数，当时，，因为，在上单调递减，又在上单调递增，根据复合函数单调性可知，在上单调递减；又，可化为，即，得，即或，解得.故选：D.二、填空题13．已知单位向量满足，则向量与夹角的余弦值为.【答案】0【分析】根据题意，利用数量积的运算法则可得，从而得解.【详解】根据题意得，，∴，∴，∴，即，所以夹角的余弦值为0.故答案为：0.14．已知函数的图象在处的切线方程为，则.【答案】【分析】根据导数的几何意义求出a、b，即可求解.【详解】代入得，，即，，即，则，，所以.故答案为：.15．已知为数列的前项和.若，数列各项使得，成等差数列，则.【答案】363【分析】设公差为，则，求出d，进而求出，，，可得，求出公比q，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解.【详解】设公差为，则，得，于是，，，所以，，，，则，所以.故答案为：363.16．设，那么满足的所有有序数组的组数为.【答案】【详解】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．三、解答题17．在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若边上的中线长为1，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正余弦定理化简条件中的等式，可得；（2）边上的中线为，由向量关系：，两边平方利用向量数量积的运算和基本不等式，求出的最大值，可计算面积的最大值.【详解】（1）由正余弦定理得，又，可得，即.（2）设边上的中线为，，由（1）知，再由向量关系：，两边平方得，即，则有，得（当且仅当时取等号）,即面积的最大值为.18．某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲､乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为.甲､乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.(1)分别求甲､乙两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设甲答对的题数为，乙答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)甲、乙恰好答对2个问题的概率分别为，(2)选择学生甲，理由见解析【分析】（1）由古典概率求出甲恰好答对2个问题的概率，再由独立事件的乘法公式求出乙恰好答对2个问题的概率；（2）求出的可能取值及其对应的概率，再由期望、方差公式求出，因为~，由二项分布的期望、方差公式求出，比较它们的大小即可得出答案.【详解】（1）由题意，知甲恰好答对2个问题的概率为，乙恰好答对2个问题的概率为.（2）的可能取值为1，2，3，则；；.所以，.易知~，所以，.因为且，甲的平均水平更好，也比乙更稳定.所以选择学生甲.19．如图，多面体的底面是正方形，平面，点在上，且.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）以为原点，分别以､､的方向为x轴､y轴､z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可；（2）求出平面和平面法向量后，利用空间向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直，所以如图，以为原点，分别以､､的方向为x轴､y轴､z轴正方向建立空间直角坐标系.则取SC的中点，连接.因为所以，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为点在上，且，所以为的中点，因为，所以，因为平面，平面，所以，因为四边形是正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，故为平面的一个法向量.设平面的法向量为，因为，所以，令，得，，故.所以，由图可知二面角为钝角，所以二面角的大小为.20．已知椭圆的半焦距为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设直线交椭圆于两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得，，结合求出b，即可求解；（2）设，，，直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示，进而表示，结合两直线的位置关系和直线的点斜式方程即可求解.【详解】（1）椭圆过点，即，又，又，则，即椭圆方程为.（2）由得，，设，，则，设的中点M为，得，即，得，所以.所以的中垂线方程为，即，故的中垂线恒过点.21．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：存在正实数，使得.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先求导可得，再对分和两种情况讨论，利用导函数的正负确定函数的单调性即可得解；（2）根据题意可得，当时，存在正实数，使得；当时，，令，可得当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，可得，只需证明即可.【详解】（1）（1）解：，当时，，函数在上单调递增；当时，时，，时，，函数在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，只有增区间为.当时，的增区间为，减区间为.（2）证明：由已知得，的定义域为，当时，存在正实数，使得.当时，，令，在区间上有一个零点.当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减..由，得，所以.设，当时，，所以在上单调递增，所以，即，所以存在正实数，使得.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值问题，考察了分类思想的应用.本题的关键点由一下几点：（1）分类讨论的关键点为导函数的正负临界值；（2）存在性思想的应用，存在正实数，使得只需即可.22．已知直线：（为参数），曲线为参数.(1)求与的直角坐标方程；(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）去直线参数方程的参数，求得直线的直角坐标方程.消去曲线参数方程的参数，求得曲线的直角坐标方程；（2）根据坐标变换求得曲线的参数方程，由此设出点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线的距离的最大值.【详解】（1）由直线：（为参数），消去参数可得：l的普通方程为，为参数，消去参数可得：的普通方程为.（2）把曲线上各点的横坐标压