专题15 难点探究专题：线段上的动点问题压轴题三种模型全攻略（解析版）

专题15难点探究专题：线段上的动点问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一线段和与差问题】 1【考点二线段上动点定值问题】 4【考点三线段上动点求时间问题】 8【过关检测】 11【典型例题】【考点一线段和与差问题】例题：（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，点为线段上一点，点为的中点，且，．

(1)图中共有多少条线段，请写出这些线段；(2)求的长；(3)若点在直线上，且，求的长．【答案】(1)图中的线段有，，，，，共条(2)(3)或【分析】（1）根据题意结合图形，数出线段即可求解．（2）根据线段中点的性质可得，根据，即可求解；（3）分点在上时，点在延长线上时，两种情况分别讨论即可求解．【详解】（1）解：图中的线段有，，，，，共条，

（2）点为的中点，，．，；（3）分两种情况讨论：①如图，当点在上时，，，

；②如图，当点在延长线上时，

，，；综上，的长为或．【点睛】本题考查了线段数量问题，线段中点以及线段和差问题，数形结合是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点，的速度分别是，．①若，当动点，运动了时，求的值；②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①先计算，再计算；②利用中点的性质求解；（2）将用其它线段表示即可．【详解】（1）解：①由题意得：，．．②点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，设运动时间为t，则：，，．（2）解：设运动时间为，则，，，．．【点睛】本题考查线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．2．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）如图，将一段长为厘米绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.若将绳子沿、点折叠，点、分别落在，处.(1)如图2，若，恰好重合于点处，展开拉直后如图3，求的长；(2)若点落在的左侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度；(3)若点落在的右侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度.【答案】(1)厘米(2)厘米(3)厘米【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，进而根据即可求解；（2）先根据题意画出图形，根据线段中点的性质，得出，，根据即可求解；（3）先根据题意画出图形，同（2）的方法即可求解．【详解】（1）解：∵绳子沿、点折叠，点、分别落在、处，、恰好重合于点处，∴，，∴；（2）∵，，∴.根据题意得，、分别为、的中点，∵，，∴，∴；（3）当点落在点的右侧时，∵，∴.∴.【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点的性质，数形结合是解题的关键．【考点二线段上动点定值问题】例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)(2)不变，还是，理由见解析【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得；（2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解．【详解】（1）解∶，，，点是的中点，点是的中点，，；（2）线段的长度不发生变化．点是的中点，点是的中点，，．【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键．【变式训练】1．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．

(1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，图及理由见解析【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：∵M、N分别是的中点，∴，∴∴线段的长为．（2）解∶∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如图:

∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键．3．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若点恰好是中点，则____________；(2)若，求的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变．【答案】(1)6(2)(3)见解析【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，结合图形即可求解；（2）根据（1）的方法即可求解；（3）根据（1）的方法进行求解即可．【详解】（1）解：，点为的中点，．点、分别是和的中点，，．故答案为：6；（2）解：，，．点、分别是和的中点，，，；（3）解：设，则，点、分别是和的中点，∴，，不论取何值（不超过），的长不变；【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键．【考点三线段上动点求时间问题】例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s

(1)当P、Q两点重合时，求t的值；(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)满足条件的值为4或7或【分析】（1）根据相遇时间=路程和速度和，列出方程计算即可求解；（2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案；【详解】（1）由题意可得：，，∴当P、Q重合时，，解得：；（2）由题意可得：，∴①当点C是线段的中点时，，解得：；②当点P是线段的中点时，，解得：③当点Q是线段的中点时，，解得：；综上所述，满足条件的值为4或7或．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论以防遗漏【变式训练】1．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）．(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；(3)当时，求t的值．【答案】(1)6，4(2)3(3)当时，t的值为4或6【分析】（1）根据路程速度时间进行求解即可；（2）根据数轴上两点中点公式进行求解即可；（3）先求出，再由，得到，然后分点P在点B左侧和右侧两种情况，利用线段的和差关系求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，，∴点P表示的数为，故答案为：6，4；（2）解：∵点P为的中点，点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8，∴点P对应的有理数为，故答案为：3；（3）解：∵，∴当时，则，①当点P在点B左边时，∵，∴，∴；②当点P在点B右边时，∵，∴，∴；综上所述，当时，t的值为4或6．【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2022秋·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）时间t为2．【分析】（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB即可；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，即可求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出时间t．【详解】解：（1）如图所示：延长线段AB到点C，使BC＝3AB；（2）∵AB＝2，∴BC＝3AB＝6，∴AC＝AB+BC＝8，∵点D为线段BC的中点，∴BD＝BC＝3，∴AD＝AB+BD＝5．答：线段AD的长度为5；（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，PB＝PA﹣PC即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）解得t＝2或（舍去）．答：时间t为2．【点睛】本题考查作图－基本作图、两点间的距离，掌握尺规作图的方法和各线段之间的比例关系是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（）A．不确定 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】由D为中点，E为中点得到，，进一步即可得到的长度．【详解】解：∵D为中点，E为中点，∴，，∴．故选：C【点睛】此题考查了线段中点的相关计算，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．2．（2023春·广西南宁·七年级南宁三中校考开学考试）已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（

）A． B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．【详解】当N在射线BA上时，，不合题意当N在射线AB上时，，此时当N在线段AB上时，由图可知∴，∴∵∴∴∴故选：C．【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系．3．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期中）如图，已知，（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确的有()①点对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度不变．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．【详解】解：设点对应的数是，点对应的数为，且，，，点对应的数是，故①正确；由题意得：（秒），点到达点时，，故②正确；当点在点右边时，，，，（秒），当点在点左边时，，，，（秒），综上，时，或；故③错误；，始终为，的中点，，，当点在点右边时，，当点在点左边时，，在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确；所以，上列结论中正确的有个，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．二、填空题4．（2023秋·江西上饶·七年级校联考期末）长度为的线段的中点为M，C是线段上一动点，若点C到线段两端点的长度之比为，则线段的长度为．【答案】或【分析】根据线段的中点为M，，得到，根据点C到线段两端点的长度之比为，得到，或，得到，或．【详解】∵线段的中点为M，，∴，∵点C到线段两端点的长度之比为，当时，，∴，当时，，∴；∴的长度为或．故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了线段的中点与等分点，解决问题的关键是熟练掌握中点与等分点的定义．5．（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是．【答案】【分析】设，，，分两种情况，当和时，分别求解即可．【详解】解：设，，，当时，如下图：则，，，，，则当时，如下图：则，，，，，则故答案为：【点睛】此题考查了线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，正确画出图形，利用分类讨论的思想求解问题．6．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有．（填序号）【答案】①③/③①【分析】①根据线段的中点的定义以及点、可确定点、表示的数，进而得到的长度；②由，分两种情况讨论：点在点的右侧时以及点在点的左侧时，可得到点表示的数，由点为线段的中点可得点表示的数，进而得到的长度；③当时，可得到、的长，从而确定点、，即可得到的长；④当时，可得到、的长，从而确定点、，进而判断．【详解】①若点表示的数是3，∵点为线段的中点，表示的数是1，∴，，即表示的数是2，∴，故①正确；②若，当点在点的右侧时，则点表示的数是4，∵点为线段的中点，∴，即表示的数是，∴，当点在点的左侧时，则点表示的数是，∵点为线段的中点，∴，即表示的数是，∴，综上，，故②不正确；③当时，，，∵、表示的数分别是，1，∴、表示的数分别是，，∴，故③正确；④当时，，，∴、表示的数分别是，，∵点在、的左侧，不可能是线段的中点故④不正确；故答案为：①③【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题7．（2022秋·广东广州·七年级广州市广外附设外语学校校考期末）如图，已知数轴上、两点所表示的数分别为和．

(1)求线段的长；(2)当点为线段的一个动点，且为的中点，为的中点．请你画出相应的图形，并求出线段的长．(3)当点为数轴上点左侧的一个动点，且为的中点，为的中点．请你画出图形，并探究的长度是否发生改变？若不变，求出线段的长；若改变，请说明理由．

【答案】(1)；(2)如解析图，；(3)的长度不会发生改变，．【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算可得，即数轴上两点、表示的数分别为、，则；（2）先根据中点的意义，再通过线段和差即可可求出；（3）先根据中点的意义，再通过线段和差即可可求出．【详解】（1）；（2）如图，

∵为的中点，为的中点，∴，，∴，由（1）得：，∴，（3）的长度不会发生改变，如图，

∵为的中点，为的中点，∴，，∴，由（1）得：，∴．【点睛】此题考查了线段的计算和中点的性质及数轴的知识，解题的关键是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题．8．（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？【答案】（1）6；（2）6；（3）或2【分析】(1)根据图形，由AB=12，AC=4得出BC=8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB=12，BC=m得出AC=12-m再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．【详解】解：如图(1)∵AB=12，AC=4∴BC=8∵点D，E分别时AC和BC中点，∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6(2)∵AB=12，BC=m∴AC=12-m∵点D，E分别时AC和BC中点∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6(3)由题意得，如图所示，或AP=3t，BQ=6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+BQ-PQ=12∴3t+6+6t=12或3t+6t-6=12解得t=或t=2故当t=或t=2时，P，Q之间的距离为6.【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．9．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，(1)填空：，；(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．【答案】(1)8，(2)(3)的值不会发生变化，详见解析【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解；（2）先求出，可得，即可求解；（3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案为：8，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴点C表示的数为；（3）解：的值不会发生变化，依题意得：，∴，，∴，∴的值不会发生变化．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．10．（2023·全国·七年级专题练习）如图，直线上有，，，四个点，，，．

(1)线段______(2)动点，分别从A点，点同时出发，点沿线段以3/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点沿线段以1/秒的速度，向左运动；点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为（单位：秒）①求，两点第一次相遇时，运动时间的值；②求，两点第二次相遇时，与点A的距离．【答案】(1)(2)5、20【分析】（1）根据，，算出，再根据即可解答；（2）①根据，两点第一次相遇时，，两点所走的路程之和是的长列方程即可求解；②根据，两点第二次相遇时，点所走的路程与的差和所走的路程与的差相等列方程即可求解；【详解】（1）故线段的长为．（2）①，两点第一次相遇时根据题意可得：解得：秒故，两点第一次相遇时，运动时间的值是5秒；②由（1）得当，两点第二次相遇时：解得：秒故，两点第二次相遇时，与点A的距离是20【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．11．（2022秋·河南驻马店·七年级校联考期末）线段，C，D是线段上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点，(1)如图1，当时，求的长．(2)如图2，F为的中点①点C，D在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长．②当时，请直接写出线段的长．【答案】(1)4(2)①不变，4；②4.2或5.8【分析】（1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长；（2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长．【详解】（1）解：因为所以因为为的中点．所以，因为，所以（2）解：①因为是线段的中点，是线段的中点，所以，．因为所以线段的长度不会发生变化，．②或．提示：当点在点的左侧时，如图1所示。因为，所以．由①知．所以．当点在点的右侧时，如图2所示．因为．所以由①知，所以综上所述，当时，线段的长为或．【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．12．（2022秋·七年级课时练习）【新知理解】如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．(1)线段的中点

这条线段的“和