专题08 几何证明 解答题之压轴题训练（2）（沪教版）（解析版）-2021-2022学年第一学期八年级压轴题训练（沪教版）

专题08几何证明解答题之压轴题训练（2）1.（金山2020期末26）已知:CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF=60°,另一边交射线CP于F.(1)求证:AD=FD;(2)若AB=2,BD=x,DF=y,求y关于x的函数解析式;(3)若点D在线段BC的延长线上，（1）中的结论还一定成立吗？若成立，请证明．【答案】（1）见解析；（2）；（3）成立，证明见解析.【解析】解:（1）连接AF，∵∠ACB=60°，∴∠ACE=120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP=∠PCE=60°，∴∠ADF=∠ACP=60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD=∠ACB=60°，∴∠ADF=∠AFD=60°，∴∠DAF=60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD=FD；（2）过A作AM⊥BC于M，如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=2，BM=BC=1，∴AM=,∵BD=x，∴MD=x-1，∵△ADF是等边三角形，∴AD=DF=y，在Rt△AMD中，,∴，即；（3）如图，同（1）得：∠ADF=∠ACF=60°，∴A、C、D、F四点共圆，∴∠FAD=∠FCD=60°，∴∠AFD=60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD=FD．2.（静安市西2020期末28）如图，已知，将一个直角的顶点置于点，并将它绕着点旋转，两条直角边分别交射线于点，交的延长线于点，联结交于点，设.（1）当时，求的长；（2）若，求关于的函数关系式及定义域；（3）旋转过程中，若，求此时的长.【答案】（1）；（2）y=x+4（0≤x≤）；（3）.【解析】解：（1）如图1中，∵∠DCE=90°，∠DCF=60°，∴∠BCE=30°，∵AB⊥BC，∴∠CBE=90°，∴tan30°=，∴∴BE=．（2）如图2中，作DM⊥BC于M．∵AG∥BC，AB⊥BC，∴AG⊥AB，∴∠A=∠ABM=∠DMB=90°，∴四边形ABMD是矩形，∴BM=AD=y，AB=DM=3，CM=4-y，∵∠DCM+∠CDM=90°，∠DCM+∠BCE=90°，∴∠CDM=∠BCE，∵∠DMC=∠CBE，∴△DCM∽△CEB，∴∴，∴y=x+4，由题意可得，即解得：0≤x≤∴y=x+4（0≤x≤）；（3）如图3中，∵CD=CF，∴∠CDF=∠CFD，∵AG∥BC，∴∠CFD=∠ADF，∴∠EDA=∠EDC，∵EA⊥DA，EC⊥DC，∴EA=EC=x+3，在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，∴（x+3）2=x2+42，∴x=，∴BE=．3.（浦东新区2020期末26）某校初二数学兴趣小组活动时，碰到这样一道题：“已知正方形AD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若，则EG=FH”．经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲)过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；（乙)过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N.（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明(如图1)（2）如果把条件中的“”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图2），试求EG的长度．【答案与解析】解：（1）选甲：证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N，∴AM=HF，BN=EG，∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°，∵EG⊥FH，∴AM⊥BN，∴∠BAM+∠ABN=90°，∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠BAM=∠CBN，在△ABM和△CBN中，∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠BCN，∴△ABM≌△CBN，∴AM=BN，即EG=FH；选乙：证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，∴AM=HF，AN=EG，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=∠ADN=90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM=90°，∴∠BAM=∠DAN在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠AND，∴△ABM≌△ADN，∴AM=AN，即EG=FH；（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，∵AB=1，AM=FH=，∴在Rt△ABM中，BM=，将△AND绕点A旋转到△APB，∵EG与FH的夹角为45°，∴∠MAN=45°，∴∠DAN+∠MAB=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，从而△APM≌△ANM，∴PM=NM，设DN=x，则NC=1-x，NM=PM=+x在Rt△CMN中，（+x）2=+（1-x）2，解得x=，∴EG=AN=，答：EG的长为．4.（浦东南片十六校2020期末27）如图，已知在中，，,点D在斜边AB上，将沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在射线BC上的点处，连接并延长，交射线AC于E.（1）当点与点重合时，求BD的长；（2）当点在延长线上时，设为，为，求关于的函数关系式，并写出定义域；（3）连接，当是直角三角形时，请直接写出的长.【答案】（1）1；（2）；（3）或；【解析】解：Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，AB=2，∴,，∵，∴，∴.（1）当点B与点C重合时,DC=DB，∠A=∠ADC=60，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=1，BD=1；（2）过D作DH⊥BC于H，Rt△BDH中，，，则，，中，EC=y，，则，，∴；（3）①∵BD=B’D,，∴的情况不成立；②当时，如图，∵，∴，∴,∵AB+BD=AB=2，∴；③当时，如图，∵,∴,∵BD=B’D,∴,∴,∴B’D=2AD，即BD=2AD，∵AD+BD=2，∴.∴或.5.（松江区2020期末26）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，点D、E分别是边AB、AC上动点，点D不与点A、B重合，DE∥BC．（1）如图1，当AE＝1时，求BD长；（2）如图2，把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，设CE＝x．①当点F落在斜边BC上时，求x的值；②如图3，当点F落在Rt△ABC外部时，EF、DF分别与BC相交于点H、G，如果△ABC和△DEF重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式及定义域．（直接写出答案）【答案与解析】解：（1）∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，∴AB＝AC＝4，∵DE∥BC．∴∠ABC＝∠ADE＝30°，且∠A＝90°，AE＝1，∴AD＝，∴DB＝AB﹣AD＝3；（2）①∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠CFE，∵把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，AE＝EF，∴∠ACB＝∠CFE，∴CE＝EF，∴AE＝CE＝AC＝2；②∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠EDF＝∠DGB，∠DEF＝∠EHC，∵把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，∠ADE＝∠EDF，AE＝EF，AD＝DF，∴∠DGB＝∠B，∠EHC＝∠C，∴EC＝EH＝x，DG＝DB，∵CE＝x，∴AE＝4﹣x，且∠A＝90°，∠ADE＝∠ABC＝30°，∴AD＝（4﹣x），DB＝AB﹣AD＝4﹣（4﹣x）＝x，∴S△DEF＝S△ADE＝AD×AE＝，∵FH＝EF﹣EH＝4﹣x﹣x＝4﹣2x，GF＝DF﹣DG＝（4﹣x）﹣x＝4﹣2x，∴S△FHG＝×FH×FG＝（4﹣2x）×（4﹣2x）＝，∴y＝S△DE﹣S△FHG＝﹣＝（0＜x＜2）．6.（崇明区2020期末26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点P是边AC上的动点（点P与点A不重合），D是边AB上的动点，且PA=PD，ED⊥DP，交边BC于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF全等，求线段PE的长.【答案】（1）略；（2）；（3）2；【解析】解：（1）证明：∵ED⊥DP，∴∠EDP=90，∴∠BDE+∠PDA=90，又∵∠ACB=90，∴∠A+∠B=90，∵PD=PA，∴∠PDA=∠A，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE；（2）如图1，过点E作EH⊥BD于H，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，∴∠B=30，AB=6，∵BE=DE=x，EH⊥BD，∴EH=BE=x，∴Rt△BEH中，BH=，∵BE=DE，EH⊥BD，∴BD=2BH=，∴；（3）如图2，∵延长ED交CA的延长线于点F，∴∠ADF=∠BDE=∠B=60，∵∠CAB=60，∴△ADF是顶角为120的等腰三角形，∵△BDP与△DAF全等，∠PDB=120，∴PD=BD，∵PD=AD，∴AD=BD，点P与点C重合，∴y=3,∴x=即BE=，PE=2.7.（奉贤区2020期末26）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF.（1）如图1，当点D在线段CB上时，①求证：△AEF≌△ADC；②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）.【答案】（1）①略；②;(3)或;【解析】解:（1）①证明：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，∴∠ABC=30，∴AC=AB=5.∵F是AB的中点，∴AF=BF=AB，∴AF=BF=AC，∵等边△ADE，∴AE=AD，∠EAD=60，∴∠EAD=∠CAB=60，∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD即∠DAC=∠EAF，在△ADC与△EAF中，，∴△ADC≌△EAF(SAS);②∵△ADC≌△EAF,∴∠EFA=∠C=90,又F是AB中点，∴EF是AB的中垂线，∴AE=EB，∴AD=AE=EB，在Rt△ACD中，∠C=90，∴，∴，∴；（3）或.8.（普陀区2020期末25）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y.（1）当点E与点C重合时，求ME的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长.【答案】（1）2；（2）；【解析】解:（1）∵AB=，BC=，∴BC=AB，∵∠C=90，∴∠A=30.∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=30，∠ADC=120，联结MD，∵MN垂直平分CD，∴CM=DM，∴∠MDC=30，∴∠ADM=90，在Rt△AMD中，由勾股定理得DM=2，得ME=2；（2）联结MD，∵MN垂直平分ED，∴ME=MD，∵ME=y，∴MD=y，过点M作AB的垂线，垂足为F，在Rt△MAF中，由勾股定理得MF=，AF=，∴FD=，在Rt△MDF中，，即，所以y关于x的函数解析式是.9.（长宁区2020期末25）在直角坐标系xoy中，已知：A、B两点的坐标为A(2,2)、B(5,1).（1）求A、B两点的距离；（2）在x轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求满足要求的点C的坐标.【答案】（1）；（2）（3，0），，，（8，0），（2，0）；【解析】解:（1）∵A、B两点的坐标为A(2,2)、B(5,1)，∴AB＝=；（2）由题意设x轴上点C的坐标为(m,0)，△ABC为等腰三角形有三种情况：①AC=BC；②AC=AB；③BC=AB.①当AC=BC时，=，∴，解得m=3，此时点C的坐标为（3，0）；②当AC=AB时，=，∴，∴或，此时点C的坐标为或；③当BC=AB时，=，∴，解得m=8或2，此时点C的坐标为（8，0）或（2，0）；综上述，在x轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，满足要求的点C的坐标有：（3，0），，，（8，0），（2，0）.10.（奉贤部分校2019期中26）如图，在等边△ABC中，AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为边在CD的下方作等边△CDE，联结BE.（1）∠CAM=度；（2）当点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB的度数是否会发生变化？请说明理由.【答案】（1）30；（2）略；（3）不会变化；【解析】解:（1）∵等边△ABC中，∴∠BAC=60，又AM为BC边上的中线，∴AM平分∠BAC，∴∠CAM=∠BAC=30；（2）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC=BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BEC；（3）不变化.证明：①点D在线段AM上时，由△ADC≌△BEC，得∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACM=60；②点D在线段AM的延长线上时，同①∠AOB=∠ACM=60；③点D在线段MA的延长线上时，设AM交CE于点H，同理可得△ADC≌△BEC，∴∠CDA=∠CEB，又∠AHC=∠EHO，∴∠AOB=∠DCE=60，综上，∠AOB的度数不会变化.11.（闵行区2020期中27）如图，已知：△ABC是等边三角形，CE是△ABC的外角∠ACM的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．（1）如图1，如果点D在边BC上，求证：AD＝DE；（2）如图2，如果点D在边BC的延长线上，那么（1）的结论“AD＝DE”还能成立吗？请说明理由．（3）如果△ABC的边长为4，且∠DAC＝30°，请直接写出线段BD的长度．（无需写出解题过程）【答案与解析】解：（1）在AC上截取CN＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴△CDN是等边三角形，∴ND＝CD＝CN，∠CND＝∠CDN＝60°，∴∠AND＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠NDC，∴∠ADN＝∠EDC，∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝60°∴∠DCE＝120°＝∠AND，在△ADN和△EDC中，，∴△ADN≌△EDC（ASA），∴AD＝ED；（2）在AC的延长线上截取CN＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCN＝60°，∴△CDN是等边三角形，∴ND＝CD＝CN，∠CND＝∠CDN＝60°，∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，∴∠ECD＝∠AND，∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠CDN，∴∠ADN＝∠EDC，在△ADN和△EDC中，，∴△ADN≌△EDC（ASA），∴AD＝DE；（3）当点D在线段BC上时，∵△ABC是等边三角形，∠DAC＝30＝∠BAC，∴BD＝BC＝2，当点D在射线CM上时，∵∠DAC＝30°，∠ACB＝60°＝∠DAC+∠ADC，∴∠DAC＝∠ADC＝30°，∴AC＝DC＝4，∴BD＝8，综上所述：BD的值2或8．12.（金山区2021期末26）如图1，在中，，是中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于．（1）如图2，如果点与点重合，求证：；（2）如图3，如果，求的长；（3）设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．【答案】（1）证明见详解；（2）PQ=；（3），，【解析】解：（1）在中，，D是AB的中点，∴DC=AD=BD，∴∠DCB=∠DBC=30°，又∵∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，∵QB⊥DB，∴∠DQB=90°-∠QDB=30°，∴DQ=2DB=2DC，∵D与P重合，PQ=2PC；（2）过B作BH⊥PQ于H，∵AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，又因为∠HCB=30°，∠CHB=90°，∴CB=2BH=，∴BH=，∵∠PBQ=90°，BP=BQ，∴PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，CH=，当CP≤9时PH=9-PC=9-x，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(9-x)2+27，即，当CP时PH=PC-9=x-9，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(x-9)2+27，即.13.（浦东新区2021期末26）如图，在中，，，，点P是AB上的动点，联结CP，并以CP为边作等边（点E在线段CP上方），M是线段AB的中点，联结EM．（1）请猜想：线段EM与PB数量关系？线段EM与CB的位置关系？（2）请证明上题中你的猜想；（3）请猜想：点P在BM上移动时，四边形ECPM的面积是否发生变化？并加以说明．【答案】（1）；EM//CB；（2）见解析；（3）面积不变；见解析【解析】解：（1）；EM//CB；（2）连接CM，∵在△ABC中，，，M是线段AB的中点，∴CM=，∠B=60°，∴△CBM是等边三角形，∴CM=CB，∠MCB=60°，又∵以CP为边作等边，∴CE=CP，∠ECP=60°，∴∠ECM+∠MCP=∠PCB+∠MCP，∴∠ECM=∠PCB，在△ECM和△PCB中，∴△ECM≌△PCB，∴EM=PB，∠EMC=∠B=60°，又∵∠MCB=60°，∴∠EMC=∠MCB，∴EM//CB；（3）过点M作MN⊥BC，由（2）已证△MCB为等边三角形，∴MB=BC=2，∵MN⊥BC，∴∠BMN=，∴BN=∴在Rt△MCB中，，∴，又∵△ECM≌△PCB，∴点P在BM上移动时，=，即四边形ECPM的面积不会发生变化．14.（浦东四署2021期末25）已知：在中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，以始边作．（1）如图一，当且时，试说明和的