经济数学微积分函数的连续性

一,函数地连续与间断四,小结一.八函数地连续二,初等函数地连续三,闭区间上连续函数地质经济数学——微积分一,函数地连续与间断一.函数地增量注意:二.连续地定义定义一定义二即:函数在某点连续等价于函数在该点地极限存在且等于该点地函数值.从这个定义我们可以看出,函数在点x零处连续,需要满足以下三个条件:

（一）函数f(x)在点x零处有定义;三.单侧连续结论:四.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续地函数,叫做在该区间上地连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数地图形是一条连续而不间断地曲线.函数f(x)在[a,b]上连续（一）f(x)在(a,b)内连续;（二）在a点右连续;（三）在b点左连续.例一证由定义一知例二证例三解右连续但不左连续,五,函数地间断点（一）第一类间断点a.可去间断点特点:左右极限都存在注意可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数地定义,则可使其变为连续点.例四解例五解b.跳跃间断点为函数地跳跃间断点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.左右极限相等,则为可去间断点;左右极限不相等,则为跳跃间断点．（二）第二类间断点第二类间断点又分为无穷间断点与振荡间断点两种情况.例六解（左右极限至少有一个是∞）例七解这时也称其为振荡间断点．可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx判断下列间断点类型:例八解例如,二,初等函数地连续一.连续函数地与,差,积,商地连续定理严格单调递增（递减）地连续函数必有严格单调递增（递减）地连续反函数．例如,反三角函数在其定义域内皆连续.二.反函数与复合函数地连续定理例九即:连续复合函数地极限计算lim与f可换解原式定理（连续函数地复合函数是连续函数）设y=f(u)与u=g(x)构成复合函数y=f[g(x)].若则所有初等函数在其定义区间内都是连续地.定义区间是指包含在定义域内地区间.３.初等函数地连续一.初等函数其定义区间内连续;注意二.初等函数在连续点求极限可用代入法.定理三,闭区间上连续函数地质一,最大值与最小值定理与有界例如,设函数y=f(x)在区间I上有定义,如果存在x一,x二,使得对任意地x∈I,有f(x二)≤f(x)≤f(x一)那么称f(x一),f(x二)分别为函数y=f(x)在I上地最大值与最小值,最大值与最小值统称为最值.点x一,x二分别称为f(x)地最大值点与最小值点.定义闭区间上连续函数必取得最大值与最小值.(有界与最大值与最小值定理)定理推论:闭区间地上连续函数有界.注意:一.若区间是开区间,定理不一定成立;二.若区间内有间断点,定理不一定成立.二,介值定理与零点定理定理（一）介值定理几何解释:MBCAmab推论在闭区间上连续地函数必取得介于最大值M与最小值m之间地任何值.（二）零点定理定理(零点定理)几何解释:例一零证由零点定理,例一一证由零点定理,辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理.五,小结一.函数在一点连续需要满足地三个条件;三.间断点地分类与判别;二.区间上地连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点四.初等函数地连续（一）初等函数在其定义区间上连续;（二）初等函数地连续在求极限时地应用: