重难专题14 整式乘法的阅读理解与探究题型（原卷版）

专题14整式乘法的阅读理解与探究题型一、规律探究你能很快算出吗为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为的自然数的平方，任意一个个位数为的自然数都可以写成（为自然数），即求的值，试分析，，，……这些简单情形，从中探索规律，并归纳猜想出的结论（在下面空格上填上你探索结果）．(1)通过计算，探索规律可以写成；可以写成；可以写成；可以写成；……，可以写成，，可以写成(2)从（1）题的结果，猜想，归纳，得，并利用整式运算的知识给予说明：(3)根据上面的归纳猜想，计算出【分析】（1）认真阅读，总结规律：十位数（十位数），然后按规律改写和即可；（2）根据规律：十位数（十位数），改写即可；根据完全平方公式，展开，提取前两项公因式即可证明；（3）根据（2）的结果：，计算即可．【详解】（1）解：总结规律：十位数（十位数），；；故答案为：；；（2）解：根据规律：十位数（十位数），；说明过程：；故答案为：；（3）解：根据（2）的结果：，；故答案为：．二、拓展探究阅读与思考请仔细阅读下面的材料并完成相应的问题阅读材料问题：若，求的值．解：设，，则，，∴；请仿照上例解决下面的问题：问题发现：（1）若满足，求的值．类比探究：（2）若满足，求的值．拓展延伸：（3）如图，正方形和正方形和重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，交和于H、Q两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若正方形的边长为，，，长方形的面积为200．则正方形的面积为_________（结果必须是一个具体数值）．【分析】（1）设，，则，，根据，代入计算求解即可；（2）设，，则，，根据，代入计算求解即可；（3）由题意知，，，由四边形和都是正方形，四边形为长方形，可得，，则，四边形为正方形，，设，，则，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：设，，则，，∴，∴的值为21；（2）解：设，，则，，∴，∴的值为．（3）解：由题意知，，，∵四边形和都是正方形，四边形为长方形，∴，，∴，∴四边形为正方形，∴，设，，则，∵，∴，∴，故答案为：900．一、规律探究1．王老师在黑板上写了三个等式．第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；⋯请你结合以上等式的规律，解答问题：(1)请你写出第5个等式：________；(2)设两个连续奇数分别为，（n为正整数），试说明其平方差是8的倍数．2．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务：①；②；③；④．任务：(1)用“”、“”或“”填空：______；(2)观察以上各式，你发现它们的规律了吗？请用含，的式子表示上述规律：______；(3)运用所学的知识证明你发现的规律．3．观察下列各式……请根据你发现的规律完成下列各题：(1)根据规律可得___________（其中n为正整数）；(2)计算：；(3)计算：；4．观察下列式子：①，②，③，…(1)请写出第④个等式：；(2)根据你发现的规律，试写出第n个等式：；(3)利用所学知识，说明第n个等式成立．5．观察下列各式：；；……依此规律计算：（1）=．（2）第个等式（为正整数）为．6．教材113页《阅读与思考》谈到：我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例：在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年.杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：(1)直接写出的展开式______；(2)的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；(3)此规律还可以解决实际问题：如果今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期几？简要写出计算（推理）过程.7．你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．探究发现：先填空：______；______；______；…由此猜想：______．拓展应用：利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求的值；②若，求等于多少？8．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．(1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________．请类比上述探究过程，解答下列问题：(2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________；(3)根据以上探究的结果，①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积．②计算：二、拓展探究9．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．(1)【解决问题】数53_____“完美数”（填“是”或“不是”）；(2)【探究问题】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；(3)【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最大值．10．【问题提出】：分解因式：（1）

（2）【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲发现该多项式前两项有公因式，后两项有公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式，第一项和第三项含有公因式，把，提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲发现先将看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；（1）分解因式：；（2）分解因式：；【拓展提升】：（3）分解因式：．11．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．[解决问题](1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；(2)若可配方成（m、n为常数），则______；[探究问题](3)已知，则______；(4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．[拓展结论](5)已知实数x、y满足，求的最值．12．把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：的形式．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”、理由：因为，所以是“完美数”．解决问题：（1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）．①；②；③；④．探究问题：（2）若（为常数），则的值________；（3）已知（是整数，是常数），当=______时，为“完美数”．拓展应用：（4）已知实数满足，则的最小值是_______．13．数形结合可以让抽象的数学问题更加直观形象，课上老师准备了如图①所示的长为4a，宽为b的长方形纸片，沿虚线用剪刀剪出4个全等的小长方形，按照图②的形状拼成一个大正方形，其中阴影部分的图形是正方形．(1)填空：图②中阴影部分正方形的边长是______；（用a、b表示）请你观察图形，写出、、ab之间的等量关系：______．问题探究(2)如图③是由两个正方形与一个长方形组成，其中小正方形的边长为m，面积为，大正方形的边长为n，面积为，若长方形的周长是14．．求长方形的面积．拓展延伸(3)图④中正方形的边长为x，，长方形的面积是100，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，请直接写出四边形的面积=______．14．阅读与思考：下面是小华同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．年月日星期日巧用数学思想，妙解数学问题．今天，我去书店买书，无意间发现一本书上记录了这样一段有趣的话：“整体思想”是中学数学解题思路中一种重要的思维方法，贯穿于中学数学的全过程，在多项式的化简与求值中应用极为广泛，比如整体代入，整体换元，整体约分，整体求和，整体构造，……，很多问题若从局部求解，各个击破，多数很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，再复杂的问题也能迎刃而解．有这样一道题：如果时，求的值，它的解题过程如下：方法一：当时，原式．方法二：将当做一个整体，那么当时，原式．通过对比两种方法，我得到了这样一个结论：巧用数学思想解题，不仅有助于加深对代数式结构的理解，而且还能提高我们做题的效率，同时也能培养我们的创新思维．尝试应用：(1)根据“方法二”，将代数式进行化简；拓展探究：(2)已知，那么的值为___．15．(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究与拓展】对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①

分解因式__________；②

若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．16．请阅读下列材料，并完成相应的任务：（1）探究发现；小明计算下面几个题目①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：．（2）面积说明：上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式