上海财经大学投资学第七章

第七章最优风险资产组合7-2投资决策决策过程可以划分为自上而下的3步:风险资产与无风险资产之间的资本配置各类资产间的配置每类资产内部的证券选择7-37.1分散化与组合风险风险来源：市场风险（商业周期、通胀、利率、汇率）系统性风险或不可分散风险公司特有风险可分散风险或非系统风险7-4图7.1组合风险关于股票数量的函数7-5图7.2组合分散化7-67.2两个资产构成的资产组合两个资产构成的资产组合给定任何期望收益，构造最低风险的风险资产组合。分散化效应。7-7两个资产构成的资产组合:收益债券的权重债券的收益率股票的权重股票的收益率资产组合的收益率7-8

=基金D的方差

=基金E的方差

=基金D和基金E收益率的协方差两个资产构成的资产组合:风险7-9两个资产构成的资产组合:风险组合方差的另一种表达方式:7-10协方差和相关性投资组合的风险取决于投资各组合中资产收益率的相关性。协方差和相关系数提供了衡量两种资产收益变化的方式。7-11

D,E=收益率的相关系数

Cov(rD,rE)=

DE

D

E

D=基金D收益率的标准差

E=基金E收益率的标准差协方差7-12

1,2值的范围+1.0>

r

> -1.0如果r=1.0,资产间完全正相关如果r=-1.0,资产间完全负相关相关系数:可能的值7-13相关系数当ρDE=1,不受相关性影响当ρDE=-1,完全对冲：7-14表7.2从协方差矩阵计算的

资产组合的方差7-15三种资产的组合7-16图7.3组合期望收益关于投资比例的函数期望收益与相关系数无关7-17图7.4组合标准差关于投资比例的函数相关系数越小或负相关，将降低组合的标准差（风险），所以人们愿意在组合中，增加与组合相关性小或负相关的资产。7-18最小方差组合最小方差组合由具有最小标准差的风险资产组成，这一组合的风险最低。当相关系数小于+1时，资产组合的标准差可能小于任何单个组合资产。当相关系数是-1时，

最小方差组合的标准差是0.7-19将期望收益与投资比例的关系与标准差与投资比例的关系结合起来，可得到两证券组合风险与期望收益的关系，即两证券投资组合的可行集。投资组合可行集：组合风险与期望收益的关系两种证券投资组合的可行域—结合线

如果一个证券组合是由证券A和B组成，其轨迹将是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的组合线，也称为两种证券投资组合的可行域。两种证券组合的期望收益与方差

期望收益率：

方差（风险）确定两种证券组合P的结合线的基本方程：

两种证券组合的结合线

给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的关联系数决定A、B的不同形状的组合线。（1）完全正相关下的组合线

在完全正相关下，两种证券组合P的结合线的基本方程，变为:

若假定不允许卖空，即

：

解上述方程组，得：

因此，由证券A与证券B构成的组合线是连接A、B两点间的直线。

两证券的结合线组合方程当时E(r)AFB

分段点在处，为最小风险点，说明这时投资组合将得到一个无风险收益率。

令得：

在证券A、B完全正相关下，我们总可以选择得到一个无风险，且收益率恒定的组合。从权重系数看，一个为正，一个为负，这说明，当证券A、B完全正相关时，可通过卖空一种证券，使得它们成为完全反向的证券，从而通过组合完全抵消风险，而且总是卖空方差大的证券。这是利用期货合约进行套期保值的理论基础，因为，期货价格与标的物现货价格几乎可以认为是完全正相关。

（2）完全负相关情况下的组合线

在完全负相关情况下，

也是分段线性的。

在完全负相关的情况下，按适当比例买入证券A和证券B可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。这个适当比例通过令sP＝0得到：因为，所以按上述比例同时买入证券A和B。这一点很容易理解，因为证券A和B完全负相关，二者完全反向变化，因而同时买入两种证券可抵消风险。所能得到的无风险收益率为

两证券的结合线（3）不相关情形下的组合线

当证券A与B的收益率不相关时，是一条经过A、B两点的双曲线。我们不可能通过证券A、B的适当组合构成一个无风险的证券组合。

为了得到方差最小的证券组合，令最小风险为：

可以通过按适当比例买入两种证券，获得比两种证券中任何一种风险都小的证券组合。两证券的结合线p=07-28图7.5组合期望收益关于标准差的函数-一般情况7-29资产相关性越小，分散化就更有效，组合风险也就越低。随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性也在增大。如果r=+1.0，不会分散任何风险。.如果r=0，σP

可能低于任何一个资产的标准差。如果r=-1.0，可以出现完全对冲的情况。相关效应7-307.3股票、长期债券与短期债券的资产配置两个风险资产与一个无风险资产的最优组合。7-31图7.6债券和股权基金的投资可行集和两条资本配置线A点（最小方差）的夏普比率为：B点的夏普比率为：B点A点好。7-32夏普比率使资本组合P的资本配置线的斜率最大化。斜率的目标方程是:这个斜率就是夏普比率。目标是夏普比率最大化：约束条件：7-33图7.7债券和股权基金的投资可行集、最优资本配置线和最优风险资产组合图最优风险资产组合是切点P。7-34图7.8决定最优组合应用无差异曲线与资产配置线的切点确定最优组合7-35图7.9最优组合的成分7-36确定所有证券的特征（期望收益率、方差）；建立风险资产组合：计算最优风险资产组合P；计算P的期望收益率和标准差。在风险资产和无风险资产之间配置资金：计算投资风险资产组合P的比例。计算整个资产组合的比例。总结构造组合的步骤7-377.4马科维茨资产组合选择模型7.4.1证券选择第一步是决定风险收益机会（可行域）。所有最小方差边界上最小方差组合上方的点提供最优的风险和收益。多种证券组合的可行域（1）三种证券组合的可行域不允许卖空时三种证券组合的可行域

允许卖空时三种证券组合的可行域多种证券组合的可行域从理论上讲，可行域可用如下方程组求出：

可行组合

可行组合指满足上述方程组的所有组合，它对应于上图可行区域上的一点；证券组合的可行域

可行域指所有可行组合的集合，它填满了坐标系中的一个区域，此区域则由上述方程组确定，其基本形状为蛋壳形。

多种证券组合的可行域

可行域的类型

可行域的特点所有的可行域均有一个共同的特点：左边缘必然向外凸或呈线性，即不会出现凹陷。有效组合与有效边界（1）投资者的共同偏好

大多数投资者普遍喜好期望收益而厌恶风险的，因而人们在投资决策时希望期望收益越大越好，风险越小越好。这种态度反映在证券组合的选择上可由下述规则来描述：如果两种证券组合具有相同的收益率标准差，和不同的期望收益率，那么投资者选择期望收益率高的一种组合；如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率标准差，那么他就选择标准差较小的那种组合；如果一种证券组合比另一种证券组合具有较小的标准差和较高的期望收益率，则他选择前一种组合。

投资者的共同偏好规则图（2）有效证券组合与有效边界有效证券组合

按照共同偏好规则，排除那些被所有投资者都认为“坏”的组合，余下的便是共同偏好不能区分好坏的组合，这些组合称为有效证券组合，那些被排除的“坏”的组合称为无效组合。有效边界

有效组合不止一个，描述在可行域的图形中，它是可行域的上边缘部分，称之为有效边界。对于可行域内部及下边缘上的任意可行组合，均可以在有效边缘上找到一个有效组合比它好。但有效边缘上的不同组合，按共同偏好规则则不能区分好坏。因而有效组合相当于有可能被某位投资者选作最佳组合的候选组合，不同投资者可以在有效边缘上获得任何位置。

A点是一个特殊的位置，它是上边缘和下边缘的交汇点，这一点所代表的组合在所有可行组合中方差最小，因而被称作最小方差组合。

7-46图7.10风险资产的最小方差边界有效边界的类型下图是几种典型的有效边界。由于有效边界是可行域的一部分，因而，它一定是向外凸的(不会有凹陷)，并允许有线性部分，

有效边界的性质

有效边界具有很多好的性质，这些性质的证明较为复杂，这里仅给出相应的结论。（1）两个有效组合的再组合还是有效组合。（2）所有有效组合可视为最小方差组合与任意一个有效组合的组合，因而有效边界可视为两个有效组合的结合线。

这个性质告诉我们，在允许卖空的情况下，如果我们能够确定最小方差组合MVP及任意一个有效组合，即可以得到所有的有效组合。（3）有效边缘是一条抛物线。有效证券组合与有效边界的求解—马柯威茨均值方差模型的求解。在不允许卖空情况下的马柯威茨均值方差模型为：这是一个约束条件为线性，且含有不等式的二次规划模型。求解二次规划模型的基本思路是：首先应用塔克—库恩条件将该模型转化为线性规划，然后线性规划方法求出最优解。二次规划模型的求解在运筹学中已有成熟的方法，而且有现成的程序，只要将有关数据代入，即可很快求出最优解。例（有现成的程序）

有12只股票，取期望收益率从-1.82%开始，每次递增0.0011,到

3.71%为止，共51个点，用于计算有效边界。每取一个，应用马柯威茨均值方差模型可计算一个最小标准差，得到坐标系上的一点，当取遍51个点，可得到一条坐标系上的一条曲线，进而得到有效边界。股票名称：青鸟华光、国能集团、清华同方、G永鼎、中国卫星、宏图高科、绵阳高新、大唐电信、方正科技、上海科技、G金陵、飞乐股份时间：2004.4.7－2005.12.7，共20个月收益率数据

7-51马克维茨资产组合选择模型

现在，我们寻找报酬-波动性比率最高的资本配置线。7-52图7.11风险资产有效边界和

最优资本配置线7-53马克维茨资产组合选择模型每个人都投资于P，而不考虑他们的风险厌恶程度。大多数风险厌恶者更多的投资于无风险资产。

少数的风险厌恶者在P上投资的更多。7-547.4.2资本配置和分离特性分离特性阐明组合决策问题可以分为两个独立的步骤。决定最优风险组合，这是完全技术性的工作。整个投资组合在无风险短期国库券和风险组合之间的配置，取决于个人偏好。但在实际中，不同投资经理对证券估计的数据是不一样的，因此，他们得到不同的有效边界，提供不同的最优组合。这种偏差来自于证券分析的差异。7-55图7.13有效集组合与资本配置线7-567.4.3分散化的威力回忆:如果我们定义平均方差和平均协方差为:

7-57分散化的威力我们可以得出组合的方差:当证券之间的平均协方差为0时（所有风险都是公司特有的），组合方差在n变大时趋向于0，因此，当证券之间不相关时，分散化使组合的风险下降。由于经济层面的因素，使股票收益有正相关性。当高度分散化后，组合方差为正，第二部分趋向于7-58表7.4相关性和无相关性的证券等权重

构造组合的风险减少当持有分散组合时，某