保险产品的设计方案

PAGEPAGE12承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：郑州师范学院参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2011年8月赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛模拟编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：保险产品的设计方案摘要本文要解决的是投保问题。汶川大地震，7.23动车追尾……突如其来地意外使人们措手不及，为了使个人和家庭的安全得到保障，买保险成为人们的首选。针对这种情况，打算设计一种新的投保方案来满足人们的需求。在问题1中，分别用初等数学和建立动力系统模型两种方法得到每月交纳固定费用a，交满年限n,交满n年后每月领取固定额度工资b以及投保人的寿命m和月利率c之间的关系式，用初等数学知识进行列表求解得到的表达式与用建立动力系统模型求解得到的表达式相同，均为：@对于问题2，将已知数值代入@式，得到的常数表达式有Excel和MATLAB两种求解方法，最终求得b的具体值为983.7。在问题3中，将有关数值代入@式，得m、n的表达式为：(其中m>n,nz,m)，用MATLAB对此表达式进行绘图，得到图一，由图一分析可得：m与n成正比关系，即投保人的寿命越长，他（她）需要交纳的固定费用就越多。问题4解决的是最根本的问题，通过分析第五次人口普查结果并结合实际，最终取人的平均寿命n为72岁，用表示投保人对该保险的满意度，M表示保险公司的净收入，与0的三种不同关系，同时也表示了投保人三种不同的获利结果，并利用密度函数与分布函数的关系，结合投保人的死亡概率，分别得出M、关于时间t的表达式。通过对a,b,c,n及投保的总人数N进行赋值，即将问题由定性分析转化为定量分析，得到了M与t的函数关系式。当保险公司的净收入M与都取值相对较大时，满足设计思路，此时关键在于寻找使M,都满足就条件的最优解t。本方案用MATLAB与Excel求解，计算简便，高效准确，用MATLAB绘图，形象直观地表示出有关变量之间的关系。关键词：保险公司利益满意度动力系统模型MATLAB软件密度函数与分布函数问题重述汶川大地震，7.23动车追尾……夺取了无数生命，造成大量家庭支离破碎，经济损失异常严重，只有在那时，人们才想到自己没有买保险，而在平时，却都是抱着我很幸运，不会出事的态度，买保险不等于一定要出事，而是买一个心安，给自己、亲人、家庭一个保障。汽车保险、人寿保险……和人们生活联系越来越紧密。买保险是一个很专业的事情，为此保险公司拟设计一个新产品。总体思路是：投保人从一出生开始，每月交纳固定费用a元，交满n年（n是正整数）停止缴费，并从下一个月开始按月领取固定额度的工资b元，直到投保人死亡。只考虑一种例外情况：投保人交费未满n年死亡，保险公司全额退还投保人所有交费（不付利息），并按交费月数进行赔付。为简单起见，我们不需要考虑其他例外情况。假设银行的月利率为c，一直不变。保险公司只将投保人的交费及时存入银行，不进行其他投资。问题1：假设投保人恰好满m岁死亡（m>n,m为整数），保险公司不盈不亏，建立常数a,b,c,m,n的关系式，并尽量化简。问题2：在问题1中，假设a=1000元，n=20年，c=0.25%，m=80岁，求b的具体值。并写出所用计算工具及操作步骤（建议使用Excel）。问题3：在问题1中，假设a=1000元，b=2000元，c=0.25%，求m,n的关系式，并用图形或表格形象描述m,n的关系。问题4：要完成本产品的最终设计，需要哪些数据？并探讨获取和加工数据的有效方案。二、问题分析保险可以随时应对漫漫人生中的不测风云，旦夕祸福。买保险已成为大多数人生活中的一部分。保险的最大特点是不可预测性，因为各种保险都有相对应的行业方案，而人在一生中是变幻莫测的，各种意外不可预料。为此，保险公司提供了一种新产品，使人们的投保有了依据，并根据投保年限与人生命的长短进行分类讨论，以期使投保双方利益最大化，达到满意。对于问题一，可对每个月的月初，月末的本金利息进行列式计算，设计表格，按照此法可得，恰满m岁的这个月初保险公司针对此人的结算额为0，据此可得常数a,b,c,m,n的关系式，这适用于短寿命问题；此外，还可用差分方程知识建立动力系统模型进行分析，此法可求出有关通项，能够解决寿命年限的根本问题。对于问题二，将已知数值代入问题一中的式子，并用Excel可求得b的具体值，同时也可用MATLAB求解，两值相等，充分说明了计算结果的正确性。对于问题三，将其具体值代入问题一中的式子，化简整理可得m,n的关系式，可用MATLAB进行绘图，高效、形象、直观地表示出m,n的关系。对于问题四，关键在于寻找使M与都取相对较大值时的最优点，即使保险公司的利益与投保满意度均达到相对最大，这时得到平衡关系式来解决问题，三、模型假设投保人一出生就开始投保，每个月的投保时间和第一次投保的号数相同无意外发生的情况下，在前n年不取出投保钱，从n年到m年每月取出b元投保的钱及时存入银行，银行月利率一直不变，不满一月银行不付利息4、领取固定额度工资的时间和投保号数相同5、投保人的寿命呈正态分布，且在同一个月出生的人在同一天投保四、符号说明a：每月交纳的固定费用b：每月领取的固定额度工资c：银行的月利率n：交纳固定费用的年数m：死亡时的年龄（为整数）t：某人在第t月死亡（为整数）P（t）：第t月死亡的概率yi:第i个月月末保险公司的净收入（i≤12n）pj:第j个月月末保险公司的净收入(12n<j≤12m)y0=0，无人投保时保险公司的净收入N:一年内的投保总人数f（t）：投保人寿命的密度函数M：保险公司的净收入：投保人对该保险的满意度，即:投保人的平均寿命A:在第t个月死亡的总人数五、模型的建立与求解5.1.1对于问题1，要得到常数a,b,c,m,n的关系式，可以对一个人的投保情况进行分析，由已知投保人恰好满m岁死亡（m>n,n为整数），知式中要计算的月数为整数；又知最终结果是保险公司不盈不亏，可得投保人m岁这一天即此月末保险公司对此人的结算额恰为0。由于以月利率进行计算，并且都要以固定额进行缴费，因此需以一个月为单位对每月初，末的本金、利息状况进行分析，具体关系如下所示：模型一的建立与求解：月初/（元）月末/(元)第1个月aa(1+c)第2个月第3个月第4个月………………第k个月………………第12n个月第(12n+1)个月第(12n+2)个月第(12n+3)个月………………第(12n+r)个月………………第[12n+12(m-n)-1]个月第[12n+12(m-n)]个月由于问题1中要求保险公司最终不盈不亏，因此，在第[12n+12(m-n)]个月的月初，投保人领取固定额度的工资b元后，保险公司的净收入应为0元，即=0（1）由等比数列求和公式化简（1）得：（2）为了便于求问题2中的b值，因此将（1）式整理成(2)式。5.1.2问题2将a=1000元，n=20年，c=0.25%，m=80岁代入（2）式得，(3)用Excel求解得：b=983.7302为了更符合实际，取b=983.7用Excel求解b值的过程如下：1.在A1中输入2.单击工具栏中的自动求和按钮，即可得到b值求解b值，也可用MATLAB软件，计算结果为b=983.73017240906385482092600488973计算过程如下：>>symsb>>f1='1000*1.0025^960+b=1.0025^720*(1000+b)';>>[b]=solve(f1)b=983.730172409063854820926004889735.1.3问题3将a=1000元，b=2000元，c=0.25%，代入（2）式得：（4）将（4）式化简整理得：(其中m>n,nz,m)用MATLAB绘出其图像如下：图一n图一n>>clear>>symsnm>>n=m-(log10(1.0025^(12*m)+2)-log10(3))/(12*log10(1.0025));>>ezplot(n)>>由图一分析可知：m与n成正比关系，即投保人的寿命越长，他需要交纳的固定费用就越多。5.2模型一主要运用了初等数学知识对各月月初、月末的本金利息额进行一一列式，计算简便，便于理解。运用表格的形式使各结果一目了然。下面将用高等数学中差分方程知识建立动力系统模型来对此问题进行分析，此模型借助差分方程的平衡点及初始条件求出通项来解决问题，对问题有了全局的把握，具体求解如下：模型二的建立与求解：由题意分析可知：保险公司在前12n个月的收入来源只有投保人每月交纳的固定费用及其产生的利息，即第i个月末保险公司的总收入=第(i-1)个月末保险公司的总收入+投保人每月交纳的固定费用a元+本月的利息第i个月末保险公司的总收入第i个月末保险公司的总收入第i-1个月末保险公司的总收入投保人每月交纳的固定费用a元本月的利息图二：第i个月末保险公司的总收入由图二得：（5）整理（5）式得：，设1+c=r,a(1+c)=q,(6)(6)式是一阶线性常系数差分方程，则（6）式得平衡点为（7）动力系统模型中的定理3得：（8）（9）由（8）、（9）得：（10）由（6）、（7）、（8）、（10）得：（11）将k=12n代入（11）式得：由题意分析可知：保险公司在12n个月之后的总收入为除去投保人每月领取的固定工资b元后的本息和，即第j个月末保险公司的总收入=第(j-1)个月末保险公司的总收入-投保人每月领取的固定工资b元+本月的利息第j个月末保险公司的总收入第j个月末保险公司的总收入第j-1个月末保险公司的总收入除去投保人每月领取的固定工资b元本月的利息图三：第j个月末保险公司的总收入由图三得：（12）由假设2和5得：（13）差分方程（13）式的平衡点是（14）由动力系统模型中的定理3得：（15）由(11)、(12)、（15）式得：（16）由保险公司不盈不亏知：（17）把（17）式代入（16）式得：对于问题2和问题3的求解，在5.1.2和5.1.3中已有详细过程。5.3对于问题四，关键在于寻找使M与n都取相对较大值时的最优点，即使保险公司的利益与投保满意度均达到相对最大，这是得到平衡关系式来解决问题，具体分析求解过程如下：模型三的建立与求解：据假设及其定义，有如下情况：（1） 表示投保人获利；（2） 表示投保人和保险公司等价交换；（3） 表示保险公司获利。由假设5知，由密度函数与分布函数的关系得：在第t个月死亡的总人数为A=NP(t)当t<12n时，M=A()(I)(II)当t>12n时，(III)(IV)对于(I)式，由于A=NP(t)，P(t)随着t的增大而增大，（）表示t个月的总利息，显然，（）随着t的增大而增大，即M是关于t的增函数。由于（）表示t个月的总利息，即>0,(>at)因此，<0,即保险公司获利且随着时间的延长获利越多。为了得到方程（III）、（IV）的图像，需对、、N、a、b、c、n赋值。通过查找《中国统计年鉴2010》，得到第五次人口普查的平均寿命（见附录一），分析图表可知：随着时间的增加，人的平均寿命逐渐延长。再结合实际，最终取人的平均寿命为72岁。为了使问题更加简化，令=1，a=1000,c=0.25%,b=1500,N=10000,n=35,则用MATLAB作图得到图四，具体过程见附录二MM图四：M与t的关系图像此时投保人相当于把钱存入银行，因此，>0即投保人满意。图中M与t的这种关系恰是一种特殊状况，而在解决实际问题的过程中，当M与都取值相对较大时，满足设计思路，只需寻找使M、都满足条件的最优点。六、模型的分析与评价通过对保险公司第1、第2、第3个月月初、月末的净收入分析，分别列出了与之对应的净收入的表达式，对这些表达式对比，分析，从中发现了一些规律，进而列出了该保险公司第12n个月初、月末净收入的表达式。再通过对第12n+1、12n+2、第12n+3个月月初、月末的净收入分析，发现了一些规律，从而列出了第12n+r个月月初、月末的净收入表达式。此方法是运用了初等数学知识建立了初等模型，列出的表直观、明了，能快速得出a,b,c,m,n之间的关系。在分析过程中为模型二中的递推公式（差分方程）提供了重要依据。此模型的求解过程中也用到了Excel和MATLAB软件，提高了运算速率和准确性。在模型一的基础上，保险公司相邻两个月月末净收入之间的关系以图表的形式呈现出来，便于以下分析，能快速地列出差分方程。利用动力系统模型的定理，差分方程平衡点及初始条件可以直接得出第k个月初、月末保险公司的净收入的通项，便于模型三的应用。针对本模型的最优设计，既要考虑保险公司的收益又要考虑投保人的满意度，以t与12n的大小关系进行讨论，分别得出保险公司的收益M、投保人的满意度