2023年江苏省常州市省常中高考数学五模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+8)上单调递增，则()

06a6

A./(-3)</(-log313)</(2-)B./(-3)</(2)</(-log313)

66

C./(2°-)</(-log313)</(-3)D./(2°-)</(-3)</(-log313)

2.若集合4=卜»=5/^},8=何_34》<3},则()

A.[-3,2]B.{x|2<x<3)

C.(2,3)D.{X-3Wx<2}

3.设S,是等差数列{《,}的前”项和，且S4=4+3,则4=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知向量B满足|万|=1,151=2,且汗与5的夹角为120。，则,-3同=()

A.而B.737C.2V10D.743

222

5.已知双曲线G：与-q=1与双曲线。2：?-龙2=1没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()

A.(1,G]B.[百,+℃)C.(1,5/5]D.[后,+8)

6.已知小后是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且归国>|尸周，椭圆的离心率为e1,双曲线

的离心率为-2,若附|=|66|，则?的最小值为()

6]3

A.6+28B.6+2及C.8D.6

7.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有

一张有奖的概率为()

1374

A.—B.-C.—D.一

25105

8.已知整数X，)'满足/+/2<10,记点"的坐标为(x,y),则点"满足的概率为()

A.—B.—C.—D.—

35353737

9.若a>0,b>0,则“a+bV4”是“曲W4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知等差数列{%}中，%=7吗0+“7=°，则生+。4=()

A.20B.18C.16D.14

11.已知复数2满足j=1-1,则N=()

Z

12.已知产为抛物线y2=4x的焦点，点A在抛物线上，且|AF|=5,过点尸的动直线/与抛物线8,C交于两点，。为

坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为给出下列四个命题：

①在抛物线上满足条件的点A仅有一个；

②若P是抛物线准线上一动点，贝(I|PA|+陀。|的最小值为2万；

③无论过点尸的直线/在什么位置，总有NQW8=NQ0C；

④若点。在抛物线准线上的射影为。，则三点8、O、。在同一条直线上.

其中所有正确命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数〃x)=sin&x+Gcoss(XWR,0>0)满足/(a)=0,〃0=2,且|£一力|的最小值等于则

to的值为.

14.若关于x的不等式108‘(4'"+九2')<°在%>()时恒成立，则实数4的取值范围是

2

15.在三棱锥S—A3C中，SA,SB,SC两两垂直且&4=SB=SC=2,点M为S—ABC的外接球上任意一点,

则MA-MB的最大值为.

16.设全集U=R,A={x|-3<xWl,xeZ},B=[x\x2-x-2>Q,xe,则,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）已知直线/：y="+m与椭圆三+与=1（。>。〉0）恰有一个公共点p,/与圆¥+>2=/相交于AB

ab~

两点.

（I）求％与加的关系式；

（ID点。与点尸关于坐标原点。对称.若当攵=-,时，AQAB的面积取到最大值标,求椭圆的离心率.

2

18.（12分）已知变换T将平面上的点11,；）（0,1）分别变换为点设变换T对应的矩阵为

（1）求矩阵加；

（2）求矩阵M的特征值.

19.（12分）如图，在四棱锥P-4BCO中，底面ABCO是矩形，M是的中点，平面A3CD,且

PD=CD-4>AD-2.

（1）求AP与平面CMB所成角的正弦.

（2）求二面角M-CB-P的余弦值.

20.（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为夕=「（r>0）,直线/的方程为0cos卜日，设直线/与

曲线C相交于A,B两点，旦AB=25,求r的值.

「-1「1

10-C

21.（12分）试求曲线y=s加x在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=,N=2

L°2」o1

22.(10分)在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在

数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点。为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为夕=1-sin8(0V。<2万,。>0),

M为该曲线上的任意一点.

3

(1)当=,时，求M点的极坐标；

(2)将射线绕原点。逆时针旋转■与该曲线相交于点N,求的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据题意，由函数的奇偶性可得/(—3)=/(3),/(—Iog313)=/(log313),又由2°6<2<log313<log327=3,

结合函数的单调性分析可得答案.

【详解】

根据题意，函数/(x)是定义在R上的偶函数，则/(—3)=〃3),/(-log313)=/(log313),

有2°-6<2<log,13<log327=3,

又由在(0,+。)上单调递增，则有/(20,6)<〃-108313)<〃—3),故选C.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题.

2.A

【解析】

先确定集合A中的元素，然后由交集定义求解.

【详解】

A=y=j2-x}=2},B=何-3<3},r.AcB={x|-3<xW2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键.

3.C

【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得生的值.

【详解】

由于等差数列{4}满足$4=4+3,所以4+42+%+4=%+3,。|+4+%=3,3a2=3,%=L

故选:C

【点睛】

本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

4.D

【解析】

先计算£石，然后将3可进行平方,，可得结果.

【详解】

由题意可得：

a-^=|a||^|cosl20=lx2x^--^=-1

.•・］，一36)=a-6a・b+9b=1+6+36=43

则口—3*历.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

5.C

【解析】

先求得G的渐近线方程，根据G，02没有公共点，判断出G渐近线斜率的取值范围，由此求得G离心率的取值范围•

【详解】

2222

双曲线。2：?-炉=1的渐近线方程为丁=±2%，由于双曲线G：千一点"=1与双曲线。2：?-尤2=1没有公共点，

所以双曲线G的渐近线的斜率2V2,所以双曲线G的离心率

a

故选:c

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.

6.C

【解析】

3

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简丁寸，结合基本不等式即可求解.

【详解】

设椭圆的长半轴长为。，双曲线的半实轴长为a',半焦距为c,

则q=£,02=二,设|尸段=加

由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：

归用一归用

\PFi\+\PF2\=2a=>a='^+c,=2d=>"=£—c

,3e3a

则—+U2=—+

et3c

7

当且仅当a=1C,时，取等号.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.

7.C

【解析】

先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由

对立事件的概率关系，即可求解.

【详解】

从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有C；=1()种情况，

37

2张均没有奖的情况有《=3(种)，故所求概率为1-6=布.

故选:C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.

8.D

【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.

【详解】

因为X，)'是整数，所以所有满足条件的点M(x,y)是位于圆F+/=10(含边界)内的整数点，满足条件/+,2«]0

的整数点有(0,0),(0,±1),(0,±2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)共37个，

满足x+y2百的整数点有7个，则所求概率为三.

故选：D.

【点睛】

本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.

9.A

【解析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取。力的值，推出矛盾，确定必要

性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当。>0,匕>0时，a+h>24ah,则当a+时，有2箍+解得向W4,充分性成立；当a=l,b=4

时，满足，出W4,但此时a+b=5>4,必要性不成立，综上所述，“。+/?44”是“她〈4”的充分不必要条件.

【点睛】

易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取“力的值，从

假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

10.A

【解析】

设等差数列｛4｝的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差，进而求得四+4即可.

【详解】

/、=7,。[+4d=7,4=15,

设等差数列《,｝的公差为d.由5，、得।皿5八，解得,C•所以

J”[tz10+a7=0[a,+9d+at+6d=Q[d=-2

a3+a4=2%+5d=2xl5+5x(-2)=20.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.

11.B

【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.

【详解】

—11

所以，z=---i.

22

故选：B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.

12.C

【解析】

①：由抛物线的定义可知|A丹=。+1=5,从而可求A的坐标；②：做A关于准线x=-l的对称点为4,通过分析

可知当三点共线时|PA|+|PO|取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值|A'O|；③：设出直线/方程,

联立直线与抛物线方程，结合韦达定理,可知焦点坐标的关系，进而可求=°，从而可判断出NOMB/OMC

的关系；④：计算直线的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点8、O、。在同一条直线上.

【详解】

解：对于①，设A（a,。），由抛物线的方程得打1,0）,则|AF|=a+l=5,故。=4,

所以A（4,4）或（4,T）,所以满足条件的点A有二个，故①不正确；

对于②，不妨设A（4,4）,则A关于准线x=—l的对称点为4（-6,4）,

tll\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>\A'O\=y[52=2y/i3,

当且仅当A',P,。三点共线时等号成立，故②正确；

对于③，由题意知，,且/的斜率不为0,则设/方程为：尤=，政+1（加工0）,

设/与抛物线的交点坐标为3（石,yj,。（马,必），联立直线与抛物线的方程为，

x=my+1.

<2\，整理得y•-4zny-4=0,则y+%=4加,y%=-4,所以

y=4%

玉+=47722+2,X1%2=（映]+1）（加必+1）=Tn?+4m2+1=1

制”+k-_21_.%=凹（，+1）+%（为+1）=2%+2%+2%历

MC

MBX{+1x2+1（Xj+l）（x2+1）Xj+x2+XyX24-1

2x4777-Qvv]x4

=•"二=o.故MB,MC的倾斜角互补,所以N0M3=N0MC,故③正确.

4w+2+1+1

对于④，由题意知。（T,%），由③知，%+以=4九%%=-4

则％08="=­，k（）D=-丫2，由脸—koD=%=丝&=0,

玉MMX

知koB=k0D，即三点3、。、。在同一条直线上，故④正确・

故选:C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的

斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

利用辅助角公式化简可得/（x）=2sin13孔由题可分析|a-|的最小值等于g表示相邻的一个对称中心与一

I3，2

7F

个对称轴的距离为二,进而求解即可.

2

【详解】

由题J(x)=sina)x+43coscox=2sin(s+]),

因为〃。)=0"(⑶=2,且I二-⑶的最小值等于不即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为不

1JI

所以1T=5,即7=2〃，

FXU、I27r2TC.

所以69=于=五=1,

故答案为：1

【点睛】

本题考查正弦型函数的对称性的应用，考查三角函数的化简.

14.2>-3

【解析】

利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得X的取

值范围。

【详解】

由logl(4'T+4-2')<()得4川+4.2，〉1,两边同除以2%得到，2>-^-4-2\

22

'：x>0»设，=2*>1,-4f,由函数y=』-4f在(1,+8)上递减，

所以！一期<1一4=一3,故实数4的取值范围是22-3。

t

【点睛】

本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。

15.26+2

【解析】

先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到,SAC外心距离最

大的问题，即可求得结果.

【详解】

因为SA,SB,SC两两垂直且SA=SB^SC=2,

故三棱锥5-ABC的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.

且外接球的球心为正方体的体对角线的中点。，如下图所示：

M

二马

容易知外接球半径为6.

设线段AB的中点为。一

故可得加.蕨=（丽+印）・（丽+萌）

=（丽+型）•（丽-叫

=阿-硒=网—2,

故当|函|取得最大值时，拓[.砺取得最大值.

而当M,A,6在同一个大圆上，且MQ|_LAB,

点M与线段AB在球心的异侧时，|丽|取得最大值，如图所示：

此时，MO=4?>,OO,=\^iO^-=（广+1―1=犷2：

故答案为：26+2.

【点睛】

本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.

16.{0,1}

【解析】

先求出集合A,B,然后根据交集、补集的定义求解即可.

【详解】

解：A={-2,-l,0,l},8={x|x4-l或xN2}；

...加B={x[—l<x<2}；

二Ac金，B={0,1}.

故答案为：{0』}.

【点睛】

本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)m1=a2k2+b2(IDe=

4

【解析】

(I)联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于0,即可求出结果;

(II)因点。与点P关于坐标原点O对称，可得aQAB的面积是△OAB的面积的两倍，再由当人=-4时，AOAB的

2

2

面积取到最大值幺，可得O4LQ8,进而可得原点。到直线/的距离，再由点到直线的距离公式，以及(I)的结果,

2

即可求解.

【详解】

y=kx-\-m,

2y2,得(42%2+〃2卜2+242^^+々2(/篦2一〃2)=0,

(I)由x

hU

则△=^2a2kmj—4^a2k2+b2^a2-/)=0

化简整理，得加2=/左2+〃

(n)因点。与点P关于坐标原点。对称，故AQAB的面积是AQ4B的面积的两倍.

12

所以当左=一上时，AQ48的面积取到最大值土，此时。4LQB,

22

从而原点。到直线/的距离〃=打，

\m\22

又d=-7-，故m_a

“2+1F+T-T

-r-，/*、ZQa~k-+b~ci~,2,21)-

再由(I),得一;------=一，则左2=1—--

k2+\2a2

D/14^,2,2&21b23

又k=一二,故左一二1----=—9B即n一z~=一，

2a24a2&

UH2f2,b25Vio

从而e--7—1—=一,B即ne=---.

a2a284

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式

等求解，属于中档试题.

3--

18.(1)M=2(2)1或6

-44_

【解析】

ab―

(1)设用=,,根据变换可得关于"c/的方程，解方程即可得到答案;

ca

(2)求出特征多项式，再解方程，即可得答案;

【详解】

3

ababb0

(1)设河=贝IJ2

Lc"」\_cdd1

4

[1,9

n-I--h——x

24a—3

1J-c

CH—d=2b———3——

即2，解得2,则"=2

c=-4-44

d=4

d=4

3

A

-3-

22

(2)设矩阵M的特征多项式为/U),可得/(乃==(A-3)(2-4)-6=/l-7/l+6,

44

令/(4)=0,可得4=1或2=6.

【点睛】

本题考查矩阵的求解、矩阵M的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

4

19.(1)y.

⑵迎.

10

【解析】

分析：(1)直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；(2)

先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.

详解：

（I）,••ABC。是矩形，

二ADLCD,

又•••夫£），平面ABCD,

APD±AD,PDLCD,即PD,AD,CD两两垂直，

...以。为原点，DA,DC,。尸分别为工轴，》轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

由/。=8=4,AD=2,得A（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,D（0,0,0）,尸（0,0,4）,M（l,0,2）,

贝(IQ=(-2,0,4),配=(-2,0,0),MB=(1,4,-2),

设平面CMB的一个法向量为勺=（x,，x，Z］）,

麻衣=0-2x.=0,八八

则《五示一n'即｛上49'令M=1‘得玉=0,4=2,

MB=0［玉+4y-2Z］=0

:.勺=（0,1,2）,

4

••小M”褊二输5

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为j.

（2）由（1）可得定=（0,4,T）,

设平面PBC的一个法向量为4=（A2，y2,z2）,

觉•石=0—2X=0

即《2〜

则<--,,令%=1，得%=0,z2=1,

PC-n2=04y2-4Z2=0

:.&=(。,1,1)，

故二面角M-CB-P的余弦