北京市通州区2023-2024学年高一上学期期中质量检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1北京市通州区2023-2024学年高一上学期期中质量检测数学试题一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据交集的含义知.故选：B2.命题:的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】命题：为存在量词命题，其否定为：.故选：D.3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】对A，函数的定义域为，不关于原点对称，则其不是奇函数，故A错误；对B，，根据指数函数的性质知其不是奇函数，故B错误；对C，设，，而，则在区间不是单调递增，故C错误；对D，根据幂函数的图象与性质知是奇函数且其在区间上单调递增，故D正确.故选：D.4.已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示,则的值为（）036306A.9 B.6 C.3 D.0【答案】B【解析】.故选：B.5.有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以，又因为都为有限集合，所以，则正向可以推出，若，举例，，但，则反向无法推出，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.设函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】的对称轴为，且开口向上，则要使其在区间上增函数，需，解得，则其取值范围为.故选：C.7.下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】对于A，由，得，取，显然，A错误；对于B，由，取，显然，B错误；对于C，由，取，显然，C错误；对于D，由，得，则，而，因此，所以，D正确.故选：D.8.向体积相同且高为的花瓶中，注水注满为止.如果注水量与水深的函数关系式如图所示，那么花瓶的形状是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据函数图像知：开始阶段相同的高度下体积增加得快，结束阶段增加得慢，故花瓶形状为下宽上窄的形状，对比知B满足.故选：B.9.我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，为奇函数，定义域为关于原点对称，故，，，即，即，故，故，即对称中心为.故选：A.10.公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为(其中为非零常数,为无理数,，则以下结论正确的是（）A.若，则为奇函数B.若，则函数的最小值为2C.若，则方程没有实数根D.若，则函数为单调递增函数【答案】C【解析】显然函数的定义域为R，对于A，当时，，函数是偶函数，A错误；对于B，当，，函数，B错误；对于C，由，得或，当时，，当时，，因此方程没有实数根，C正确；对于D，当时，有，而函数是减函数，也为减函数，因此函数是减函数，D错误.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是_____________.【答案】【解析】函数的定义域满足，解得，故函数定义域为.故答案为：.12.不等式的解集为_____________.【答案】【解析】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.故答案为：.13.能说明“”为假命题的一个实数的值为_______.【答案】（答案不唯一）【解析】取，则，恒成立，故“”为假命题.故答案为：.14.设函数，若当时，存在实数，使得，则的值为_______.若存在最大值，则实数的最小值为_______.【答案】180【解析】当时，，由，得，解得，所以；当时，在上单调递增，，当时，在，上单调递增，当时，，当，恒成立，又，则不存在最大值，即不符合题意，当时，当时，恒有，而，则函数有最大值0，符合题意，当时，在上单调递减，，，当，即时，函数有最大值，因此函数有最大值时，所以实数的最小值为0.故答案：180.15.狄利克雷函数定义为:当自变量取有理数时，函数值为1当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数的性质:①的值域为；②若，则有成立；③函数的图象关于轴对称；④不存在，使得为等腰直角三角形.其中表述正确的是_______.【答案】①③④【解析】对于①，函数的值域为，故①正确；对于②，若均为有理数，则为有理数，，，，则，故②错误；对于③，若x是有理数，则是有理数，则，若x是无理数，则是无理数，则，故对任意,都有，故函数是偶函数，③正确；对于④，若为等腰直角三角形，不妨设角为直角，则的值的可能性只能为，或，由等腰直角三角形的性质得，所以，这与矛盾，故不存在，使得为等腰直角三角形.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知全集，集合.（1）求和;（2）设集合，若，求实数的取值范围.解：（1）依题意，，则，，所以.（2）集合，而，因此或，解得或，所以实数的取值范围是或.17.已知指数函数的图象过点.（1）求函数的解析式；（2）试比较这三个数的大小，并说明理由；（3）若，求实数的取值范围.解：（1）设函数为，则，解得，即.（2）函数在上单调递减，且，故，即.（3）函数在上单调递减，，即，故，解得，即.18.已知函数.（1）证明:为偶函数；（2）用定义证明:在区间上单调递减.解：（1）因为，所以的定义域为，对于任意，因为，所以为偶函数.（2）当时，，任取，且，那么，因为，所以，从而，即.所以是上的减函数.19.刚刚结束的2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象，也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现:该商品在过去30天内，销售单价(单位:百元)与时间(单位:天)的函数关系近似满足(为常数),日销售量(单位:件)与时间的部分数据如下表所示:51015202530180310390420400330已知第5天的日销售收入为216百元.（1）求的值；（2）给出以下三种函数模型①；②；③，请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述与的变化关系，并求出函数的解析式；（3）记该商品在这30天内的日销售收入为(单位:百元)，求的最大值.解：（1）由题意得，解得．（2）由表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③中的函数为单调函数，故只能选②，即，由表中数据可得，，即，解得，故，．（3）由（1）可得，依题意，，所以当时取得最大值，即，即的最大值为.20.设函数，函数，用表示中的较大者，记为，再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知：条件①；条件②恒成立.（1）求不等式的解集；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；注:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）若选择条件①因为，所以，故，所以，因为，故，解得或，所以不等式解集为.若选择条件②恒成立，故最小值为，所以对称轴方程为，所以，故，以下同条件条件①.（2）不论是条件①或是条件②均可以得到，因为，根据（1）中条件①的同种方法即可得到当时，，所以，又因为当，不等式恒成立，故当，不等式恒成立，即恒成立，，因为，当且仅当时等号成立，故，即.21.已知正整数集合,对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有,则称集合具有性质.记是集合中的最大值.（1）判