复变函数课件

第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考2一、复数的概念1.虚数单位:对虚数单位的规定:3虚数单位的特性:……42.复数:5例1解令6

两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.

复数z

等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.7二、复数的代数运算1.两复数的和:2.两复数的积:3.两复数的商:84.共轭复数:

实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例2解95.共轭复数的性质:以上各式证明略.10例3解11例4解12例5解13例6解14例7证15例8解1617三、小结与思考

本课学习了复数的有关概念、性质及其运算.重点掌握复数的运算,它是本节课的重点.18思考题复数为什么不能比较大小？19一、复平面1.复平面的定义202.复数的模(或绝对值)显然下列各式成立213.复数的辐角说明辐角不确定.22辐角主值的定义:234.利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.245.复数和差的模的性质25利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式欧拉介绍6.复数的三角表示和指数表示26例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为27指数表示式为故三角表示式为指数表示式为28故三角表示式为指数表示式为29例2解(三角式)(指数式)30例3解31例4证32两边同时开方得33例5证34两边平方,并化简得下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.35例6解所以它的复数形式的参数方程为3637例7证38两边同时平方,39例8求下列方程所表示的曲线:解40化简后得41二、复球面1.南极、北极的定义42球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2.复球面的定义433.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.4445三、小结与思考学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．46思考题是否任意复数都有辐角?47思考题答案否.它的模为零而辐角不确定.放映结束，按Esc退出.48一、乘积与商定理一

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证49两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为[证毕]50说明由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.例如，51由此可将结论推广到n

个复数相乘的情况:52定理二

两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证按照商的定义,[证毕]53例1解54例2解如图所示,5556二、幂与根1.n次幂:57棣莫佛公式棣莫佛介绍推导过程如下:2.棣莫佛公式58根据棣莫佛公式,59当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.60从几何上看,61例3解6263例4解64即65例5解即6667例6解故原方程可写成68故原方程的根为69例7证利用复数相等可知:70等式得证.71三、小结与思考

应熟练掌握复数乘积与商的运算.在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:

棣莫佛(deMoivre)公式放映结束，按Esc退出.72一、区域的概念1.邻域:说明732.去心邻域:说明743.内点:4.开集:

如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.755.区域:

如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.6.边界点、边界:

设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P

的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.76D的所有边界点组成D的边界.说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(2)区域D与它的边界一起构成闭区域77以上基本概念的图示区域邻域边界点边界7.有界区域和无界区域:78(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.79二、单连通域与多连通域1.连续曲线:平面曲线的复数表示:802.光滑曲线:

由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.813.简单曲线:

没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).82换句话说,简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质:

任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.内部外部边界83课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭844.单连通域与多连通域的定义:

复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域85三、典型例题例1

指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).86是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.87表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.88有界的单连通域.89例2解

满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.90是多连通域.不是区域.9192单连通域.93一、复变函数的定义1.复变函数的定义:942.单(多)值函数的定义:3.定义集合和函数值集合:954.复变函数与自变量之间的关系:例如,96二、映射的概念1.引入:972.映射的定义:98993.两个特殊的映射:100且是全同图形.101102根据复数的乘法公式可知,103(如下页图)104

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.105以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)1064.反函数的定义:107根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.108解三、典型例题例1还是线段.109例1解110例1解仍是扇形域.111例2解112所以象的参数方程为113四、小结与思考

复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了.114思考题“函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？115一、函数的极限1.函数极限的定义:注意:1162.极限计算的定理定理一证根据极限的定义(1)必要性.117(2)充分性.118[证毕]说明119定理二与实变函数的极限运算法则类似.120例1证(一)121根据定理一可知,证(二)122123例2证124根据定理一可知,125二、函数的连续性1.连续的定义:126定理三例如,127定理四128特殊的:(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.129例3证130三、小结与思考

通过本课的学习,熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质.

注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同,但在实质上有很大的差异,它较之后者的要求苛刻得多.131思考题132一、复变函数的导数与微分1.导数的定义:133在定义中应注意:134例1解135例2解136137例3解1381392.可导与连续:

函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证140[证毕]1413.求导法则:

由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:1421434.微分的概念:

复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.定义144特别地,145二、解析函数的概念1.解析函数的定义1462.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.147例4解由本节例1和例3知:148149150例5解151例6解152153课堂练习答案处处不可导,处处不解析.154定理以上定理的证明,可利用求导法则.155根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.156三、小结与思考

理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.

注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.157思考题158一、主要定理定理一柯西介绍黎曼介绍159证(1)必要性.160161(2)充分性.由于162163164[证毕]165166解析函数的判定方法:167二、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,168四个偏导数均连续指数函数169四个偏导数均连续170例2证171172例3解173例4证174175例5解176课堂练习答案177例6证178参照以上例题可进一步证明:179例7证根据隐函数求导法则,180根据柯西－黎曼方程得181例8证182183三、小结与思考

在本课中我们得到了一个重要结论—函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.184思考题185思考题答案放映结束，按Esc退出.186Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料187一、指数函数1.指数函数的定义:188指数函数的定义等价于关系式:1892.加法定理证190例1解191192例2解求出下列复数的辐角主值:193194195例3解196二、对数函数1.定义197其余各值为特殊地,198例4解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.199例5解200例6解2012022.性质203证(3)[证毕]204三、乘幂与幂函数1.乘幂的定义注意:205206特殊情况:207208例7解答案课堂练习209例8解2102.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,211它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,212四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.213214例9解215有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.216(注意：这是与实变函数完全不同的)217其他复变数三角函数的定义218例10解219例11解220例12解2212222.双曲函数的定义223它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以为周期的周期函数,224例13解225五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得226

同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义227例14解228六、小结与思考

复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数229思考题

实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?230一、用复变函数表示平面向量场平面定常向量场:

向量场中的向量都平行于某一个平面S,而且在垂直于S的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的;场中的向量也都与时间无关.显然,向量场在所有平行于S

的平面内的分布情况是完全相同的,可以用So平面内的场表示.231232例如,一个平面定常流速场(如河水的表面)平面电场强度向量为233二、平面流速场的复势1.流函数:如果它在单连域B

内是无源场(即管量场),234流线2352.势函数:等势线(或等位线)236平面流速场的复势函数(复势)柯西–黎曼方程3.平面流速场的复势函数:在单连域内可以作一个解析函数237

给定一个单连域内的无源无旋平面流速场,就可以构造一个解析函数——它的复势与之对应;反之,如果在某一区域(不管是否单连)内给定一个解析函数,就有以它为复势的平面流速场对应,并可以写出该场的流函数和势函数,得到流线与等势线方程,画出流线和等势线的图形,即得描绘该场的流动图象.238例1解239例2解由对称性,240因为流体不可压缩,241流过圆周的流量为242蓝色为等势线,红色为流线.(流动图象如下)243解例3与例2类似,沿圆周的环流量为244245对比例1和例2的结果,因此,只须将例2图中流线与等势线位置互换,即可得涡点所形成的场的流动图象.蓝色为流线,红色为等势线.246三、静电场的复势当场内没有带电物体时,静电场无源无旋.247与讨论流速场一样,就是说,等值线就是向量线,即场中电力线.248249静电场的复势(复电位)在B内可决定一个解析函数

利用静电场的复势,可以研究场的等势线和电力线的分布情况,描绘出场的图象.250例4解因为导线为无限长,因此垂直于xoy

平面的任何直线上各点处的电场强度是相等的.251又因为导线上关于z

平面对称的两带电微元段所产生的电场强度的垂直分量相互抵消,只剩下与xoy

平面平行的分量.故所产生的静电场为平面场.由库仑定律,252253254一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,255简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:

在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.2562.积分的定义:257(258关于定义的说明:259二、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件证正方向为参数增加的方向,260261根据线积分的存在定理,262当n

无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,263在形式上可以看成是公式2642.积分的计算法265在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.266例1解直线方程为267这两个积分都与路线C无关268例2解(1)积分路径的参数方程为y=x269(2)积分路径的参数方程为y=x270y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为271例3解积分路径的参数方程为272例4解积分路径的参数方程为273重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.274三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式275性质(4)的证明两端取极限得[证毕]276例5解根据估值不等式知277278四、小结与思考

本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.279思考题280一、问题的提出观察上节例1,此时积分与路线无关.观察上节例4,281观察上节例5,由于不满足柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.282二、基本定理柯西－古萨基本定理定理中的C可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.柯西介绍古萨介绍283关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.284三、典型例题例1解根据柯西－古萨定理,有285例2证由柯西－古萨定理,286由柯西－古萨定理,由上节例4可知,287例3解根据柯西－古萨定理得288289四、小结与思考通过本课学习,重点掌握柯西－古萨基本定理:并注意定理成立的条件.290思考题应用柯西–古萨定理应注意什么?291思考题答案(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用.放映结束，按Esc退出.292Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料293一、问题的提出根据本章第一节例4可知,由此希望将基本定理推广到多连域中.294二、复合闭路定理1.闭路变形原理︵︵295︵︵︵︵︵︵︵︵296得︵︵︵︵297解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.2982.复合闭路定理那末299300三、典型例题例1解依题意知,301根据复合闭路定理,302例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,303例3解304由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.305例4解由上例可知306四、小结与思考本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:307思考题复合闭路定理在积分计算中有什么用?要注意什么问题?308一、主要定理和定义定理一由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)1.两个主要定理:309310定理二证利用导数的定义来证.311由于积分与路线无关,312313由积分的估值性质,314此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]3152.原函数的定义:原函数之间的关系:证316那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:[证毕]3173.不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)318证根据柯西-古萨基本定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.319二、典型例题例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,320例2解(使用了微积分学中的“凑微分”法)321例3解由牛顿-莱布尼兹公式知,322例3另解此方法使用了微积分中“分部积分法”323例4解利用分部积分法可得课堂练习答案324例5解325例6解所以积分与路线无关,根据牛—莱公式:326三、小结与思考本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿—莱布尼兹公式.在学习中应注意与《高等数学》中相关内容相结合,更好的理解本课内容.327思考题解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同?328一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C

的变化而改变,求这个值.329330二、柯西积分公式定理证331332上不等式表明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式柯西介绍333关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.334三、典型例题例1解335由柯西积分公式336例2解由柯西积分公式337例3解由柯西积分公式338例４解根据柯西积分公式知,339例5解340例5解341由闭路复合定理,得例5解342例6解根据柯西积分公式知,343比较两式得344课堂练习答案345四、小结与思考柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:346思考题柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?347思考题答案可以.其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按Esc退出.348一、问题的提出问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?349二、主要定理