2000-2001学年第二学期高等数学期中考试试卷答案

2000-2001学年第二学期高等数学期中考试试卷答案PAGE1第4页共9页2000-2001学年第二学期高等数学期中考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．已知球面的一直径的两个端点为和，则该球面的方程为______________________________．2．设，则______________________．3．设二元函数，则_______________．4．若函数在矩形区域上连续，且，则________________．5．设，则___________________．答案：⒈；⒉；⒊；⒋；⒌．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．下列直线中平行坐标面的是________．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．2．旋转曲面是______________．（A）．坐标面上的双曲线绕轴旋转而成；（B）．坐标面上的双曲线绕轴旋转而成；（C）．坐标面上的椭圆绕轴旋转而成；（D）．坐标面上的椭圆绕轴旋转而成．3．与在点处连续是的______________．（A）．必要条件；（B）．充分条件；（C）．充分必要条件；（D）．既非充分条件，又非必要条件．4．设平面区域由直线，，，围成，若，，则，，之间的关系是___________．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．5．设曲线是任意不经过的区域内的曲线，为使曲线积分与路径无关，则___________．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．答案：即，解得，，所以，，因此，曲线在点处的切线方程为．五．（本题满分6分）计算二重积分，其中为．解：作极坐标变换则有六．（本题满分7分）证明：曲面，，所围立体的体积等于，其中是连续的正值函数，且，，．解：所求立体在面上的投影区域为，因此有七．（本题满分7分）求曲面积分，其中是曲面的上侧．解：添加曲面，取下侧，设闭曲面（取外侧）所围区域为，由Gauss公式，得（对称性）八．（本题满分7分）计算曲线积分，其中为圆周．解：圆周的参数方程为，则因此，九．（本题满分7分）设，，其中与分别具有二阶连续的导数与偏导数，求．解：令：，，则．十．（本题满分8分）设函数在平面上有连续的一阶偏导数，且曲线积分与积分路径无关，并且对任意的，恒有试求．解：设，由曲线积分与路径无关的条件，得，由此得，其中为待定函数．由题设：，得上式两端对求导，得所以，因此，十一．（本题满分8分）设曲线的方程为，函数有连续的一阶偏导数，为曲线外一点，线段是点到曲线的最短距离，点在曲线上，证明：曲线上点处的法线必过点．解：设，，由题设知，必使函数在条件下取最小值．令：解方程组，解上面方程组中的前两个方程，得这就是直线的方程，其斜率为．又曲线在点处的切线的斜率为所以，因此，，所以为曲线在点处的法线．十二．（本题满分8分）计算曲线积分，其中球面与柱面的交线，从轴的正向看，为逆时针方向．解：设上半球面被柱面所截下的部分为，则