高中数学课时作业（北师大版选修第一册）章末质量检测(三)

章末质量检测(三)空间向量与立体几何一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知空间向量a＝(λ＋1,1，λ)，b＝(6，μ－1,4)，若a∥b，则λ＋μ＝()A．3B．－3C．5D．－52．在三棱锥A­BCD中，E是棱CD的中点，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))C．－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))3．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c4．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列选项中与向量eq\o(MC1,\s\up6(→))相等的是()A．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cD.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c5．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABCD的法向量，则y2等于()A．2B．0C．1D．无意义6．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E、F分别是CC1，D1B1的中点，则EF与AB1所成角的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),3)8．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝eq\r(6)，则AA1与平面AB1C1所成的角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，则下列四式中其中正确的有()A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))C.eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))10．以下四个命题中，其中正确的是()A．已知e1和e2是两个互相垂直的单位向量，a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，且a⊥b，则实数k＝6B．已知正四面体O­ABC的棱长为1，则(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝1C．已知A(1,1,0)，B(0,3,0)，C(2,2,3)，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上正投影的数量是eq\f(\r(5),5)D．已知a＝e1－2e2＋e3，b＝－e1＋3e2＋2e3，c＝－3e1＋7e2({e1，e2，e3}为空间向量的一个基)，则向量a，b，c不可能共面11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD­A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2B.eq\o(AC1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0C．向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°D．BD1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)12．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)AA1＝eq\r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是()A．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))时，B1，P，D三点共线B．当eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(D1P,\s\up6(→))C．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))时，D1P∥平面BDC1D．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5eq\o(A1P,\s\up6(→))时，A1C⊥平面D1AP三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．直三棱柱ABC­A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BA1,\s\up6(→))＝________.14．已知a＝(x，－3,4)，b＝(－2，y，－8)，且a∥b则|a|＝________.15．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝eq\r(5)，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．16．如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为________；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．求证：四边形ABCD是一个梯形．18．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为直角梯形，DE∥CF，∠EDC＝90°，四边形ABCD为矩形，平面CDEF⊥平面ABCD，AD＝DE＝2，CD＝CF＝4，点P为CF的中点，点Q为BE的中点．(1)求证：DQ⊥BP；(2)求二面角Q－AD－B的余弦值．19．(本小题满分12分)四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点D到平面PFB的距离．20．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF＝2BE＝2.(1)求直线AD和平面AEF所成角的大小；(2)求二面角E－AF－D的平面角的大小．21．(本小题满分12分)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足eq\f(AD,DB)＝eq\f(CE,EA)＝eq\f(1,2)(如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②)．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在