复习下6(无穷级数)

复习–6

无穷级数主要考点:数项级数的判敛幂级数求收敛域、和函数及函数的幂级数展开傅氏级数展开及收敛问题1.数项级数的审敛法(1)利用部分和数列的极限判别级数的敛散性(2)正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限(3)任意项级数审敛法Leibniz判别法:

且则交错级数收敛,—绝对收敛与条件收敛且余项绝对收敛的判别—利用正项级数判别法2.求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.若3.函数展开成幂级数•直接展开法•间接展开法—利用已知展式的函数及幂级数性质—利用泰勒公式常用公式:求导展式•求部分和式极限4.幂级数和函数的求法求和•映射变换法

逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•数项级数求和5.傅里叶级数(1)周期为2

的函数的傅里叶展开其中注意:若为间断点,则级数收敛于(2)在[0,

]上函数的傅里叶展开法

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数(3)周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式注意:(x

间断点)其中为正弦级数.2)当f(x)为奇函数时,为间断点,级数收敛于1)若为余弦级数.当f(x)为偶函数时,实例分析

级数收敛,当

时级数发散.当

时提示:故

a<1

时原级数收敛;a>1

时原级数发散;a=1

时,故原级数也发散1.给定级数填空题

(题1-5)2.

幂级数的收敛域为提示:令当时,级数为,发散则化为标准幂级数其收敛半径为故原级数级数的收敛域为即故原级数收敛域为4.设,又设S(x)是f(x)的以2

为周期的余弦级数展开式的和函数,则提示:3.

级数的收敛半径R=

.提示:(03届考题)5.

设的傅立叶级数为则系数,级数在处收敛于提示:选择题

(题6-10)(常数a>0)(

)6.级数(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)收敛性与a

的有关.

(L.P504题29)提示:故原级数绝对收敛.C～肯定收敛的是（)7.设则下列级数中提示:D收敛绝对收敛的收敛半径为R1,则必有()8.设级数提示:参看P196性质1及P198注.C的收敛半径为R,级数例如,时,收敛半径R=1,(02届考题)9.已知在收敛,则此级数在处()(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定提示:令由阿贝尔定理知B因此时绝对收敛,即处绝对收敛.原级数在10.设函数而其傅立叶级数为其中则提示:S(x)是对f(x)在(–1,0)上作奇延拓后展开B的傅立叶级数11.

证明:若12.

判别级数的敛散性.则级数发散.证:由于解:该级数为交错级数,且,故级数收敛.(03届考题)(03届考题)13.讨论

a

为何值时级数收敛,取何值时发散.解:当a>e

时,原级数发散;当0<

a<e

时,原级数收敛.14.设是收敛的正项级数,证明收敛证:由于强级数收敛,故原级数收敛.思考.设常数(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)收敛性与

有关.收敛,则级数且级数C(LP504题30)15.若级数及都收敛,且证明级数收敛.证明:因为而收敛,收敛.又由及收敛,知收敛.所以16.

试求幂级数的收敛域及和函数.提示:级数的收敛半径R=1,收敛域为(1,3).(03届考题)练习题:试求幂级数的收敛域及和函数.(04届考题)17.

将函数展成x

的幂级数.解:18.

将函数展为

x

的幂级数,并指出其收敛域.

解:收敛区间为(03届考题)19.将展成x

的幂级数.解:20.将函数展成余弦级数.解:将f(x)

进行偶延拓和周期延拓,则练习.将展开成正弦级数.(02届考题)

答案.备用题:1.判别级数绝对收敛还是条件收敛,并求其和.解:因为所以级数不绝对收敛,又显然级数满足莱布尼兹条件,故原级数条件收敛,其和为2.求级数的收敛域与和函数.解:令则当时,发散;故级数收敛域为在其上和函数为3.求幂级数的收敛域与和函数,并由此导出解:当x=2时,发散;当x=–2时,收敛;故所给的收敛域