差分与等距结点插值公式

2.5

差分与等距节点插值公式上面讨论的是节点任意分布的Newton插值公式，但在实际应用中，经常碰到等距节点的情形，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，这时，Newton插值公式的形式会简单一些，而关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表示，避免了除法运算。

1、定义：设有等距节点xk

=x0+kh(k=0,1,…,n)，步长h为常数，记fk=f(xk)，称相邻两个节点xk,xk+1处的函数值的增量fk+1

fk(k=0,1,…,n-1)为函数f(x)在点xk处以h为步长的一阶差分，记为

fk，称为向前差分：一、差分及其性质向前差分一般，以k阶差分定义k+1阶差分：常用的差分还有两种：向后差分：另介绍不变算子I和移位算子E运算于是2、性质性质1：各阶差分均可表成函数值的线性组合。性质2：可以利用各阶差分表示函数值。性质3：差商和差分的关系。性质4：差分和导数的关系。3、差分表的构造xkfk=f(xk)

fk

2fk

3fk

4fk……x0f0x1f1

f0x2f2

f1

2f0x3f3

f2

2f1

3f0x4f4

f3

2f2

3f1

4f0…………………向前差分表xkfk=f(xk)

▽fk

▽2fk▽3fk▽4fk……x0f0x1f1▽f1x2f2▽f2▽2f2x3f3▽f3▽2f3▽3f3x4f4▽f4▽2f4▽3f4▽4f4………………向后差分表差分计算举例例-0.1053610.9060.117783-0.015748-0.2231440.8050.0048720.133531

-0.002678-0.020620-0.3566750.7040.0024250.0075500.154151

-0.003534-0.005103-0.028170-0.5108260.6030.0059590.0126530.182321

-0.011062-0.040823-0.6931470.5020.0237150.223144

-0.064538-0.9162910.4010.287682-1.2039730.300△6△5△4△3△2△lnxixii向后线中心差线0.007550注：（1）前差，后差，中心差之间是

紧密联系的，都在一个表中，差分值所在

的列数为差分的阶数。要确定某个差分值

是哪个点的差分，则：对向前差分：要看左上斜线上函数值对应的自变量值对向后差分：要看左下斜线上函数值对应的自变量值对中心差分：要看左方水平线上的自变量值，若正好

是空档，则是相邻两个自变量值的算术

平均值。作y=lnx的差分表，步长h=0.1向前线二、等距节点插值公式

如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。但在进行插值时，一般不可能将给出的所有点都作为插值点，总是希望运用较少的点达到应有的精度，所以，当被插值点靠近数据表头时，当然考虑用表初的那些点作为插值点；而当被插值点接近数据表尾时，应先选用表尾的那些点作插值点，这样就有Newton向前及向后插值公式。1.牛顿向前插值公式设已知节点xk

=x0+kh(k=0,1,2,…,n)牛顿向前插值公式若令x

=x0+th，则上式又可变形为：其余项为：2.牛顿向后插值公式牛顿向后插值公式其余项为：

Newton向前、向后插值公式均是Newton插值公式在等距节点时的变形。实际计算时，也可列表进行。将下表中对角线上的差分值与对应行右端因子乘积求和即得Newton向前插值公式，而Newton向后插公式则为最后的节点所在行的各阶差分值与对应列下端因子乘积之和。。令x=xn+thx

[x0,xn]，则有：…t1△

nf

0(▽

nfn)…△3f

n-3(▽

3fn)△2f

n-2(▽

2fn)△f

n-1(▽

fn)fnxn………………△3f

0(▽

3f3)△2f

1(▽

2f3)△

f

2(▽

f3)f3x3△2f

0(▽

2f2)△f

1(▽

f2)f2x2t△

f

0(▽f1)f1x11f0x0n阶差分…三阶差分二阶差分一阶差分yi=f(xi)xi…

Newton向前、向后插值公式均是Newton插值公式在等距节点时的变形。实际计算时，也可列表进行。将下表中对角线上的差分值与对应行右端因子乘积求和即得Newton向前插值公式，而Newton向后插公式则为最后的节点所在行的各阶差分值与对应列下端因子乘积之和。例

已知f(x)=Sin

x的函数表如下，分别用Newton向前、向后插值公式求Sin0.57891的近似值：xSinx0.40.389420.50.60.70.479430.564640.64422[解]

取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,x3=0.7，按表计算得:

t1-0.00083-0.003630.079580.644220.7-0.004800.085210.564640.6t0.090010.0479430.510.0389420.4三阶差分二阶差分一阶差分fi=Sinxixi（紧接下屏）Newton向前插值公式为：Newton向后插值公式为：由于用的是同一组节点，因此Newton向前插值公式与Newton向后插值公式的结果是完全相同的。Newton向前、向后插值公式举例（续3）如果被插值点x在表中间，