北师大实验中学2022-2023学年数学高一年级上册期末检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1.已知集合〃={2,3,6,8},A={2,3},5={2,6,8},贝!()

A.{6,8}B.{2,3,6,8}

C.{2}D.{2,6,8}

nTT

2.若函数/(x)=sin(x+?,g(x)=sin(2x+：),则函数的图像经过怎样的变换可以得到函数g(x)的图像

①先向左平移■^个单位，再将横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标保持不变.

②先向左平移2个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变.

③将横坐标缩短到原来的3倍，再向左平移五个单位，纵坐标保持不变.

④将横坐标缩短到原来的g倍，再向左平移展个单位，纵坐标保持不变.

A.B.①④

C.②③D.②④

3.若曲线。：/+丁一2以-4-+44-3=()上所有点都在x轴上方，则。的取值范围是

A.(-oo,-l)B.U(l,+oo)

C.(1,+<»)D.(0,1)

TT(717c\

4.设函数/1(x)=Asin(0x+e)(xeR,A>0,<y>0,|。|<一)的部分图象如图所示，若为,龙，e|一二,力|,且

2163J

，a)=/(&)，则”』+为2)=()

R&

AD.---

-l2

c出

D.1

2

5.已知角x的终边上一点的坐标为（s加当，cos"）,则角x的最小正值为（）

66

A注

6

1\TI24

C.---D.—

63

6.已知扇形周长为40,当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）

35

A.-B.-

22

C.3D.2

7.若。＞1,则尸弓］与），=10g〃X在同一坐标系中的图象大致是（）

8.如图，在平面四边形ABC。中，AB=AD=CD=2,BD=20,BDLCD,将其沿对角线对角折成四面体

ABCD,使平面平面BCD,若四面体ABC。的顶点在同一球面上，则该求的体积为

A.4岳B.12万

r8&乃n—

C.------D.＜S7t

3

9.下列函数中，以£为最小正周期的偶函数是。

2

A.y=sin2x+cos2x

B.y=sin2xcos2x

71、

C.y=cos(z4x+y)

D.y=sin22x-cos22x

io.已知函数/(*)=9—log*,则y(x)的零点所在的区间是()

X

A.(0,1)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,+oo)

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11.在下列四个函数中：①〃x)=—，②/(x)=f,③〃力=3'-,④/(x)=2T—2”.同时具备以下

两个性质：⑴对于定义域上任意X,恒有〃x)+/(-X)=O；(2)对于定义域上的任意玉、W，当无尸当时，恒有

[/(%)—/(々)](王一电)＜。的函数是(只填序号)

12.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的增长率为g,则该市这两年生产总值的年平均增

长率为()

Ap+qn5+1)(q+l)—1

22

C.yjpqD.y](p+1)~(q+DT

13.是“，＜1”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不

a

必要”中的一个)

x-y+l>0

14.设x、y满足约束条件x+y—INO,则z=2x-3)，的最小值是.

产,3

15.已知函数,f(x)=x2+2x+3,xe[九0]的最大值为3,最小值为2,则实数"?的取值范围是.

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16.设函数/(x)=办2+4x+b.

(1)当b=2时，若对于xe[l,2],有恒成立，求。取值范围；

(2)已知若八x)20对于一切实数x恒成立，并且存在使得以：+4%+6=0成立，求空出的最

a-b

小值.

17.某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内(以30

天计)的日销售价格g(x)(元)与时间X(天)的函数关系近似满足g(x)=l+士(女为常数).该商品的日销售量

X

h(x^a\x-25\+b(个)与时间x(天)部分数据如下表所示：

X(天)1020

//(%)(个)110120

已知第10天该商品日销售收入为121元.

(1)求出该函数g(x)和人⑺的解析式；

(2)求该商品的日销售收入/(x)(l〈x430,xwN+)(元)的最小值.

18.王先生发现他的几位朋友从事电子产品的配件批发，生意相当火爆.因此，王先生将自己的工厂转型生产小型电子

产品的配件.经过市场调研，生产小型电子产品的配件.需投入固定成本为2万元，每生产x万件，还需另投入W(x)万

元，在年产量不足8万件时，W(x)=:/+2x(万元)；在年产量不低于8万件时，卬(力=6%+卓-64(万元).

每件产品售价为4元.通过市场分析，王先生生产的电子产品的配件都能在当年全部售完.

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量K(万件)的函数解析式；

(2)求年产量为多少万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大?并求出年利润的最大值？

19.我们知道，指数函数/(x)="(。>0,且与对数函数g(x)=log“x(a>0,且"1)互为反函数.

已知函数/(x)=2，,其反函数为g(力.

(1)求函数F(x)=[g(x)y_2次(x)+3,xe[2,8]的最小值；

(2)对于函数°(x),若定义域内存在实数满足姒-与)=-0小)，则称。(同为“L函数”.已知函数

〃(力=.[/(*)]—2时(*)—'"2—1,为其定义域上的”函数*求实数加的取值范围.

—3,x<-1

20.已知二次函数/(力=衣2+汝+。的图象经过(-2,0),且不等式2%<〃力<3/+2对一切实数了都成立

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若对任意xe[T,l],不等式+恒成立，求实数2的取值范围

21.已知函数〃力=4'-22+i+a,其中x«0,3]

(1)若“X)的最小值为1,求a的值；

(2)若存在XG[0,3],使/(力233成立，求a取值范围；

(3)已知g(x)=n2"，在(1)的条件下，若/(x)»g(x)恒成立，求,”的取值范围

参考答案

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1、A

【解析】由已知，先有集合U和集合A求解出令A,再根据集合3求解出(6，A)c3即可.

【详解】因为。={2,3,6,8},A={2,3},所以gA={6,8},

又因为B={2,6,8},所以&A)D3={6,8}.

故选：A.

2、A

【解析】依次判断四种变换方式的结果是否符合题意，选出正确变换

【详解】函数/(x)=sin[x+?),先向左平移合个单位，再将横坐标缩短到原来的:倍，函数变为

g(x)=sin(2x+q+2)=sin(2x+(),所以①合题意；先向左平移'个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍，函

数变为g(x)=sin(；x+*+£)=sin(；x+g),所以②不合题意；将横坐标缩短到原来的;倍，再向左平移[个

乙I乙r*乙j乙乙r1

71\71711

[X+—+-=sin(2%+-),所以③合题意；将横坐标缩短到原来的彳倍，再向左平

移二个单位，函数变为g(x)=sin2(x+=)+f=sin(2x+1^),所以④不合题意，故选择A

12L124J12

【点睛】在进行伸缩变换了=5皿》-y=sinox(<y>0)时，横坐标变为原来的,倍；

向左或向右进行平移变换注意平移单位要加或减在“x”上

3、C

【解析】曲线C:Y+y2-2ax一4"+4〃-3=0化标准形式为：(x—a)2+(y-2a)2=/+3

圆心(a,2a),半径r=Ja?+39

2a>0

2a〉E即a(-l,或'a>l

故选c

4、C

【解析】根据图像求出f(x)=sin(2x+g),由/(%)=/(%)得到%+々=£，代入即可求解•

7T

【详解】根据函数/(x)=AsinGyx+0)(xeR,A>O,切>0,|0|<万)的部分图象，可得：4=1；

69=2,

结合五点法作图可得2・(-5+9=0,.・#=£,/(x)=sin(2x+g)

633

冗71

如果内心€(一生:)，且/(%)=/(%),结合2x+ge(0,m,可得“+5+(2''+))=/，

6330.2

A；)+x2=—,「•/(菁+%)=f(g)=sin(g+g)=g，

66332

故选：C

5、B

【解析】先根据角X终边上点的坐标判断出角X的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角X的最小正值

5乃57r

【详解】因为sin>>0,cos—<0,所以角x的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知

sinx=cos—，故角x的最小正值为x=2乃一]=孚

6233

故选：B

【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属

于基础题

6、D

【解析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可

得解.

【详解】设扇形半径易得0＜「＜2（）,则由已知该扇形弧长为40—2几

记扇形面积为S,则5=；厂（40—2厂）=r（20—广）＜也等力-=100，

40-2r20

当且仅当r=20-r，即r=10时取到最大值，此时记扇形圆心角为夕，则一='=2

r10

故选：D

7、D

【解析】根据指数函数与对数函数的图象判断

【详解】因为。＞1,0＜}＜1，是减函数，y=logaX是增函数，只有D满足

故选：D

8、A

【解析】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2,BD=2&,BD±CD,将其沿对角线BD折成四面体A，-BCD,

使平面A，BD_L平面BCD.四面体A，-BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A,BC都是直角三角形，

BC的中点就是球心，所以BC=2百，球的半径为：6；

所以球的体积为：4岳

故答案选：A

点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间

问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定

球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

9、D

【解析】人中,丫=5拘2》+3$2》=血5也（2X+£],周期为乃,不是偶函数；

B中y=sin2xcos2x='sin4x,周期为卫，函数为奇函数；

22

(；中>=(：05(4%+|^=-5抽4%，周期为彳，函数为奇函数；

D中y=sin?Zx-cos?2x=-cos4x,周期为一，函数为偶函数

2

10、C

【解析】先判断出函数的单调性，然后得出/(3),/(4)的函数符号，从而得出答案.

【详解】由'=3在(0,+。)上单调递减，丁=1。82》在(。,+8)上单调递减

所以函数〃力=:一唾2》在(0,+“)上单调递减

431

又〃3)=2_log23=k)g2i〉0J(4)=5_log24=_5<0

根据函数_/U)在(0,+。)上单调递减，由零点存在定理可得函数在(3,4)之间存在零点.

故选：C

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11、(3XD

【解析】满足条件⑴则函数为奇函数，满足条件⑵则函数为其定义域上的减函数.分别判断四个函数的单调性和奇偶

性即可.

【详解】满足条件⑴则函数为奇函数，满足条件⑵则函数为其定义域上的减函数.

①/(x)=：，/(*)奇函数，在定义域(e,0)U(0,小功不单调；

②/(力=/，/(*)是偶函数，在定义域R内不单调；

_X〉.

③/(x)=,'一，/(X)是奇函数，且在定义域R上单调递减；

x2,x<0

@f(x)=2-x-2x,满足/(-x)=2»—27=—为奇函数，且根据指数函数性质可知其在定义域R上为减函数.

综上，满足条件(1)(2)的函数有③④.

故答案为：③④.

12、D

【解析】设平均增长率为X,由题得lx(l+p)(l+/=lx(l+x)2.・.l+x=J(l+〃)(l+0.・.x=J(l+〃)(l+4)_l

故填++-1.

13、充分不必要

【解析】解不等式利用集合的包含关系判断可得出结论.

a

【详解】由工<1得〉o,解得。<。或。>i,

aaa

因{《avO或〃>1},

因此，“4>1”是“'<1”的充分不必要条件.

a

故答案为：充分不必要.

14、-6

【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x-3y过可行域内的点A时,

从而得到z=2x-3y的最小值即可

【详解】解：由z=2x-3y得y=—

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：

2z2z2z

平移直线y=由图象可知当直线过点A时，直线y=截距最大，此时z最小,

。。JJJ

x=3x=3

由*得＜,即A(3,4),

x-y+l=Oy=4

代入目标函数z=2x-3y,

得z=2x3-3x4=6-12=-6

•••目标函数z=2x-3y的最小值是-6

故答案为：—6

【点睛】本题考查简单线性规划问题，属中档题

15、[—2,—1]

【解析】画出函数的图像,对称轴为x=-l,函数在对称轴的位置取得最小值2,令f(x)=丁+2x+3=3,可求得x=0,

或x=-2,进而得到参数范围.

函数/(x)=f+2x+3的图象是开口朝上，且以直线％=-1为对称的抛物线,

当x=T时，函数取最小值2,

令f(x)=父+2x+3=3,贝！)尤=0,或x=-2,

若函数/(九)=/+28+3在卜〃,0]上的最大值为3,最小值为2,

则me[-2,-1],

故答案为：卜2,-1].

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16、(l)a>-|(2)45/2

24]

【解析】(1)据题意知，把不等式的恒成立转化为a2-r—-恒成立，设「=一，则g(f)=-2产一期，根据二次函

XXX

数的性质，求得函数的最大致，即可求解.

(2)由题意，根据二次函数的性质，求得,力=4,进而利用基本不等式，即可求解.

【详解】⑴据题意知，对于x[1,2],有ax2+4x+2N0恒成立，

-4x-224-J24、

即nnaN----z-=2恒成工，因此aN|,

x-x-xkx-x)mm

设t=L则te,所以g(t)=—2t2—4t=—2(t+l『+2,

X，

••・函数g(t)在区间1,1上是单调递减的,

g(t)=,/.a>-—

,5&⑴22

(2)由f(x"O对于一切实数x恒成立，可得a>0,且AWO,

由存在x()eR,使得aXo2+4xo+b=O成立可得A»0,

/.A=16-4ab=0,ab=4,

a5=(a-b)-+2ab=(a-b『+8之2,(a—b)-x8=m,当且仅当a_b=20时等号成立，

a-ba-ba-ba-b

二江上4夜.

a-b

【点睛】

本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问

题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问

题的能力，属于中档试题.

17、(1)g(x)=l+—,/z(x)=125-|x-25|(1<x<30,xeN+)

<2)最小值为121元

【解析】(1)利用g(10)/(10)=121可求得%的值，利用表格中的数据可得出关于。、匕的方程组，可解得。、。的

值，由此可得出函数g(x)和〃(x)的解析式；

(2)求出函数/(x)的解析式,利用基本不等式、函数单调性求得了(力在1Wx<25且xeN+、25<xW30且xeN+

的最小值，比较大小后可得出结论.

【小问1详解】

解：依题意知第1()天该商品的日销售收入为g(io>Mio)=，+\]xiio=i2i,

解得％=1,所以，g(x)=l+}

/?(10)=fl|10-25|+Z?=15a+Z?=110,a=-l

由表格可知“20)=碓0-25|+b=5a+b=120，解得‘

b=125

所以，/t(x)=125—|x—25|(l<x<30,xeN+).

【小问2详解】

100+x,l<x<25,XGN

解：由(1)知人(力=125-,一25]=,+

150-x,25<x<30,xGN+

当lWx<25且XGN.时，/(x)=(100+x)fl+1=3+101,

X

时，〃x)=(150-+J

当25«xW3()且xeN.

x+-^^+101,l<x<25,XGN+

.1./(x)=g(x)-//(x)=<x

--x+149,25<x<30,xeN+

、x

当l〈x<25时，由基本不等式可得>=%+理+10122

101=121,

X

当且仅当x=l()时，等号成立，即“xUn,AlOb⑵.

当25Wx<3()时，因为函数y=变、%=一%均为减函数，则函数丁=当一%+149为减函数,

Xx

所以当x=30时，取得最小值，且/(力而广/。。)点2今

综上所述，当x=10时，/(x)取得最小值，且/⑴由小⑵.

故该商品的日销售收入/(x)的最小值为121元.

1

—x~9+2x—2,0<x<8

6

18、(1)L(x)=«

°c4503

62-2x-----,x>8

x+2

(2)当年产量为13万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大，年利润的最大值为6万元.

【解析】⑴根据题意列出()<x<8和x»8时的解析式即可;

(2)分别求()<x<8和X28时的最大利润，比较两个利润的大小即可.

【小问1详解】

•••每件商品售价为4元，则x万件商品销售收入为4x万元,

当0<x<8时，£(尤)=4%—(k"+2x)-2=-+2x—2；

当了之8时，L(x\-4x-f6x+^^~-641―2=62-2x--^2_,

Ix+2)x+2

1

——X29+2x-2,0<x<S

'"A'64505

62-2x--------,x>8

x+2

【小问2详解】

若0<x<8,贝！JL(x)=-一(X-6)2+4.

当x=6时，L(x)取得最大值"6)=4万元.

450<66—2,2(x+=66—60=6,

若xN8,贝（］L（x）=66-2（X+2）H-------

x+2

当且仅当2(%+2)=卓，即x=13时，L(x)取得最大值6万元.

V4<6,

,当年产量为13万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大.年利润的最大值为6万元.

19、(1)答案见解析

(2)[-1,+<»)

【解析】(1)利用换元法令P=log2X,peU,3],可得所求为关于p的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，

即可得答案.

(2)根据题意，分别讨论在[-1」]、(-为,-1)和(1,”)上存在实数.％,满足题意，根据所给方程，代入计算，结合

函数单调性，分析即可得答案.

【小问1详解】

由题意得g(x)=log2%

22

所以F(x)=[g(x)]-2/g(x)+3=(log2x)-2rlog2x+3,xe[2,8],

令p=k)g2X,pw[l,3],设M(p)=p2-2fp+3,pG[l,3]

则M(p)为开口向上，对称轴为〃=力的抛物线,

当fWl时，M(p)在［1,3］上为单调递增函数，

所以M(P)的最小值为M(D=4—2f；

当1</<3时，/(P)在(1/)上单调递减，在Q,3)上单调递增，

所以M(P)的最小值为M⑺=3-/；

当框3时，M(p)在［1,3］上为单调递减函数，

所以M(P)的最小值为〃⑶=12—6一

综上，当fWl时，b(x)的最小值为4一2人

当l<f<3时，尸(幻的最小值为3-/，

当f23时，E(x)的最小值为12—61

【小问2详解】

①设在［T［］上存在・%,满足9(-与)=-0(X0)，

则4”一加—3+4F—m"一3=0,

令/=2%+2f，则八2,2M=2,当且仅当%=0时取等号,

又不

所以，〈21+2-1=9,gpre2,1,

2L2J

所以4%-m-2Xn+'—3+4-Jb-m-2~x°+'—3=t2—2—2mt—6=0>

7

所以加e-1,--

②设(f,T)存在/,满足0(fo)=-。(/)，

贝!1一3+4-出一*2』+|-3=0，即m=2一"一3・2瓦有解,

因为y=-3-2'在(TO,-1)上单调递减,

所以加〉一1

2

同理当在（1,”）存在/,满足0（一%）=一0&）时，解得"A-1

所以实数切的取值范围［-1,+8）

【点睛】解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属

难题

1Q2

20、（1）f（x）———x~+x+1；（2）—</<>

「433

【解析】（1）观察不等式，令x=2,得到4W/（2）W4成立，即"2）=4,以及/（一2）=0,

再根据不等式2%〈/（"〈（/+2对一切实数'都成立，列式求函数的解析式；（2）法一，不等式转化为

8¥+（18+24卜+9r+36「<0对恒成立，利用函数与不等式的关系，得到f的取值范围，法二，代入后利

用平方关系得到<0,x«T，l］恒成立，再根据参变分离，转化为最值问题求参数的取值范围.

【详解】（1）由题意得：/（—2）=4«-»+c=0①，

因为不等式2x«/（x）«gx2+2对一切实数x都成立，

令x=2,得：4</（x）<4,所以/（2）=4,即4a+a+c=4②

由①（D解得：h=\,且c=2—4a,

所以=加+X+2—4Q,

由题意得：/（X）—2x20且/（犬）一^/一240对％€1<恒成立,

cix^—x+2—4。20(3)

对X£R恒成立,

-]X2+X-4<Z<0

2j

对③而言，由a>0且A=1-4。（2—4。）工。，

得到（4a-40,所以。=；,经检验满足，

故函数/（尤）的解析式为/（力=；/+x+1

（H）法一：二次函数法，由题意，+对恒成立,

可转化为+(x+f)+l<；((

对恒成立,

整理为8x?+(18/+24)x+9厂+36r<0对xe[—1,1]恒成立,

令g(x)=8Y+(18+24)x+9/+36r,

g(-1)<09?+18/-16<0

则有

>(1)<09f2+54r+32<0

82

——<t<—

33

解得

162

-----<t<—

33

Q2

所以，的取值范围为一

33

法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求