2024届湖北省枣阳市白水高中高三第三次月考数学试题

2024届湖北省枣阳市白水高中高三第三次月考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．等比数列中，，则与的等比中项是（）A．±4 B．4 C． D．3．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（）A． B．C． D．4．已知F是双曲线（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（）A．2k B．4k C．4 D．25．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（）A．2 B． C．3 D．46．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）7．为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位8．集合中含有的元素个数为（）A．4 B．6 C．8 D．129．已知函数，则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为；②函数的图象是轴对称图形；③函数的极大值为；④函数的最小值为．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④10．已知函数，，则的极大值点为()A． B． C． D．11．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128 B．65 C．64 D．6312．已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，满足，则的最大值为______.14．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为________.15．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________.16．如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程.（2）当时，求的面积.18．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函数.（1）若，解关于的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）设（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.21．（12分）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：四边形是平行四边形；（Ⅲ）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由.22．（10分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且．证明：直线与圆相切；求面积的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【题目详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.①，，所以，故①正确.②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.③，，，故平面不成立，故③错误.④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.综上所述，正确的命题有个.故选：C【题目点拨】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.2、A【解题分析】

利用等比数列的性质可得，即可得出．【题目详解】设与的等比中项是．

由等比数列的性质可得，．

∴与的等比中项

故选A．【题目点拨】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．3、B【解题分析】

利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.【题目详解】为定义在上的奇函数，.当时，，，为奇函数，，由得：或；综上所述：若，则的解集为.故选：.【题目点拨】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况.4、D【解题分析】

分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【题目详解】当时,等式不是双曲线的方程；当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选：D【题目点拨】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.5、C【解题分析】

根据等差数列的求和公式即可得出．【题目详解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故选C．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6、C【解题分析】

根据并集的求法直接求出结果.【题目详解】∵，∴，故选C.【题目点拨】考查并集的求法，属于基础题.7、D【解题分析】，所以要的函数的图象，只需将函数的图象向左平移个长度单位得到，故选D8、B【解题分析】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B9、D【解题分析】

因为，所以①不正确；因为，所以，，所以，所以函数的图象是轴对称图形，②正确；易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确；因为，所以，所以函数的最小值为，④正确．故选D．10、A【解题分析】

求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【题目详解】因为，故可得，令，因为，故可得或，则在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.故选：A.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.11、D【解题分析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【题目详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【题目点拨】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12、D【解题分析】

由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点与构成直线的斜率，数形结合即可求得.【题目详解】不等式组表示的平面区域如下所示：因为可以理解为点与构成直线的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，斜率取得最大值，故的最大值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.14、3【解题分析】

作出可行域,可得当直线经过点时,取得最大值,求解即可.【题目详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立,可求得点,当直线经过点时,.故答案为:3.【题目点拨】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题.15、【解题分析】

由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【题目详解】设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图则，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案为：【题目点拨】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.16、【解题分析】

设，，在中利用正弦定理得出关于的函数，从而可得的最小值．【题目详解】解：设，，则，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴当即时，取得最小值．故答案为．【题目点拨】本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）先求出圆心到直线的距离为，再根据得到，解之即得a的值，再根据c=1求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出，，再求得的面积.【题目详解】(1)因为直线过点，且斜率.所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示椭圆的方程为.(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，，因为直线的斜率，所以，因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积.【题目点拨】本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.18、（1）存在；详见解析（2）【解题分析】

（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出长，写出各点坐标，用向量法求二面角．【题目详解】解：（1）当为上靠近点的三等分点时，满足面.证明如下，取中点，连结.即易得所以面面，即面．（2）过作交于面，两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，设面法向量，则，即取同理可得面的法向量综上可知锐二面角的余弦值为．【题目点拨】本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角．线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的．求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．19、（1）（2）【解题分析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.【题目详解】（1）当时，，由此可知，的解集为（2）当时，的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.当时，，且，不恒成立，不符合题意.当时，，若，则，故不恒成立，不符合题意；若，则，故不恒成立，不符合题意.综上，.【题目点拨】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20、（1）（2）【解题分析】

(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,解出取并集即可.(2)去绝对值将函数写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由恒成立求得结果.【题目详解】解：（1）当时，，即或或解之得或，即不等式的解集为.（2）由题意得：当时为减函数，显然恒成立.当时，为增函数，，当时，为减函数，综上所述：使恒成立的的取值范围为.【题目点拨】本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不能为.【解题分析】

（1）由平面平面，可得平面，从而证明；（2）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（3）作交于点，延长交于点，连接，根据三垂线定理，确定二面角的平面角，若，，由大角对大边知，两者矛盾，故二面角的大小不能为.【题目详解】（1）由平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）依题意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面与平面平行，即两个平面没有交点，则与不相交，又与共面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形；（3）不能.如图，作交于点，延长交于点，连接，由，，，所以平面，则平面，又，根据三垂线定理，得到，所以是二面角的平面角，若，则是等腰直角三角形，，又，所以中，由大角对大边知，所以，这与上面相矛盾，所以二面角的大小不能为.【题目点拨】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.22、证明见解析；1.【解题分析】

由题意可得椭圆的方程为，由点在直线上，且知的斜率必定存在，分类讨论当的斜率为时和斜率不为时的情况列出相应式子，即可得