空间向量的正交分解及其坐标表示

空间向量的正交分解及其坐标表示学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题1．在以下三个命题中，真命题的个数是（）①三个非零向量、、不能构成空间的一个基底，则、、共面；②若两个非零向量、与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则、共线；③若、是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底．A．B．C．D．2．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A．B．C．D．3．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A.B.C.D.4．若向量、、的起点与终点、、、互不重合且无三点共线，且满足下列关系（是空间任一点），则能使向量、、成为空间一组基底的关系是（）A.B.C.D.5．已知空间四边形，，分别是，的中点，且，，，用，，表示向量QUOTE为（）A.B.C.D.6．以下四个命题中，正确的是（）A．若，则、、三点共线B．向量是空间的一个基底，则构成空间的另一个基底C．D．△是直角三角形的充要条件是7．若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为（）A．，，B．，，C．，，D．，1，8．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题9．已知四面体中，，，，的中点分别为，，则______.10．如图，在正方体中，用，，QUOTE作为基向量，则__________.11．在平行六面体中，若，QUOTE则__________评卷人得分三、解答题12．如图所示，在正四棱柱中，，分别为底面、底面的中心，，，为的中点，在上，且.（1）以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．13．已知垂直于正方形所在的平面，、分别是、的中点，并且，求、的坐标．14．如图所示，，分别是四面体的棱，的中点，，是的三等分点，用向量，，表示和.参考答案1．C【解析】①正确，表示基底的向量必须不共面；②正确；③不对，，不共线．当时，、、共面，故只有①②正确．故选C.考点：空间向量的基底.2．C【解析】，∴，即三向量共面，故选C.考点：空间向量的基底表示.3．BQUOTE【解析】设在基底下的坐标为，则，所以QUOTE解得QUOTE故在基底下的坐标为QUOTE.考点：空间向量的基底表示.4．C【解析】A中，因为，所以、、、共面，所以向量、、不能成为空间的一组基底；B中，，但可能，即、、、可能共面，所以向量、、不一定能成为空间的一组基底；D中，∵，∴、、、共面，所以向量、、不能成为空间的一组基底，故选C.考点：空间向量基本定理.5．C【解析】如图所示，连接，，则，QUOTEQUOTE，所以.考点：空间向量的基底表示.6．B【解析】A中，若，则、、三点不共线，故A错；B中，假设存在实数，，使，则有方程组无解，即向量，，不共面，故B正确；C中，，故C错；D中，△是直角三角形，但△是直角三角形，可能是角等于90°，则有，故D错．考点：空间向量的基底表示.7．A【解析】，由空间向量基本定理，得∴，，.考点：空间向量基本定理.8．A【解析】.考点：空间向量的基底表示.9．【解析】如图所示，取的中点，连接，，则.考点：空间向量的基底表示.10．【解析】，所以.考点：用向量的线性表达式表示向量.11．【解析】如图所示，有.又因为,所以QUOTE解得QUOTE所以考点：空间向量的基底表示.12．详见解析【解析】（1）正方形中，，∴，从而，∴各点坐标分别为，，，，，，，，，，，．（2）同理，，，，，，，，，，，，．考点：空间中点的坐