专题03 二次函数的应用重难点题型专训（8大题型）（原卷版）

专题03二次函数的应用重难点题型专训（8大题型）【题型目录】题型一图形面积与周长问题题型二图形运动问题题型三拱桥问题题型四销售问题题型五投球问题题型六喷水问题题型七增长率问题题型八其他问题【知识梳理】知识点：二次函数的应用1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。6.写出答案。【经典例题一图形面积与周长问题】1．（2023秋·广东中山·九年级校联考阶段练习）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形的四条边上，四边形也是正方形，正方形的面积最小时，的值是（

）

A．1 B． C．2 D．2．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）下面三个问题中都有两个变量y与x：①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间与平均速度；②用绳子围成周长为的矩形，矩形的一边长与它的面积；③正方形边框的边长与面积；其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可用如图所示的函数图象表示的有（

）

A．① B．② C．③ D．②③3．（2023秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）已知如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．若点M为抛物线上一动点（不与点B重合），使与的面积相等．则点M的坐标为．

4．（2023秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B点A在点B的左侧），与y轴交于点D，已知点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．

(1)在图1中作以为斜边的等腰直角三角形．(2)如图2，，E是抛物线上的一点，作以对角线的正方形．【经典例题二图形运动问题】1．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（

）

A．54 B．52 C．50 D．482．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，，，点D为的中点，点P为上一动点，点P从点B出发运动到点A处停止，设点P经过的路程为x，，令，则w的最小值为（

）

A． B．7 C．5 D．3．（2022·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是．

4．（2023秋·浙江杭州·九年级萧山区金山初级中学校考阶段练习）如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：

(1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？(2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？【经典例题三拱桥问题】1．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为（

）

A．6米 B．5米 C．4.5米 D．4米2．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水面距离都相同．在其中一个桥洞中，水面宽度为12米，如图2，拱顶距离水面4米，并建立平面直角坐标系．若水位上涨2米，则每个拱桥内水面的宽度是（）

A．4米 B．米 C．6米 D．米3．（2023·山西晋城·统考一模）晋阳高速扩建工程作为省市重点项目，是全省第一条“四改八”高速公路，也是全省在建十四条高速公路的品质示范和绿色示范项目，牛王山隧道是晋阳高速的一处路段，如图，隧道的横截面为抛物线形的隧道，底部宽，高，隧道内双车道通行，交通部门规定车辆必须在中心线两侧行驶，在隧道内禁止变道，且距离道路边缘的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，则通过隧道车辆的限高最大高度是4．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）自古就有着“岭南名郡”、“粤东门户”之称的惠州古建筑数量众多，在这些古代建筑中，桥梁是一个重要的组成部分，据不完全统计，惠州有古桥40余座，这些古桥点缀于惠州的青山绿水之间建筑年代不一风格各异，虽历经岁月却古风犹存，不仅代表了惠州城市的变迁、发展，也见证了惠州千百年来的沧桑巨变．其中烟霞桥是惠州西湖六桥中的第三桥，被人们称为六桥中的美女子，它飘逸秀丽气质不凡，桥上可静观湖光山色，看柳色生烟，群鸟飞翔，有“世上黄尘吹不到，烟霞桥外白云封”的意境．如题1图，烟霞桥是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：

(1)如题2图，求该抛物线的函数解析式；(2)当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（结果保留根号）【经典例题四销售问题】1．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（

）A．元 B．元 C．元 D．元2．（2023秋·全国·九年级专题练习）农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（）A．20 B．60 C．70 D．803．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）小致创办了一个微店商铺，营销一款成本是20元/盏的小型护眼台灯．在“双十一”前8天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盛，护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式，且为整数）．这8天中最大日销售利润是元．4．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）某水果商店推出一款水果拼盘套餐受到广大消费者的喜爱，每天销售量y盒与销售单价x元∕盒之间存在一次函数关系（如下表所示）．已知水果拼盘套餐的成本为30元∕盒．销售单价x元∕盒405060销售量y盒220200180(1)直接写出y与x的函数关系式：(2)当销售单价为多少时，当天的销售利润最大？(3)若水果商店希望通过调整，将这一款拼盘套餐降低成本m元∕盒，使每天在销售量不超过100盒的前提下，最大销售利润为7600元．求出m的值．【经典例题五投球问题】1．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）一位运动员在距篮圈中心（点）水平距离处竖直跳起投篮（为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为时，达到最高点（点），此时高度为，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心（点）到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（

）

A．小球的最大高度为8米B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．当小球抛出高度达到时，小球距O点水平距离为3．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图①，是可移动的灌溉装置，以水平地面方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，如图②所示．其水柱的高度y（单位：m）与水柱距喷水头的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式．在图②中，若水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，则x的取值范围是．

4．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）一次足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以为原点建立如图所示直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；(3)已知点C为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时小军带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点但不含点），求的取值范围.【经典例题六喷水问题】1．（2023秋·福建厦门·九年级校考阶段练习）学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且B、D、H三点共线．小王在距离台面处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流量抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，，垂足为A．已知，，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江温州·校考二模）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为，n的值为

4．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．

(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：02610120①根据上述数据，求满足的函数关系；②求喷水头喷出的水柱最大高度；(2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的常数b的范围_________．【经典例题七增长率问题】1．（2023秋·河南周口·九年级校考阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（

）A．1.2 B． C． D．2．（2022秋·广西梧州·九年级统考期中）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（

）A． B． C． D．3．（2023秋·九年级课前预习）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是．4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？【经典例题八其他问题】1、（2023·山东临沂·统考一模）如图，一个滑道由滑坡（段）和缓冲带（段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离（单位：m）和滑行的时间（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离（单位：m），和在缓冲带上滑行时间（单位：s）满足：，滑雪者从A出发在缓冲带上停止，一共用了24s，则滑坡的长度为（

）滑行时间01234滑行距离04.51428.548A．275米 B．384米 C．375米 D．270米2．（2023·陕西·模拟预测）如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系

．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18° B．28° C．37° D．58°3．（2022秋·天津西青·九年级校考期中）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离我们将它称为“刹车距离”．某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间的函数关系是，现在该车在限速120km/h的高速公路上出了交通事故，事后测得刹车距离为46．5m，请推测该车刹车时是否超速______（填“是”或“否”），车速为______km/h．4．（2023·北京石景山·统考二模）2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．

某跳水运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离0竖直高度①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；②运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）．【重难点训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

2．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（

）A．， B．， C．， D．，3．（2023·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，将边长为4cm的正方形沿其对角线剪开，再把沿方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积是，则它移动的距离等于（

）

A．1cm B．2cm C．3cm D．1cm或3cm4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是（

）A．球运行的最大高度是 B．C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网并会出界5．（2023·全国·九年级假期作业）如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），．分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则阴影面积的最大值是（

）

A． B． C． D．6．（2023·福建厦门·统考一模）根据物理学规律，如果把一个小球从地面以的速度竖直上抛，那么小球经过离地面的高度（单位：）为．根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（

）A．小球经过约离地面的高度为B．小球离地面的高度为时，经过约C．小球经过约离地面的高度为，并将继续上升D．小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为7．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（）A．2 B．4 C．2或 D．4成8．（2023·山东烟台·统考一模）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论：①无论取何值，恒小于0：②将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；③当时，随着的增大，的值先增大后减小；④四边形的面积为18．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）某学校航模组设计制作的火箭升空高度与飞行时间满足函数关系式为，当火箭升空到最高点时，距离地面_________m．10．（2023·山西临汾·统考二模）如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：

01230则该运动员踢出的足球在第__________落地．11．（2023春·四川成都·八年级校联考期中）如图，在中，，，点D在边AC上，且，长度为1的线段EF在边上运动，则线段的最大值为___________，四边形面积的最大值为______________．12．（2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在中，．动点P从A点开始沿向B点以的速度运动（不与B点重合），动点Q从B点开始沿以的速度向C点运动（不与C重合）．如果P、Q同时出发，四边形的面积最小时，要经过________秒．13．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为________秒．14．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）已知抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）此抛物线的对称轴是直线______；（2）已知点，，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，则a的取值范围是______．15．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为，的长度为．

(1)求出S与x之间的解析式，其中x的取值范围是什么？(2)当和分别为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？16．（2023·湖北·统考中考真题）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）日销售价（元/件）50日销售量（件）（，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．(1)直接写出w与x的函数关系式__________________；(2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？17．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．

(1)求关于的函数表达式；(2)当取何值时，四边形的面积为10？(3)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如