初中数学八年级上册《分式的运算》教案（七）

分式的运算【教学目标】1.会通过类比的方法来理解和掌握分式的乘除法法则.2.熟练运用分式乘除法法则，将分式乘除法全部化归为分式乘法进行计算.3.经历观察、猜想、归纳等探索分式的乘除运算法则的过程，使学生感知数学知识具有普遍联系性，并熟练掌握这一法则.4.通过化除为乘，体会化归的思想方法，尝试在数学活动中获得成功的喜悦，树立自信心.【重点难点】重点：熟练掌握分式的乘除法法则.难点：进行分式的乘除运算，尤其是分子分母为多项式的分式的运算，正确体会具体的运算过程和一般步骤.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课师：请同学们阅读、观察下列运算：eq\f(2,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(2×4,3×5)eq\f(5,7)×eq\f(2,9)＝eq\f(5×2,7×9)eq\f(2,3)÷eq\f(4,5)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,4)＝eq\f(2×5,3×4)eq\f(5,7)÷eq\f(2,9)＝eq\f(5,7)×eq\f(9,2)＝eq\f(5×9,7×2)问题1：上述运算我们熟悉吗？它的依据是什么？通过提问共同解决：分数的乘除运算，体现了分数的乘除运算法则.问题2：能用文字表述这一法则吗？学生往往能做但说不好，注意引导.内容为(屏幕显示)：分数乘法法则：分数乘以分数，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.分数除法法则：分数除以分数，把除数的分子和分母颠倒位置后，再和被除数相乘.问题3：一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的eq\f(m,n)时，水高为多少？通过提问后，列式：eq\f(V,ab)·eq\f(m,n).问题4：大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？通过提问后，列式：eq\f(a,m)÷eq\f(b,n).完成问题3，4后，师追问：以上两类式子是什么运算？通过问题链的形式制造矛盾冲突，利用“数、式通性”的类比思想引发学生发现“分式的乘除运算法则”.二、师生互动，探究新知问题1：分数的乘除为我们熟悉，那分式的乘除是怎样计算的？你能归纳出分式的乘除运算法则吗？学生在观察、类比的基础上，经过讨论，交流，相互补充，得出分式的乘除运算法则，教师利用大屏幕显示，把分数的运算法则中，“数”改为“式”即可.分式乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后，再和被除式相乘.通过类比，得出：(1)分式乘除法与分数乘除法类似；(2)“数”变为“式”后，其运算又有不同.问题2：你能用字母表达式表示分式的乘除法法则吗？用式子表示为：eq\f(b,a)×eq\f(d,c)＝eq\f(bd,ac)；eq\f(b,a)÷eq\f(d,c)＝eq\f(b,a)×eq\f(c,d)＝eq\f(bc,ad).问题由情境而发，一个好的情境将推动学生思维触角的延伸，由数到式是一种飞跃，是进一步抽象的体现.瞄准学生认知的“最近发展区”，通过问题引动学生猜测、归纳，进而获得新知，实现分数到分式的运算，开辟分式计算的领地.三、运用新知，解决问题1.计算：(1)eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)；(2)eq\f(ab3,2c2)÷eq\f(－5a2b2,4cd).由学生试做，完成后同位交流，不能解决的课堂上集中解决.注意：1.运算的步骤：(1)小题先乘后约分或先约分后乘；(2)小题先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算；2.分式运算的结果通常要化为分式的最简形式或整式.2.计算：(1)eq\f(a2－4a＋4,a2－2a＋1)·eq\f(a－1,a4－4)；(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m).让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.其步骤可归纳为：若是除法，先转换成乘法，再将分子与分母分解因式，相乘后再约分，直至成为最简.题目按梯度设置，符合学生的认知规律，便于学生的逐层把握，形成清晰的解题思路.练习1，2就是根据由简到繁的顺序安排的.练习1的分子分母都是单项式，(1)、(2)两个小题分别对应着分式的乘除，在熟悉法则的基础上，注意约分的无处不在；练习2的分式中分子分母出现多项式，形式复杂了、内涵丰富了，需要因式分解的支持.四、课堂小结，提炼观点通过本节课学习，你学到了哪些知识和数学思想？(1)分式的乘法、除法法则及运算技能；(2)了解数学中重要的一种思想——类比转化思想，由分数的乘除法类比到分式的乘除法，分式的除法可以化归为分式的乘法.通过反思的形式帮助学生梳理凌乱的知识、技能以及数学思想方法.反思是提高认知水平的重要途径，养成这种好习惯，受益终生.五、布置作业，巩固提升1.计算：(ab－b2)÷eq\f(a2－b2,a＋b).2.化简求值eq\f(x2－6x＋9,x＋1)÷eq\f(x2－9,x2＋x)，其中x2＝4.3.给定下面一列分式：eq\f(x3,y)，－eq\f(x5,y2)，eq\f(x7,y3)，－eq\f(x9,y4)，…(其中x≠0).(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？(2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.【板书设计】分式的乘除分式的乘法法则：分式的除法法则：练习1.2.【教学反思】本节的核心就是熟练掌握分式的乘除法法则，故而，整堂课紧紧围绕分式的乘法运算来组织教学，重点突出.通过与分数乘除法运算的类比，使学生较易掌握本节内容.而难点则通过逐层推进、交流探讨、适时反思的形式实现突破，使学生掌握正确的运算方法、运算顺序.第2课时分式的乘除混合运算【教学目标】1.能应用分式的乘除法法则和运算的顺序进行混合运算，在应用的过程中，养成反思的习惯.2.理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算.3.在进一步体会幂的意义的过程中，发展归纳、猜想等合情推理的能力及有条理的表达能力.【重点难点】重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.难点：熟练地进行分式乘除法及乘方的混合运算.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课同学们会计算下列题目吗？(1)eq\f(4a4b2,15n3)÷eq\f(－8a2b2,35n)；(2)eq\f(x2＋2xy＋y2,xy－y2)·eq\f(x2－2xy＋y2,xy＋y2)；(3)－eq\f(3,8)÷eq\f(3,5)×eq\f(2,5)；（4）解：(1)原式＝eq\f(4a4b2,15n3)·eq\f(35n,－8a2b2)＝eq\f(4a4b2·35n,15n3·（－8a2b2）)＝－eq\f(7a2,6n2).(2)原式＝eq\f(（x＋y）2,y（x－y）)·eq\f(（x－y）2,y（x＋y）)＝eq\f(（x＋y）2·（x－y）2,y（x－y）·y（x＋y）)＝eq\f(x2－y2,y2).(3)原式＝－eq\f(3,8)×eq\f(5,3)×eq\f(2,5)＝－eq\f(3×5×2,8×3×5)＝－eq\f(1,4).(4)原式＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2×2×2×2,3×3×3×3)＝eq\f(16,81).首先引导学生进行观察、思考，然后让学生尝试练习，完成后小组交流，在此基础上，老师提出问题：问题1：以上四个题目分别涉及什么运算？(1)分式的除法运算；(2)分式的乘法运算；(3)分数的乘除混合运算；(4)分数的乘方运算.督促学生养成解题前仔细审题的习惯，为方法策略的选择提供判断的依据.问题2：它们涉及的运算法则或运算顺序我们熟悉吗？说说看！都是我们已经熟悉的内容，它们涉及的运算法则或运算顺序有：(1)分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d).(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后，再和被除式相乘.eq\f(a,b)÷eq\f(d,c)＝eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).(3)分数的乘方法则：根据乘方的意义转化为乘法，利用分数的乘法法则进行运算.(4)同级运算按从左到右的顺序进行.分式的乘法、除法，分数的乘除混合，分数的乘方等都是新知的认识基础，通过学生的尝试练习一是唤起记忆，二是查缺补漏，疏通旧知向新知的通道，以确保学生已有经验与知识的正迁移的发生.二、师生互动，探究新知问题1：你会计算eq\f(2x,5x－3)÷eq\f(3,25x2－9)·eq\f(x,5x＋3)吗？试试看.原式＝eq\f(2x,5x－3)·eq\f(25x2－9,3)·eq\f(x,5x＋3)＝eq\f(2x2（5x＋3）（5x－3）,3（5x＋3）（5x－3）)＝eq\f(2x2,3).学生尝试练习，教师巡回指导，若发现共性问题，可通过集体交流补正，以澄清模糊认识.估计学生根据“数、式通性”的思想类比分数的乘除混合运算(上面的题目)会操作，但不排除有感到困惑的学生，要指导好这类学生，明确顺序、明确算法，集体达成共识：分式的乘除混合运算可以统一成乘法运算，若没有其他指令(如括号等)，则应按从左到右的顺序进行计算.问题2：若将前面中的分子、分母由数替换为字母，即，同学们会计算吗？若把指数“4”替换成“n”呢？根据乘方的意义和分式乘方的法则，得＝eq\f(a,b)·eq\f(a,b)·eq\f(a,b)·eq\f(a,b)＝eq\f(a4,b4).问题3：通过问题2的研究，你能归纳出分式乘方的法则吗？分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.小试身手：计算：(1)；(2).答案：(1)原式＝eq\f(（－2a2b）2,（3c）2)＝eq\f(4a4b2,9c2)；(2)原式＝－eq\f(（my2）3,（3nx2）3)＝－eq\f(m3y6,27n3x6)通过3个问题，搭建自主探索的脚手架，在旧知的巩固过程中自然地将新知融入，把运算规律揭示，平缓顺畅，不显突兀，能使学生学得轻松愉悦.三、运用新知，解决问题1.计算：(1)eq\f(2x－6,4－4x＋4x2)÷(x＋3)·eq\f(（x＋3）（x－2）,3－x)；(2）2.计算：(1)eq\f(y2－4y＋4,2y－6)·eq\f(1,y＋3)÷eq\f(12－6y,9－y2)；(2)；(3).通过练习1的第(1)小题提升分式乘除混合运算的层次，第(2)小题就是教材中例5的第2小题，它是乘、除、乘方三者的混合，再次涉及运算的顺序问题，并融入了符号的变化，有较强的综合性.四、课堂小结，提炼观点本节课学习了哪些知识？在知识应用过程中需要注意什么？你有什么收获？五、布置作业，巩固提升必做题：教材第139页练习1，教材第146页第3题选做题：有这样一道题：“计算eq\f(x2－2x＋1,x2－1)÷eq\f(x－1,x2＋x)－x的值，其中x＝2016”.甲同学把“x