高考数学二轮复习 第一篇 求准提速 基础小题不失分 第11练 解三角形练习 文试题

第11练解三角形[明考情]解三角形是高考的必考内容，以“一大一小”的格局呈现，“一小”以选择题或填空题形式出现，难度为中档.[知考向]1.正弦定理、余弦定理.2.求三角形的面积.3.解三角形的综合应用.考点一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.1.(2016·天津)在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC2.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2eq\r(3)，a＋b＝6，eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，则c等于()A.2eq\r(7)B.2eq\r(3)C.4D.3eq\r(3)答案B解析因为eq\f(acosB＋bcosA,c)＝eq\f(sinAcosB＋sinBcosA,sinC)＝eq\f(sinA＋B,sinA＋B)＝1，所以2cosC＝1，所以C＝eq\f(π,3).又S△ABC＝2eq\r(3)，则eq\f(1,2)absinC＝2eq\r(3)，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2eq\r(3).3.(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.3答案D解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,3)舍去))，故选D.4.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝________.答案eq\f(21,13)解析在△ABC中，由cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，可得sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝eq\f(63,65)，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13).5.在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则eq\f(sin2A,sinC)＝________.答案1解析由余弦定理知，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(25＋36－16,2×5×6)＝eq\f(3,4)，由正弦定理，可得eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，所以eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC)＝2×eq\f(sinA,sinC)×cosA＝2×eq\f(4,6)×eq\f(3,4)＝1.考点二求三角形的面积要点重组三角形的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形ABC内切圆的半径).6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()A.3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D.3eq\r(3)答案C解析由c2＝(a－b)2＋6，得a2＋b2－c2＝2ab－6，由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2ab－6,2ab)，因为C＝eq\f(π,3)，所以cosC＝eq\f(2ab－6,2ab)＝eq\f(1,2)，得ab＝6，则△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2).7.在△ABC中，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，则△ABC的面积的最大值为()A.eq\r(21)B.eq\f(3\r(21),4)C.eq\f(\r(21),2)D.3eq\r(21)答案B解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，即bccosA＝3，a＝3，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥1－eq\f(9,2bc)＝1－eq\f(3cosA,2)，∴cosA≥eq\f(2,5)，∴0＜sinA≤eq\f(\r(21),5)，∴0＜tanA≤eq\f(\r(21),2).∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3,2)tanA≤eq\f(3,2)×eq\f(\r(21),2)＝eq\f(3\r(21),4)，故△ABC面积的最大值为eq\f(3\r(21),4).8.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2bcosA，B＝eq\f(π,3)，c＝1，则△ABC的面积为______.答案eq\f(\r(3),4)解析∵a＝2bcosA，∴由正弦定理可得sinA＝2sinB·cosA.∵B＝eq\f(π,3)，∴sinA＝eq\r(3)cosA，∴tanA＝eq\r(3).又∵A为三角形的内角，∴A＝eq\f(π,3).又B＝eq\f(π,3)，∴C＝π－A－B＝eq\f(π,3)，∴△ABC为等边三角形，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).9.(2017·原创押题预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＝eq\f(12,13)，且a，b，c成等比数列，△ABC的面积S＝eq\f(5,2)，则a＋c＝________.答案3eq\r(7)解析因为cosB＝eq\f(12,13)，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(5,13).由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，由S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)ac×eq\f(5,13)＝eq\f(5,2)，可得ac＝13.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB即13＝(a＋c)2－2×13×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(12,13)))，整理得(a＋c)2＝63，故a＋c＝3eq\r(7).10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，则a的值为________.答案8解析∵cosA＝－eq\f(1,4)，0＜A＜π，∴sinA＝eq\f(\r(15),4)，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(15),4)＝3eq\r(15)，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，∴b2＋c2＝52.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，∴a＝8.考点三解三角形的综合应用方法技巧利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换并结合平面几何知识，可以解决三角形形状判断、取值范围及实际应用等问题.11.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC边上的高等于eq\f(1,3)BC，则cosA等于()A.eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(\r(10),10)C.－eq\f(\r(10),10)D.－eq\f(3\r(10),10)答案C解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝eq\f(π,4)，BD＝AD＝eq\f(1,3)BC，DC＝eq\f(2,3)BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝eq\f(1＋2,1－1×2)＝－3，所以cosA＝－eq\f(\r(10),10).12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案C解析由已知可得b＝eq\f(c,2cosA)＝2ccosA，∴cos2A＝eq\f(1,4)，易知cosA>0，∴cosA＝eq\f(1,2).又∵0°<A<180°，∴A＝60°，由b＝2c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，得a2－c2＝0，∴a＝c.因此，△ABC为等边三角形，故选C.13.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高为()A.10米 B.10eq\r(2)米C.10eq\r(3)米 D.10eq\r(6)米答案D解析由题意可得∠ACB＝60°，∠BCD＝105°，又∠BDC＝45°，则∠DBC＝30°.在△BCD中，eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BC＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(米)，所以AB＝BCtan∠BCA＝10eq\r(2)×tan60°＝10eq\r(6)(米).14.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，则b2＋c2的取值范围为________.答案(3，6]解析由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2，b＝2sinB，c＝2sinC，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(1－cos2B＋1－cos2＝4－2cos2B－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝4＋eq\r(3)sin2B－cos2B＝4＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6))).又0＜B＜eq\f(2π,3)，所以－eq\f(π,6)＜2B－eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，所以－1＜2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))≤2.所以3＜b2＋c2≤6.15.如图，在△ABC中，sineq\f(∠ABC,2)＝eq\f(\r(3),3)，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝eq\f(4\r(3),3)，则cosC＝_______.答案eq\f(7,9)解析由条件得cos∠ABC＝eq\f(1,3)，sin∠ABC＝eq\f(2\r(2),3).在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则9b2＝a2＋4－eq\f(4,3)a. ①因为∠ADB与∠CDB互补，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以eq\f(4b2＋\f(16,3)－4,\f(16\r(3),3)b)＝－eq\f(b2＋\f(16,3)－a2,\f(8\r(3),3)b)，所以3b2－a2＝－6. ②联立①②，解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.在△ABC中，cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq\f(32＋32－22,2×3×3)＝eq\f(7,9).1.钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，则AC等于()A.5B.eq\r(5)C.2D.1答案B解析∵S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).当B＝eq\f(3π,4)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝eq\r(5)，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝eq\f(π,4)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝eq\r(5).2.在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))答案C解析因为a2＜b2＋c2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，所以A为锐角.又因为a＞b＞c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).3.等于()A.eq\f(4,5)B.－eq\f(4,5)C.eq\f(15,17)D.－eq\f(15,17)答案D解析S＋a2＝(b＋c)2⇒a2＝b2＋c2－2bc·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)sinA－1)).由余弦定理，可得eq\f(1,4)sinA－1＝cosA，结合sin2A＋cos2A＝1，可得cosA＝－eq\f(15,17).4.(2017·广东梅州质检)已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cosC＋c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是__________.答案(2，3]解析在△ABC中，由余弦定理，可得2cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,ab)，∵a＝1，2cosC＋c＝2b，∴eq\f(1＋b2－c2,b)＋c＝2b，化简可得(b＋c)2－1＝3bc.∵bc≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2，∴(b＋c)2－1≤3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2，解得b＋c≤2(当且仅当b＝c时，取等号).故a＋b＋c≤3.再由任意两边之和大于第三边，可得b＋c>a＝1，故有a＋b＋c>2，故△ABC的周长的取值范围是(2，3].解题秘籍(1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题.(2)判断三角形形状一定要对条件等价变形，尤其注意等式两边不可随意同除以一个式子.(3)和三角形有关的范围最值问题要注意最值取到的条件.1.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，则B等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案A解析∵acosC＋ccosA＝b，∴原式可化为bsinB＝eq\f(1,2)b，sinB≠0，∴sinB＝eq\f(1,2)，又a＞b，B为锐角，∴B＝eq\f(π,6).2.已知在△ABC中，(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB，其中A，B，C为△ABC的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则C等于()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)答案B解析因为(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB，所以由正弦定理可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，整理得c2＝a2＋b2＋ab，所以cosC＝－eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(2π,3).故选B.3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则角A为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案A解析由sinC＝2eq\r(3)sinB⇒c＝2eq\r(3)b，所以a2－b2＝eq\r(3)bc＝eq\r(3)·b·2eq\r(3)b⇒a2＝7b2，则cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2).因为A∈(0°，180°)，所以A＝30°.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2b－a)cosC＝ccosA，c＝3，sinA＋sinB＝2eq\r(6)sinAsinB，则△ABC的面积为()A.eq\f(3\r(3),8)B.2C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(3\r(3),4)答案D解析因为(2b－a)cosC＝ccosA，化简得a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).又由sinA＋sinB＝2eq\r(6)sinAsinB，可得(sinA＋sinB)·sinC＝3eq\r(2)sinAsinB，由正弦定理可得(a＋b)c＝3eq\r(2)ab，所以a＋b＝eq\r(2)ab.因为c2＝a2＋b2－2abcosC，所以2(ab)2－3ab－9＝0，所以ab＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),4).5.已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A－cos2A＝eq\f(1,2)，则下列各式正确的是()A.b＋c＝2B.b＋c＜2C.b＋c≤2D.b＋c≥2答案C解析∵sin2A－cos2A＝eq\f(1,2)，∴cos2A＝－eq\f(1,2).∵0＜A＜eq\f(π,2)，∴0＜2A＜π，∴2A＝eq\f(2π,3)，∴A＝eq\f(π,3).由余弦定理得，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－eq\f(3,4)(b＋c)2＝eq\f(b＋c2,4)，∴4a2≥(b＋c)2，∴2a≥b＋6.在△ABC中，若eq\f(sinC,sinA)＝3，b2－a2＝eq\f(5,2)ac，则cosB的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,4)答案D解析由题意知，c＝3a，b2－a2＝eq\f(5,2)ac＝c2－2accosB，所以cosB＝eq\f(c2－\f(5,2)ac,2ac)＝eq\f(9－\f(15,2),6)＝eq\f(1,4).7.等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)－1C.2D.2－eq\r(3)答案D解析由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB，再由eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，得accosB＝eq\f(1,2)，所以tanB＝eq\f(2－\r(3),a2＋c2－b2)＝eq\f(2－\r(3),2×\f(1,2))＝2－eq\r(3).故选D.8.(2017·湖南邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，cos\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，cos\f(B,2)))，p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，cos\f(C,2)))共线，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案A解析由题意得acoseq\f(B,2)＝bcoseq\f(A,2)，acoseq\f(C,2)＝ccoseq\f(A,2).由正弦定理得sinAcoseq\f(B,2)＝sinBcoseq\f(A,2)⇒sineq\f(B,2)＝sineq\f(A,2)⇒B＝A，同理可得C＝A，所以三角形为等边三角形，故选A.9.(2017·江苏启东中学模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\f(cosA,cosB)＝－eq\f(a,b＋2c)，则角A的大小为________.答案eq\f(2π,3)解析依题意得(b＋2c)cosA＝－acosB由正弦定理，得(sinB＋2sinC)cosA＝－sinAcosB，即sinAcosB＋cosAsinB＝－2sinCcosA，整理得sin(A＋B)＝sinC＝－