2023-2024学年高中数学人教A版2019课后习题6-4-3　第3课时　习题课正弦定理和余弦定理的综合应用

第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021四川模拟)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=2π3,b=23,且△ABC的面积为332,则A.3 B.4 C.21 D.33答案C解析∵A=2π3,b=23,且△ABC的面积为∴12bcsinA=332,即12×23×c×32=332,解得c=3.又a2=b2+c22bccosA=12+32×23×3×12.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(3+1)∶2,则最大角为()A.45° B.60° C.75° D.90°答案C解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以ca=sinCsinA=sin(120°-A)sin3.在△ABC中,a=2,a·sin(A+B)=c·sinB+C2,则△ABC周长的最大值为A.8 B.7 C.6 D.5答案C解析由题得a·sinC=c·cosA2∴sinA·sinC=sinC·cosA2,∴sinA=cosA∴2sinA2cosA2=cosA2,∴cosA2≠0,∴sinA2=12由余弦定理得4=b2+c22bccosA=b2+c2bc,∴(b+c)2=4+3bc≤4+3·(b+c)24,当且仅当b=c=2时,等号成立.∴b+c≤4.(2021吉林宁江校级三模)在①(b+a)(ba)=c(bc);②AB·AC=4;③sinπ2+2A+2cos2A2=1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,问题:已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC=2sinB,b=2,,求△ABC的面积.

解因为sinC=2sinB,b=2,所以c=2b=4.选①:因为(b+a)(ba)=c(bc),所以b2+c2a2=bc,所以cosA=b2又因为A∈(0,π),所以A=π3所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×32=选②:若AB·AC=4,则|AB|·|AC|cos故cosA=12因为A∈(0,π),所以A=π3所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×32=选③:若sinπ2+2A+2cos2A2=1,则cos2A+cosA=0,故2cos2A+cosA1=0,解得cosA=12(cosA=1舍去)因为A∈(0,π),所以A=π3所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×32=5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosBccosB.(1)求cosB的值;(2)若BA·BC=2,且b=22,求a和c解(1)由正弦定理,得sinBcosC=3sinAcosBsinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,因此cosB=13(2)由BA·BC=2,得accosB=由(1)知cosB=13,故ac=由b2=a2+c22accosB,得a2+c2=12,所以(ac)2=0,即a=c,所以a=c=6.关键能力提升练6.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈(60°,90°),则ab的取值范围是.答案(2,解析∵△ABC中,a2=b2+bc,由余弦定理,得a2=b2+c22bccosA,∴b2+bc=b2+c22bccosA,整理,得c=b(1+2cosA),∴a2=b2+b2(1+2cosA)=b2(2+2cosA),∴ab=2+2cosA,∵A∈(60∴cosA∈0,12,可得2+2cos∴2+2cosA∈(2,3),即ab∈7.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,b2+c2=accosC+c2cosA+a2,且S△ABC=32,则△ABC周长的最小值为.答案32解析由b2+c2=accosC+c2cosA+a2,得b2+c2=c(acosC+ccosA)+a2=bc+a2,即bc=b2+c2a2.故cosA=b2+c2-由三角形面积公式得12bcsinA=32,bc=所以三角形的周长a+b+c=b2+c2-bc+(b+c)2=b8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinA+(1)求角C;(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.解(1)由asinA得a·a+b·b-c由余弦定理的变形,得cosC=33sinC,∴tanC=3∵C∈(0,π),∴C=π3(2)由余弦定理,得b2=1+c242×1×c2·cos∠CEAa2=1+c242×1×c2·cos∠CEB①+②,得b2+a2=2+c22,即2(b2+a2)=4+c∵c2=a2+b22ab·cosC,∴a2+b2=4ab≥2ab,∴ab≤43,当且仅当a=b时,等号成立S△ABC=12absinC≤1△ABC的面积的最大值是339.(2021广东湛江一模)如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,∠BAD=3π4,2AB=BD=(1)求cos∠ADB;(2)若BC=22,求CD.解(1)在△ABD中,由余弦定理的推论,得cos∠BAD=AD即22解得AD=14-2(AD=14-故cos∠ADB=AD(2)由(1)得sin∠ADB=1-因为AD⊥CD,即∠ADC=π2所以cos∠BDC=cosπ2∠ADB=sin∠ADB=24根据余弦定理的推论,得cos∠BDC=BD即24解得CD=32(CD=2舍去),故CD=32.学科素养创新练10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cosC+cosAcosB=22sinAcosB.(1)求cosB的值;(2)若a+c=2,求b的取值范围.解(1)因为cosC+cosAcosB=22sinAcosB,所以cos(A+B)+cosAcosB=22sinAcosB,即sinAsinB=22sinAcos