第六节-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第六节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用高考概览：1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．[知识梳理]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义2.用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤[辨识巧记]图象变换的一个重要区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：(1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；(2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω>0)个单位长度．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y＝3sin2x的图象左移eq\f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq\f(T,2).()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(必修4P70A组T16改编)函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的简图是()[解析]由f(0)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，排除B、D；由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，排除C，故选A.[答案]A3．(2019·安徽联考)若先将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，则所得函数图象的一条对称轴方程是()A．x＝eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,6)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(π,2)[解析]由题意知变换后的图象对应的函数解析式为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，易知其一条对称轴的方程为x＝eq\f(π,2)，故选D.[答案]D4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，则f(0)＝()A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)[解析]由三角函数图象得eq\f(T,2)＝eq\f(11π,12)－eq\f(7π,12)＝eq\f(π,3)，即T＝eq\f(2π,3)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝3.又x＝eq\f(7π,12)是函数单调增区间中的一个零点，所以3×eq\f(7π,12)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，解得φ＝－eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))).由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，得A＝eq\f(2\r(2),3)，所以f(x)＝eq\f(2\r(2),3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，所以f(0)＝eq\f(2\r(2),3)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\f(2,3).故选C.[答案]C5．(必修4P58A组T4改编)电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．则电流i变化的初相、周期分别是________．[解析]电流i变化的初相为eq\f(π,3)，周期T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50).[答案]eq\f(π,3)，eq\f(1,50)考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象作法，能通过变换得三角函数的图象，以基础题为主．常见的命题角度有：(1)“五点法”作三角函数的图象；(2)三角函数的图象变换．角度1：“五点法”作三角函数的图象【例1－1】设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<0))的最小正周期为π，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[思路引导](1)eq\x(T＝\f(2π,ω))→eq\x(求ω)→eq\x(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝\f(\r(3),2))→eq\x(求φ)(2)eq\x(由ωx＋φ确定五点)→eq\x(在[0，π]内作图象)[解](1)∵T＝eq\f(2π,ω)＝π，ω＝2，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，∴sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又－eq\f(π,2)<φ<0，∴φ＝－eq\f(π,3).(2)由(1)得f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，列表：2x－eq\f(π,3)－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)πeq\f(5,3)πx0eq\f(π,6)eq\f(5,12)πeq\f(2,3)πeq\f(11,12)ππf(x)eq\f(1,2)10－10eq\f(1,2)图象如图．角度2：三角函数的图象变换【例1－2】(1)(2019·四川德阳三校联考)先将函数f(x)＝sin2x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A．g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) B．g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))C．g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(2π,3))) D．g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6)))(2)(2018·海南二模)要得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))的图象，只需把函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象()A．向左平移eq\f(π,4)个单位 B．向右平移eq\f(π,4)个单位C．向左平移eq\f(π,8)个单位 D．向右平移eq\f(π,8)个单位[解析](1)先将函数f(x)＝sin2x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin4x的图象，再将所得图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后得到g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(2π,3)))的图象．故选C.(2)由题意知y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝2cos2x.把函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象向左平移eq\f(π,8)个单位，可得y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))－\f(π,4)))＝2cos2x.故选C.[答案](1)C(2)C函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象作法(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．若x给定区间，则需要列出ωx＋φ的端点值再画图或画出整个图象后再擦去不符合条件的图象．(2)图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，但平移的量是不同的．[对点训练]1．(2018·江西南昌实验中学月考)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6))).(1)用“五点法”在如图所示的虚线方框内作出函数f(x)在一个周期内的简图(要求：列表与描点，建立直角坐标系)；(2)函数f(x)的图象可以通过函数g(x)＝2cosx的图象经过“先伸缩后平移”的规则变换而得到，请写出一个这样的变换．[解](1)列表如下：x－eq\f(π,3)eq\f(2π,3)eq\f(5π,3)eq\f(8π,3)eq\f(11π,3)eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πf(x)020－20图象如图所示．(2)g(x)＝2cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，先将横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,2)))，再向右平移eq\f(2π,3)个单位，得到f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6))).(答案不唯一)考点二由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4))) B．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(3π,4)))C．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(3π,4))) D．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))[思路引导]eq\x(看图象由周期求ω)→eq\x(\a\al(由最高低点,纵坐标求A))→eq\x(\a\al(由最高低,点横坐标求φ))[解析]由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，2))，最低点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－2))，所以函数的最大值为2，即A＝2.由图象可得x＝－eq\f(π,2)，x＝eq\f(3π,2)为相邻的两条对称轴，所以函数的周期T＝2×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝4π，故eq\f(2π,ω)＝4π，解得ω＝eq\f(1,2).所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋φ)).把点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，2))代入可得2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋φ))＝2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,4)))＝1，所以φ－eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝eq\f(3π,4).所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(3π,4))).故选B.[答案]B求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中参数的方法已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，A由最大值与最小值得出．求ω和φ有如下两种方法：(1)五点法，由ω＝eq\f(2π,T)即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．[对点训练]1．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则φ的值为()A．－eq\f(π,3) B.eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)[解析]由图象可知，周期T＝π，∴T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)．由五点法作图可知当x＝eq\f(π,6)时，2×eq\f(π,6)＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝－eq\f(π,3)＋2kπ.∵－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴k＝0时，φ＝－eq\f(π,3)符合．故选A.[答案]A2.(2019·南京、盐城模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值为________．[解析]由三角函数图象可得A＝2，eq\f(3,4)T＝eq\f(11π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(3,4)π，所以周期T＝π＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝2.又函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝2,0<φ<π，解得φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝1.[答案]1考点三三角函数模型的简单应用【例3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10[思路引导]eq\x(由ymin＝2求出k)→eq\x(求y的最大值)[解析]据图可知－3＋k＝2，得k＝5，所以ymax＝3＋5＝8.故选C.[答案]C解决三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型中的待定系数．[对点训练]如图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径为4.8m，巨轮上最低点与地面之间的距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ(0≤θ<2π)角到OB，设B点与地面之间的距离为h，则h与θ的关系式为()A．h＝5.6＋4.8sinθ B．h＝5.6＋4.8cosθC．h＝5.6＋4.8coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2))) D．h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))[解析]过点O向右作与地面平行的射线OC，则∠BOC＝θ－eq\f(π,2)，根据三角函数的定义，得点B到射线OC的距离为4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))，所以h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).故选D.[答案]D数学思想系列②——划归思想和整体代换思想在三角函数中的应用素养解读：利用三角恒等变换将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向．关键是φ角的确定，特别注意自变量的取值范围对结果的影响．【典例】设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))，其中0<ω<3.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))上的最小值．[切入点](1)利用诱导公式以及三角恒等变换将函数解析式化为“一角一函数”的形式，再利用feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0，可求得其值；(2)根据三角函数图象的变换规律求出函数g(x)的解析式，从而得到函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))上的最小值．[关键点](1)化为“一角一函数”形式；(2)由y＝f(x)经过平移得到y＝g(x)．[规范解答](1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))＝eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(1,2)cosωx－cosωx＝eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(3,2)cosωx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinωx－\f(\r(3),2)cosωx))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3))).因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0，所以eq\f(ωπ,6)－eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，所以g(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)－\f(π,3)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12))).因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以x－eq\f(π,12)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，当x－eq\f(π,12)＝－eq\f(π,3)，即x＝－eq\f(π,4)时，g(x)取得最小值－eq\f(3,2).(1)讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝eq\r(a2＋b2)sin(ωx＋φ)型的函数．(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决．[感悟体验](2019·江西南昌月考)已知函数f(x)＝2cosxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若关于x的方程|f(x)|－a＋1＝0在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．[解](1)f(x)＝2cosxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝eq\r(3)cos2x＋sinxcosx－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝eq\r(3)cos2x＋sin2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).∴T＝π.(2)∵|f(x)|－a＋1＝0⇔a－1＝|f(x)|，画出函数y＝|f(x)|在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的图象，由图可知eq\r(3)<a－1<2或0<a－1<eq\r(3)，故a的取值范围为(1，eq\r(3)＋1)∪(eq\r(3)＋1,3)．课后跟踪训练(二十五)基础巩固练一、选择题1．(2018·天津卷)将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,5)))的图象向右平移eq\f(π,10)个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增B．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))上单调递减C．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增D．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减[解析]函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,5)))的图象向右平移eq\f(π,10)个单位长度得到的图象对应的函数解析式为y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))＋\f(π,5)))＝sin2x.因为y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z上单调递增，所以2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.当k＝0时，－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，故所得图象对应的函数在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增，同理可得，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))上单调递减．故选A.[答案]A2．(2018·辽宁省实验中学期中)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图，则()A．A＝4B．ω＝1C．B＝4D．φ＝eq\f(π,6)[解析]根据函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象知，A＝2，B＝2，∴A，C错误；设函数的最小正周期为T，则eq\f(1,4)T＝eq\f(5,12)π－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)，∴T＝eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，B错误；当x＝eq\f(π,6)时，ωx＋φ＝2×eq\f(π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，且|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴D正确．故选D.[答案]D3．(2019·河北承德期末)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期为6π，且其图象向右平移eq\f(2π,3)个单位长度后得到函数g(x)＝sinωx的图象，则φ等于()A.eq\f(4π,9)B.eq\f(2π,9)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)[解析]由题意得eq\f(2π,ω)＝6π，∴ω＝eq\f(1,3).∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋φ)).将其图象向右平移eq\f(2π,3)个单位长度后得到的函数图象的解析式为g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2π,3)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(2π,9)＋φ))＝sineq\f(1,3)x，∴φ－eq\f(2π,9)＝2kπ(k∈Z)．解得φ＝2kπ＋eq\f(2π,9)(k∈Z)，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(2π,9).故选B.[答案]B4．(2019·云南省高三调考)函数f(x)＝sin(3x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,9)个单位长度后关于原点对称，则φ＝()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,9)D．－eq\f(π,3)[解析]依题意得，f(x＋eq\f(π,9))＝sin[3(x＋eq\f(π,9))＋φ]＝sin(3x＋eq\f(π,3)＋φ)的图象关于原点对称，于是有sin(eq\f(π,3)＋φ)＝0，eq\f(π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)．又|φ|<eq\f(π,2)，因此φ＝－eq\f(π,3)，故选D.[答案]D5．(2018·武汉市高三二调)函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为()A．[2π，4π] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π，\f(9π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,6)，\f(25π,6))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π，\f(25π,6)))[解析]解法一：由函数f(x)在[0,1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知ω＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)，4π＋\f(π,2)))，则eq\f(13π,6)≤ω<eq\f(25π,6).故选C.解法二：取ω＝2π，则f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πx＋\f(π,3)))，故2πx＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得x＝eq\f(1,12)＋k，k∈Z，则在[0,1]上只有x＝eq\f(1,12)，不满足题意，排除A，B，D，故选C.[答案]C二、填空题6．(2019·吉林长春质检)将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位，所得图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，则ω的最小值为________．[解析]函数向右平移eq\f(π,6)个单位得到函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,6))).因为g(x)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，所以sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,6)))))＝0，即ωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,6)))＝eq\f(2ωπ,3)＝kπ，k∈Z.所以ω＝eq\f(3,2)k，又∵ω>0，所以ω的最小值为eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)7.(2019·福建漳州质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<2π)的一段图象如图，则f(2016)等于________．[解析]由图象可得A＝2，eq\f(1,2)T＝1－(－2)＝3，T＝6.∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,3)，结合五点法作图得－2×eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(7π,6)，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(7π,6))).∴f(2016)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2016π,3)＋\f(7π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(672π＋\f(7π,6)))＝2sineq\f(7π,6)＝－2sineq\f(π,6)＝－1.[答案]－18．(2018·河北衡水武邑中学模拟)将f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图象向右平移eq\f(π,4ω)个单位，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上为增函数，则ω的最大值为________．[解析]将f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图象向右平移eq\f(π,4ω)个单位，得到y＝g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4ω)))＋\f(π,4)))＝2sinωx的图象，若y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上为增函数，则满足eq\f(T,4)≥eq\f(π,4)，即T≥π，即eq\f(2π,ω)≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.[答案]2三、解答题9．已知函数f(x)＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋2eq\r(2)sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)在给出的坐标系中画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图象，并说明y＝f(x)的图象是由y＝sin2x的图象怎样变换得到的．[解](1)f(x)＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosxcos\f(π,4)－sinxsin\f(π,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosxcos\f(π,4)＋sinxsin\f(π,4)))＋eq\r(2)sin2x＝eq\r(2)(cosx－sinx)(cosx＋sinx)＋eq\r(2)sin2x＝eq\r(2)(cos2x－sin2x)＋eq\r(2)sin2x＝eq\r(2)cos2x＋eq\r(2)sin2x＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cos2x＋\f(\r(2),2)sin2x))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).则f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.当2x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即当x＝kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)时，f(x)max＝2.(2)列表如下：x0eq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(5π,8)eq\f(7π,8)π2x＋eq\f(π,4)eq\f(π,4)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(9π,4)f(x)eq\r(2)20－20eq\r(2)根据列表描点连线作图如下．y＝f(x)的图象是由y＝sin2x的图象经过以下变换得到的：先将y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,8)个单位，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象，再将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象．10．(2019·石家庄一中月考)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),3)sin2x－eq\f(\r(3),3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的值域．[解]f(x)＝sin2xcoseq\f(π,3)＋cos2xsineq\f(π,3)－eq\f(\r(3),3)cos2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),6)cos2x＝eq\f(\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(1)f(x)的最小正周期T＝π，令2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z.∴函数f(x)图象的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z.(2)由题意得，g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－eq\f(\r(3),3)cos2x.∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2,3)π))，∴cos2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),6))).能力提升练11．(2019·山东烟台实验中学诊断考试)函数y＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，ω>0，0<φ<\f(π,2)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx的图象()A．向左平移eq\f(π,3)个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变B．向左平移eq\f(π,3)个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移eq\f(π,6)个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变D．向左平移eq\f(π,6)个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变[解析]由图可知T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝2.又函数图象过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，则－eq\f(π,6)ω＋φ＝2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．又0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).∴为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx(x∈R)的图象上的所有点向左平移eq\f(π,3)个单位，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象，再将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象上各点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变)即可．故选A.[答案]A12．(2019·江西赣州质检)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位后，所得如图所示的图象，则ω，φ的值为()A．ω＝2，φ＝eq\f(2π,3) B．ω＝2，φ＝－eq\f(π,3)C．ω＝1，φ＝－eq\f(π,3) D．ω＝1，φ＝eq\f(2π,3)[解析]函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位后可得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(πω,3)＋φ)).由函数的图象可知，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(π,2)，∴T＝π.根据周期公式可得ω＝2，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(2π,3))).由图知当y＝－1时，x＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,6)))＝eq\f(π,12)，∴函数的图象过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，－1))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋φ))＝－1.∵－π<φ<π，∴φ＝eq\f(2π,3).故选A.[答案]A13．(2018·山东临沂重点中学质量调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2eq\r(2)，且图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，则函数f(x)＝________.[解析]依题意得eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,ω)))2)＝2eq\r(2)，ω>0，所以ω＝eq\f(π,2)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋φ)).因为该函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，所以sin(π＋φ)＝－eq\f(1,2)，即sinφ＝eq\f(1,2).因为－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,6))).[答案]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,6)))14．(2019·江西抚州临川一中教学质量检测)已知函数f(x)＝Msineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(M>0，ω>0)的大致图象如图所示，其中A(1,0)，B，C为函数f(x)的图象与x轴的交点，且|BC|＝π.(1)求M，ω的值；(2)若函数g(x)＝f(x)·cosx，求函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上的最大值和最小值．[解](1)依题意，|BC|＝π＝eq\f(T,2)，故T＝2π，故