概率的定义及其计算学习笔记

概率的定义及其计算学习笔记1定义设E

是一随机试验，它具有下列特点：基本事件的个数有限每个基本事件发生的可能性大小相同则称

E

为等可能概型等可能概型中概率的计算：记则

等可能（古典）概型2非负性：规范性：有限可加性：其中为两两互斥事件。古典概型的性质：证明：任意事件A包含的基本事件个数k满足，所以。S包含n个基本事件，据定义P(S)=13例1.从1至9这九个号码中，随机的取4个号码，数码之和为奇数的概率.A=“4个数码之和为奇数”事件包含个事件，且由于互不相容，因此，包含个事件因此，4A包括两个子事件:(1)只有一个奇数（2）只有三个奇数,因此，例2投掷三颗骰子，其中一个出现点数为5，而另外两个出现的点数不同且不等于5的概率.A=“一个出现点数为5，另外两个出现的点数不同且不等于5”5例35个有区别的球随机的放入10个盒内，求恰有3个球放在同一盒内的概率。A=“恰有3个球在同一盒内”6例4

（分房问题）设有k

个不同的球，每个球等可能地落入N

个盒子中（）,设每个盒子容纳的球数无限，求下列事件的概率（2）恰有k

个盒子中各有一球；解则设（1）~（5）的各事件分别为7（1）某指定的k

个盒子中各有一球；（4）某指定的一个盒子恰有m

个球()；（5）至少有两个球在同一盒子中（3）某指定的一个盒子没有球；8几何概型设样本空间是一个有限区域S，若样本点落入S内任何区域A

中的概率与区域A

的测度成正比，则样本点落入A内的概率为9非负性：规范性：有限可加性：其中为两两互斥事件。几何概型的性质：可列可加性：其中为两两互斥事件。10例

两船欲停靠同一个码头,设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1到达码头的瞬时为x，0<=x<24船2到达码头的瞬时为y，0<=y<24设事件A

表示任一船到达码头时需要等待空出码头11xy2424y=xy=x+1y=x-212定义设在n

次试验中，事件A

发生了nA次，则称为事件A

在这n次试验中发生的频率统计定义—频率13频率的性质

事件A,B互斥，则可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性

规范性可加性

稳定性14投一枚硬币观察正面向上的次数Buffonn=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069Pearsonn=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005频率稳定性的实例

蒲丰投币

皮尔森投币15例DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率，发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.000616概率的公理化定义

设

是随机试验E的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E

的每一事件

A赋于一个实数，记为P(A),称之为事件A的概率，这种赋值满足下面的三条公理：非负性：

规范性：

可列可加性：其中为两两互斥事件，概率的定义概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立.17概率的性质

有限可加性:设为两两互斥事件，

若18加法公式：对任意两个事件A,B,有又由证明：

且所以，

19推广：一般：20例

小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解设事件Ai

表示“能答出第i类问题”i

=1,2(1)(1)答出第一类而答不出第二类问题的概率(2)两类问题中至少有一类能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率(2)(3)21排列、组合有关知识复习：加法原理：完成一件事情有n

类方法，第i

类方法中有mi

种具体的方法，则完成这件事情共有种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n

个步骤，第i

个步骤中有mi

种具体的方法，则完成这件事情共有种不同的方法22排列：从n个不同的元素中取出m

个（不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有全排列可重复排列：从n

个不同的元素中可重复地取出m

个排成一排,不同的排法有种23不尽相异元素的全排列：n

个元素中有m

类，第

i类中有

个相同的元素，将这n

个元素按一定的次序排成一排，种不同的排法共有24组合：从n个不同的元素中取出m

个（不放回地）组成一组，不同的分法共有种多组组合：把n

个元素分成

m

个不同的组（组编号），各组分别有

个元素，，不同的分法共有25条件概率和乘法公式全概率公式Bayes公式§1.3-1.5

26事件的独立性§1.3条件概率

引例袋中有7只白球，3只红球；白球中有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球.现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球，问它是木球的概率是多少？等可能概型设A

表示任取一球，取得白球；B

表示任取一球，取得木球条件概率与乘法公式27所求的概率称为在事件A

发生的条件下事件B

发生的条件概率。记为解

列表白球红球小计木球426塑料球314小计7310问题：条件概率中样本空间是什么？

28定义设A、B为两事件,P(A)>0,则称为事件

A

发生的条件下事件

B

发生的条件概率，记为条件概率的计算方法（1）等可能概型可用缩减样本空间法（2）其他概型用定义与有关公式29条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：非负性规范性可列可加性

30利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式推广乘法公式31例已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概率为0.8,能用到1500小时的概率为0.4,求已用到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率解

令A

灯泡能用到1000小时

B

灯泡能用到1500小时所求概率为32例某人外出旅游两天，需要知道两天的天气情况，据天气预报，第一天下雨的概率为0.6,第二天下雨的概率为0.3,两天都下雨

的概率为0.1.求第一天下雨时，第二天不下雨的概率解设A1,A2

分别表示第一天下雨与第二天下雨33一般地，条件概率与无条件概率之间的大小无确定的关系上例中若34例为了防止意外，矿井内同时装有两种报警设备A与B,已知设备A

单独使用时有效的概率为0.92,设备B

单独使用时有效的概率为0.93，在设备A失效的条件下，设备B有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率。设事件A,B

分别表示设备A,B有效已知求35解由即故解法二36B1B2BnAB1AB2ABnA

§1.4全概率公式与Bayes公式37全概率公式Bayes公式38每100件产品为一批，已知每批产品中的次品数不超过4件，每批产品中有

i件次品的概率为i01234P0.10.20.40.20.1从每批产品中不放回地取10件进行检验，若发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格。求（1）一批产品通过检验的概率（2）通过检验的产品中恰有i

件次品的概率例39解设一批产品中有

i件次品为事件Bi,i=0,1,…,4A

为一批产品通过检验则已知P(Bi)如表中所示，且由全概率公式与Bayes公式可计算P(A)与40结果如下表所示i01234P(Bi)

0.10.2