河南省沈丘县长安高级中学2024届高三上学期第一次月考 数学答案

沈丘县长安高中2024届高三年级第一次月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定集合N,根据集合的交集运算，可求得答案.【详解】由题意，，所以,故选:B2.已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系可得：命题“p：，”的否定式为“，”.故选：D.3.若函数在区间上单调递减，则实数满足的条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的对称轴，依题意可得，解得即可.【详解】解：因为函数在区间上单调递减，函数的对称轴为，开口向上，所以，解得，即故选：A.4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为.故选：C5.已知函数满足，恒成立，则函数是A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又偶函数 D.非奇非偶函数【答案】A【解析】【分析】利用奇偶函数的定义，判断与的关系．【详解】解：由已知，，，，，为奇函数；故选：A．【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断；在定义域关于原点对称的情况下，判断与的关系，属于基础题．6.已知正实数、满足，则最小值为（）A. B.4C. D.3【答案】D【解析】【分析】命题人以已知条件为依托，经过巧妙的构思设制一道组合优题，考查了考生灵活的运用均值公式和探究问题的能力，这体现了数学的理性思维、等价转化、恒等变形的数学核心素养，落实了基础性、探究开放的考查要求．试题难度：中．【详解】∵，则，于是整合得，当且仅当时取等号，于是的最小值为3．故选:D．7.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（）A. B.0 C.1 D.2022【答案】B【解析】【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案.【详解】因为，所以，所以的周期为4，函数是定义在上的奇函数，所以，所以，.故选：B.8.若，为真命题，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】主元变换，构造关于的函数.根据函数性质，只需与都大于即可.【详解】由题意知，，恒成立，设函数，即，恒成立.则，即，解得，或.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法错误的是（）A.解集为B.不等式的解集为C.如果中，，则的解集是D.的解集和不等式组的解集相同【答案】ACD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，的解集为，A错误；对于B，，的解集为，B正确；对于C，若，，则解集为，C错误；对于D，的解集为；不等式组的解集为，D错误.故选：ACD.10.当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】将时，不等式恒成立，转化为时，不等式恒成立求解.【详解】解：因为时，不等式恒成立，所以时，不等式恒成立，令，由对勾函数的性质得在上递减，所以，则，所以，所以m的范围可以是，，故选：AB11.已知且，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式，判断不等关系，即可求解.【详解】A.，，当且仅当时等号成立，故A正确；B.，当且仅当时，即时等号成立，故B错误；C.，当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；D.，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ACD12.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（）A.的一个周期为4 B.是函数的一条对称轴C.时， D.【答案】ABD【解析】【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数的对称性，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性从而求出的值．【详解】对于A，为奇函数，，且，函数关于点，偶函数，，函数关于直线对称，，即，，令，则，，，故的一个周期为4，故A正确；对于B，则直线是函数的一个对称轴，故B正确；对于C、D，∵当时，，，，又，，解得，，，当时，，故C不正确；，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.集合，，若，则实数的范围是_____【答案】【解析】【分析】由可知集合与集合没有公共的元素,由此可得的范围【详解】由题,因为,所以故答案为：【点睛】本题考查由集合的运算结果求参数问题,做题时合理利用数轴会更清晰直观地得到结果14.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；【详解】因为是偶函数，所以所以，又因为在上单调递增，所以，解得：，故答案为：.15.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】根据题意得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：16.函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.【答案】【解析】【分析】可将原函数化为，可设，可判断为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．【详解】因为设，所以；则是奇函数，所以在区间上的最大值为，即，在区间上的最小值为，即，∵是奇函数，∴，则.故答案为：2．【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知全集，集合．（1）求,；（2）已知集合，若，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算，即可得到本题答案；（2）结合题意，列出不等式组求解，即可得到本题答案.【小问1详解】全集，集合；∴；，∴；【小问2详解】∵，又集合，且，∴，解得，∴实数的取值范围是．18.已知函数（）是定义在上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断函数在的单调性，并证明.【答案】(1)，；(2)单调递增，证明见解析.【解析】【分析】(1)由奇函数的性质及所给的值列式即可得解；(2)利用函数单调性定义通过“取值，作差，判断符号”的步骤即可作答.【详解】(1)因函数是上的奇函数，于是有，解得，即有，，解得，此时是上的奇函数，所以，；(2)函数在上单调递增，，，而，，，于是得，即，所以函数在上单调递增.19.已知函数.（1）当时，求在上的最值；（2）若在上有最大值2，求实数的值.【答案】（1）最大值为1，最小值为；（2）或2.【解析】【分析】（1）把代入函数式，再利用二次函数性质求出最值作答.（2）根据二次函数图象对称轴与区间的关系分类，探讨取得最大值2的a值作答.【小问1详解】当时，函数，，显然函数在上递增，在上递减，当时，，当时，，所以函数的最大值为1，最小值为.【小问2详解】函数，，当时，函数在上单调递减，，由，得，则；当时，函数在上单调递增，，即有，则，当时，，由，解得，无解，所以实数的值为或2.20.已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义可得出，结合对数的运算性质可求得的值，对参数的值进行检验，即可得出实数的值；（2）求出函数在上值域为，令，则，由已知不等式结合参变量分离法可得出在上恒成立，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：由是奇函数，得，即，所以，整理得，对于定义域内的每一个恒成立，所以，解得．当时，为奇函数，符合题意；当时，，不存．综上，.【小问2详解】解：，其中，易知在上单调递减，所以．设，则，由，得在上恒成立，令，其中，因为函数、均为上的增函数，故在上单调递增，所以，则，故实数的取值范围为．21.已知函数.（1）当时，求关于x的不等式的解集；（2）求关于x的不等式的解集；（3）若在区间上恒成立，求实数a的范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.【小问1详解】当时，则，由，得，原不等式的解集为；【小问2详解】由，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【小问3详解】由即在上恒成立，得.令，则，当且仅当，即时取等号.则，.故实数a的范围是22.已知奇函数和偶函数满足（1）求和的解析式；（2）判断并证明在上的单调性（3）若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围【答案】（1），（2）在上单调递增，证明见详解（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件用替换，构造一个关于、的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案；（