浙江省宁波市慈溪市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

浙江省宁波市慈溪市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数则＝（）A． B． C．2 D．02．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．A． B．C． D．3．向量，则（）A． B．C．与的夹角为60° D．与的夹角为30°4．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．1675．设的内角所对边分别为．则该三角形（）A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为().A． B． C． D．8．函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若为偶函数，则的值为（）A． B． C． D．9．在中，，则的形状为（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．正三角形10．在中，角所对的边分别为，若，则此三角形（）A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，，分别为的中线和角平分线，点P是与的交点，若，，则的面积为______.12．设满足约束条件，则目标函数的最大值为______．13．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的周长的取值范围是________.14．已知角的终边经过点，则______．15．已知函数，的最大值为_____.16．已知直线与圆交于两点，若，则____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．函数.（1）求函数的周期和递增区间；（2）若，求函数的值域.18．如图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图(年份代码1-7分别对应年份)（1）建立关于的回归方程(系数精确到0.001);（2）预测2020年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:,,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.19．如图，已知中，.设，，它的内接正方形的一边在斜边上，、分别在、上.假设的面积为，正方形的面积为.（Ⅰ）用表示的面积和正方形的面积；（Ⅱ）设，试求的最大值，并判断此时的形状.20．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.21．如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点.（1）求函数的解析式及上的单调增区间；（2）若时，函数的最小值为，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

先求得的值，进而求得的值.【题目详解】依题意，，故选B.【题目点拨】本小题主要考查分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.2、A【解题分析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度不变，与y轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A选项符合题意．故应选A．考点：斜二测画法．点评：注意斜二测画法中线段长度的变化．3、B【解题分析】试题分析：由，可得，所以，故选B．考点：向量的运算．4、C【解题分析】.5、C【解题分析】

利用正弦定理以及大边对大角定理求出角，从而判断出该三角形解的个数．【题目详解】由正弦定理得，所以，，，，或，因此，该三角形有两解，故选C.【题目点拨】本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在中，给定、、，该三角形解的个数判断如下：（1）为直角或钝角，，一解；，无解；（2）为锐角，或，一解；，两解；，无解.6、D【解题分析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【题目详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．故选D．【题目点拨】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.7、D【解题分析】

运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.【题目详解】因为，所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.【题目点拨】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.8、B【解题分析】f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位，得到g（x）=2sin（2x-2φ﹣）．为偶函数，故得到，故得到2sin（-2φ﹣）=-2或2，．因为，故得到，k=-1,的值为.故答案为B．9、A【解题分析】

在中，由，变形为，再利用内角和转化为，通过两角和的正弦展开判断.【题目详解】在中，因为，所以，所以，所以，所以，所以直角三角形.故选：A【题目点拨】本题主要考查了利用三角恒等变换判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10、C【解题分析】

利用正弦定理求，与比较的大小，判断B能否取相应的锐角或钝角.【题目详解】由及正弦定理，得，，B可取锐角；当B为钝角时，，由正弦函数在递减，，可取.故选C.【题目点拨】本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

设,,求点的坐标，运用换元法，求直线方程，再解出交点的坐标，再利用向量数量积运算求出，最后结合三角形面积公式求解即可.【题目详解】解：由，可设,,则，设，则，直线的方程为，直线的方程为，联立直线、方程解得，则，，可得，解得：，即，即，所以，故答案为：.【题目点拨】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了两直线的交点坐标及三角形面积公式，属中档题.12、7【解题分析】

首先画出可行域，然后判断目标函数的最优解，从而求出目标函数的最大值.【题目详解】如图，画出可行域，作出初始目标函数，平移目标函数，当目标函数过点时，目标函数取得最大值，，解得,.故填：7.【题目点拨】本题考查了线性规划问题，属于基础题型.13、【解题分析】

通过观察的面积的式子很容易和余弦定理联系起来，所以，求出，所以.再由正弦定理即可将的范围通过辅助角公式化简利用三角函数求出范围即可．【题目详解】因为的面积为，所以，所以.由余弦定理可得，则，即，所以.由正弦定理可得，所以.因为为锐角三角形，所以，所以，则，即.故的周长的取值范围是.【题目点拨】此题考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范围的题目转化为求解三角函数值域即可，易错点注意转化后角的范围区间，属于中档题目．14、【解题分析】由题意，则.15、【解题分析】

化简，再利用基本不等式以及辅助角公式求出的最大值，即可得到的最大值【题目详解】由题可得：由于，，所以，由基本不等式可得：由于，所以所以，即的最大值为故答案为【题目点拨】本题考查三角函数的最值问题，涉及二倍角公式、基本不等式、辅助角公式等知识点，属于中档题。16、【解题分析】

根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.【题目详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离：，由得，解得.【题目点拨】本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）周期为，单调递增区间为；（2）.【解题分析】

（1）利用二倍角降幂公式、两角差的正弦公式将函数的解析式化简为，然后利用周期公式可计算出函数的周期，解不等式即可得出函数的单调递增区间；（2）由计算出的取值范围，可得出的范围，进而可得出函数的值域.【题目详解】（1），所以，函数的周期为，由，解得，因此，函数的单调递增区间为；（2）当时，，则，，因此，函数在区间上的值域为.【题目点拨】本题考查正弦型三角函数周期、单调区间以及值域的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.18、（1）（2）亿吨【解题分析】

（1）由题意计算平均数与回归系数,写出回归方程,即可求得答案;（2）计算2020年对应的值以及的值,即可求得答案.【题目详解】（1）由折线图可得:关于的回归方程:.（2）年对应的值为当时,预测年我国生活垃圾无害化处理量为亿吨.【题目点拨】本题主要考查了求数据的回归直线方程和根据回归直线方程进行预测,解题关键是掌握回归直线的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19、（Ⅰ），；，（Ⅱ）最大值为；为等腰直角三角形【解题分析】

（Ⅰ）根据直角三角形，底面积乘高是面积；然后考虑正方形的边长，求出边长之后，即可表示正方形面积；（Ⅱ）化简的表达式，利用基本不等式求最值，注意取等号的条件.【题目详解】解：（Ⅰ）∵在中，∴，.∴∴，设正方形边长为，则，，∴.∴，∴，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，令，∵在区间上是减函数∴当时，取得最小值，即取得最大值。∴的最大值为此时∴为等腰直角三角形【题目点拨】（1）函数的实际问题中，不仅要根据条件列出函数解析式时，同时还要注意定义域；（2）求解函数的最值的时候，当取到最值时，一定要添加增加取等号的条件.20、(1)(2)【解题分析】

分析：（1）由，利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得；从而可得结果；（2）由余弦定理可得可得，所以.详解：(1)∵∴∴（2）∵∴∴点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．21、（1）（2）【解题分析】

（1）由点是线段的中点，可得和的坐标，从而得